群论第5章资料课件

第五章量子力学和群论

考虑一个用波函数表征的物理体系，令此物理体系平移一个矢量它等价于坐标系移动那么，表征移动后物理体系的波函数是：

如果我们用来表示作用在函数上的空间平移算符，于是有：

5-1空间平移和时间平移先假设是沿x方向的位移，则体系在y方向和z方向将保持不变，于是有将展开为泰勒级数得：

（1）上式的最后一步利用了公式将以上结果推广到任意的一般位移，则有式中是体系的动量算符。（2）将（1）与（2）相比，得到空间平移算符的具体形式为：因为是实数，P是厄米算符，所以所以空间平移算符是一个么正算符。（3）我们注意到，波函数满足含时的薛定谔方程其中H是体系的哈密顿算符。现在需证明，平移后的函数是否仍描述体系的一个可能状态，即是否仍满足含时的薛定谔方程。用群的语言来讲，就是是不是一个对称操作。如果是的话，则必然有：（4）即：或：

可见，当且仅当体系的哈密顿算符H在平移算符的作用下不变，即与H对易时，平移后的波函数才可能描述体系的一个状态。由于是一个么正算符，并具有（3）的形式，因此，当且仅当体系的动量P算符与H对易即时，（4）对所有的矢量才成立，从而我们可得到如下定理：定理：若物理体系在所有的空间平移下是不变的，则其线动量是运动恒量，或者说体系的动量是守恒的。所有空间平移算符的集合（对所有的值）构成了一个群，称为空间平移群，这是个连续的、连通的。三参数非紧致的阿贝尔群，其合成法则是：

这是所考虑的物理体系的一个对称性群。凡是属于该群的体系，其动量必守恒。例1

自由粒子自由粒子的哈密顿算符仅包含动能部分，即波函数的形式为，是粒子的波矢，在任何平移算符作用下H都不变，H与可对易，于是粒子的动量守恒同样是自由粒子的波函数。例2

氢原子电子波函数的形式为哈密顿算符若原来氢原子的核位于坐标原点，现在，对体系作一平移，氢原子的核就不再位于坐标原点，于是波函数不能再写成标准的形式了，所以这就不再是体系可能的态。在这种情况下，氢原子中电子的动量就不是守恒量。类似上面考虑过的物理体系的空间平移，我们也可以将体系在时间上平移，并且平移后的函数在一定条件下仍然表示体系的可能状态。假定是体系的波函数，令表示将时间的函数平移一个量的算符。于是我们得到：将在点附近展开为泰勒级数得：即：在量子力学中，能量算符若H本身不显含时间t，那么，H在的作用下不变，所以H与对易，即：按照薛定谔方程，此时体系状态随时间的演化规律与时间零点的选取无关，即体系具有时间均匀性。因此也满足薛定谔方程，则我们可用H代替得：因为是实数，而是厄米的，所以是一个么正算符。同样我们可得到如下定理：定理2：若物理体系在所有的时间平移下是不变的，则其能量是运动恒量，或者说体系的能量是守恒的。所有时间平移算符的集合也是一个连续的、连通的、单参数非紧致的阿尔贝群，它也是物理体系所具有的一种对称性群，如果体系在这个群的作用下不变，则体系的能量守恒。例如，对于孤立的氢原子，不存在微扰时，其哈密顿算符对所有的时间平移是不变的。所以，如果原子在一给定的时刻处于一特定的状态，则它在所有的时刻都继续处于此同一状态，且体系的总能量保持不变。

第二节 本怔函数和群表示的基(一)本征函数可作为群表示的基定理:如哈密顿量H在对称群G的对称元素的变换下保不变，即PRHPR-1=H（RG），群G为哈密顿量H所属的群,与H的本征值Ej相对应的本征函数Ψim(m=1,2-------f）组成群G表示的基证明：第一步,证明若Ψim是对应于本征值Ei的H的本征函数，则PRΨim也是对应于本征值Ei的H的本征函数 证：Ei是f度简并

