控制工程基础第三章线性系统时域分析

第三章

线性系统的时域分析尹怡欣Tel：62332262，E-mail：信息工B程l学o院g自：动化系3、线性系统的时域分析3.1

典型输入信号与时域性能指标3.2

一阶系统的时域分析3.3

二阶系统的时域分析3.4

高阶系统的时域分析3.5

线性系统状态方程的解3.6

线性系统稳态误差计算本章学习要点了解典型输入信号和时域性能指标掌握一阶系统的时域分析方法掌握二阶系统的时域分析方法了解高阶系统的主导极点及其时域分析方法掌握反馈系统的稳态误差及其误差补偿的方法掌握线性系统状态转移矩阵的性质和求解方法掌握状态方程的求解方法系统的三性分析：稳定性稳态特性动态特性稳定的系统概念和定义稳定是系统正常运行的前提，是控制理论研究的重要课题。稳定性的基本概念如果一个线性定常系统在扰动作用消失后，能够恢复到原始的平衡状态，则称系统是稳定的。反之，称系统是不稳定的。即取决于系统的零输入响应。R(s)G(s)B(s)E(s)

C(s)+-H

(s)引言-时域分析在控制理论中的地位和作用系统数学模型G(s),（A,B,C）时间域复数域频率域系统的性能指标系统的校正、综合时域分析是三大分析方法之一，在时域中研究问题，重点讨论过渡过程的响应形式。其特点：直观、精确。比较烦琐。3.1

典型输入信号与时域性能指标1）系统的响应过程瞬态响应：系统在某一输入信号作用下，其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。瞬态响应也称为过渡过程。稳态响应：对于稳定系统，当某一信号输入时，系

统在时间趋于无穷大时的输出状态。稳态也称为静态。分析瞬态响应时，需要选择典型输入信号，这有如下好处：数学处理简单，给定典型信号下的性能指标，便于分析、综合系统；典型输入的响应往往可以作为分析复杂输入时系统性能的基础；便于进行系统辨识，确定未知环节的传递函数。3.1

时域响应与典型输入信号2）常用的典型输入信号（1）阶跃函数At

<

0t

>

0u(t)

=

0A=1时，称为单位阶跃函数，记为1(t)。ss拉氏变换为：

L

[1(t)]

=

1

；

一般情况为：U

(s)

=

A3.1

典型输入信号与时域性能指标（2）斜坡函数（速度函数））s3u(t)

=

2

1

At

2

t

‡

0t

<

00U

(s)

=

As2（3）抛物线函数（加速度函数0t

‡

0t

<

0U

(s)

=

Au(t）=

At3.1

典型输入信号与时域性能指标（4）单位脉冲函数δ(t)U

(s)=

Aw

s2

+w

2（5）正弦函数u(t）=

Asin(w

t)¥-¥

¥

,u(t)

=

d(t)

=

0,d(t)dt

=1,t

„

0t

=

0L[d(t)]=13.1

典型输入信号与时域性能指标名

称时域表达式复域表达式单位阶跃函数1(t)，

t

‡

01s单位斜坡函数t，

t

‡

01s2单位加速度函数1

t

2

，

t

‡

021s3单位脉冲函数d(t)，

t

‡

01正弦函数Asin

wtAws2

+w

23.1

典型输入信号与时域性能指标3）时域性能指标时域中评价系统的暂态性能，通常以系统对单位阶跃输入信号的暂态响应为依据。动态过程：系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。稳态响应：表征系统输出量最终跟踪或复现理想输出的程度。动态性能上升时间tr延迟时间td峰值时间tp调节时间ts超调量σ%振荡次数N3.1

典型输入信号与时域性能指标c(t)t

rt

pt

s10s

pttd0.5误差带

：–0.05

或–0.023.1

典型输入信号与时域性能指标动态性能指标上升时间tr延迟时间td峰值时间tp调节时间ts超调量σ%振荡次数Ntrtdh(¥

)h(t)AA

超调量σ%

=

B

100%峰值时间tp

B上升时间trth(t)调节时间tst动态性能指标定义1y(t)tAB超调量σ%

=

A 100%峰值时间tp上升时间tr调节时间tsy(t)t调节时间ts上升时间tr动态性能指标定义2y(t)ttstptrABBσ%=

A

100%动态性能指标定义33.1

典型输入信号与时域性能指标上升时间tr：响应曲线从零首次上升到稳态值h(∞)所需的时间，称为上升时间。若响应曲线无振荡的系统，tr是响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。延迟时间