HΨim=EiΨim

（m=1，2-------f）（1） 如R是群G的元素， 则PRHPR-1=H

即PRH=HPR将其作用在本征函数Ψmi上，有

HPRΨim=PRHΨim=PREiΨim=EiPRΨim

即H（PRΨim

）=Ei（PRΨim

） 可见，PRΨiR

是对应于本征值Ei的H的本征函数 并且，PRΨiR可由{Ψin}线性组合而成（n=1，2-------f）

PRΨim=∑n[D(R)]inmΨim------------------(4)第二步，证明Ψim可作为群G表示的基 证：∵HPSR=PSRH,PSR=PSPR∴HPSPRΨim=PSPRHΨim=PSPREiΨim=EiPSPRΨim

则H(PSPRΨim)=Ei(PSPRΨim)

即PSPRΨim也是对应于本征值Ei的H的本征函数故PSPRΨim亦可由{Ψin}线性组合而成 并可由式（4）可得PSRΨim=PSPRΨim=PS(∑n[D(R)]inmΨin) =∑n[D(R)]inmPSΨin

=∑n[D(R)]inm∑k[D(S)]iknΨik =∑k∑n[D(S)]ikn[D(R)]inmΨik

=∑k[D(SR)]ikmΨik(6)

其中，[D(SR)]ikm=∑n[D(S)]ikn[D(R)]inmPS

，PR→PSR=PSPR D(S)，D(R)→D(S)D(R)

可见，D(R)与PR同构则，D(R)可作为群G的表示即，{Ψim}可作为群G表示的基（二）正常简并和偶然简并

如哈密顿H属于群G，R为群G的对称元素，若简并能量Ei

所对应的所有线性独立的本征函数都可由PR作用在Ei的任一本征函数上得到，即若Ei

所对应的所有本征函数构成的矢量空间不能再分成彼此独立的子空间，则能量的Ei简并称之为正常简并。如果有的Ei的本征函数不能由PR作用在Ei的本征函数上获得，即如果Ei所对应的所有本征函数构成的矢量空间能再分成彼此独立的子空间，则该Ei的简并称之为偶然简并。所谓偶然简并，可以看成是对应于两个不变子空间的两个能量本征值偶然相等。(三)若哈密顿的某一本征能量Ei没有偶然简并，则

1,所属群G的不可约表示Di(R)的维数必然和Ei的简并度相同,即为Ei所对应的线性独立的本征函数的个数。

2,对应于本征能量Ei的本征函数可作为群G不可约表示的基。反言之，作为同一不可约表示基矢的本征函数属于同一能量本征值。

(四)如果知道系统所属的对称群，则可以通过群论分析获得关于系统能级简并度的信息，并给出相应本征函数的一些新性质(五)例:某系统的对称性属于晶体点群O群，已知O群的不可约表示特征标表为

O E 8C3 3C2 6C2’ 6C2A1 1 1 1 1 A2 1 1 1 -1 -1E 2 -1 2 0 0T1 3 0 -1 -1 1T2 3 0 -1 1 -1

根据上面的分析由不可约表示特征标表可知，该体系的能级简并度及相应本征函数的性质为：

1，两个一度简并能级：（A1）—

（A2）— 2，一个二度简并能级：（E）—— 3，两个三度简并能级：（T1）———

（T2）———

4，根据不可约表示特征标可获得某能级本征函数对称性的信息例如，在C2’和C4

的作用下A1和A2所对应能级的本征函数分别具有对称性和反对称性。其余类推。 第三节微扰引起能级简并的消除(一)定理：如哈密顿H=Ho+V

其中，V是微扰势，H0属于群G

若V属于群G’，群G’是群G的子群 则微扰可能解除原来能级的简并证明：若{Ψip}组成群G不可约表示DiG(R)的基矢 由于群G’属于群G， 则由{Ψip}所产生的群G表示对群G’来说可能是可约的，可将其对G’的不可约表示DiG(R)进行约化

DiG(R)=∑ajDiG’（R） 并有n=∑ajnj其中，n为DiG(R)的维数;nj是DiG’(R)的维数;aj为简约系数;j=1，2---Cj，Cj

为群G’的类数和不可约表示数。由此可知：1,计入微扰后，哈密顿量H=Ho+V属群G’，H的本征能量Ei相应的本征函数是群G’的不可约表示DiG’(R)的基矢。如果微扰势的对称性较低，所属群G’是Ho所属群G的子群，原n度简并的能级可能分裂成∑aj个简并度分别为nj的能级;2,无需解薛定格方程，便可讨论微扰对能级简并度的影响，这在许多问题的研究中是有意义的;3,然而，能级的能量值必须由实验或解薛定格方程来确定。(二)例：晶体场中离子谱项的分裂一.完全转动群不可约表示的特征标（离子场属完全转动群）

(1)完全转动群的定义绕通过一定点的任意轴作任何角度的转动所组成的群为完全转动群

(2)完全转动群类的划分

1,在完全转动群中，任意两转轴之间，都有相应的操作可实现彼此间的转换，因此，绕任意转轴转动相同角度的操作皆属同一类。

2,在讨论不可约表示特征标时，只需考虑绕某一转轴的转动，因为同类元素的特征标相同

(3)完全转动群不可约表示的基矢

1,思路:如能找到一个量子力学算符在完全转动群对称操作的变换下保持不变（即可对易），那么该量子力学算符对应于某一本征值的本征函数可作为完全转动群不可约表示的基。

2,寻求符合上述条件的算符如V(r)是球面对称（辏力场）,

则H=-(ħ/2m)▽2+V(r)在完全转动群群元的作用下保持不变.

因完全转动群的对称操作只与角度有关,

故只需讨论H中与角度有关的部分.

作分离变量H=H’+H” H’=-{(1/sinθ)(∂/∂θ)[sinθ(∂/∂θ)]+(1/sinθ)∂2/∂φ2}

因H在完全转动群群元的作用下不变,

则H’在完全转动群群元的作用下也不变（H”与角度无关，故不因转动操作而变）即PRH’PR-1=H’或PRH’=H’PR

故H’便是所要找的量力学算符

3,本征函数和本征值 由量子力学的知识可知，H’的本征函数是球谐函数Ykm Ykm=(2π)–1/2Nkmexp(imφ)Qkm(cosθ)----------(7)

其中，Nkm=[4π(k+m)!/(2k+1)(k-m)!]1/2 Qkm(X)=(1-X2)m/2(2kk!)-1(dk+m/dxk+m)(X2-1)k

并有H’Ykm=k(k+1)Ykm

（m=0,±1----±k）其中，本征值k(k+1)所对应的能级为2k+1度简并

4，不可约表示和基矢

2k+1个本征函数Ykm可作为第k个不可约表示的基矢，该第k个不可约表示为

Dk(R)=Dk(θ,φ)

完全转动群的对称操作只与角度θ，φ有关(4)不可约表示特征标为求特征标，只需求绕Z轴转α角的操作R(α)的不可约表示

Dk(α)的特征标χk(α)

由式（7）可得

PR(α)Ykm=(2π)-1/2Nkmexp[im(φ-α)]Qkm(cosθ) =exp(-imα)Ykm

因此有 ┌exp[ikα] ┐ │ exp[i(k-1)α] │ Dk(α)=│ - │----(8) │ exp[-i(k-1)α]│ └ exp[-ikα]┘

由此可得特征标

χk(α)=∑mexp(imα)=sin(k+1/2)α/sin(α/2)-------(9)二,完全转动群的不可约表示对晶体点群的简约

(1)对原子的外层电子而言,离子场是球对称的,属完全转动群;(2)晶体场属晶体点群，对称性较低，是完全转动群的子群;(3)晶体场中离子谱项的分裂实质上是完全转动群的不可约表示对晶体点群不可约表示的约化。三,例：在具有D3群对称性的晶体中k=2离子谱项的分裂(完全转动群k=2的不可约表示D2(R)对D3群不可约表示的约化)

由公式（9）可得

χ2(R)=χ2(α)=sin(5/2)α/sin(α/2)

因此有

D3 REA,B,CD,F α0180o120oχ2(R)51-1

已知D3群不可约表示特征标表为

D3EA,B,CD,FΓ1111Γ21-11Γ320-1

进行约化，得D2(R)=2Γ3+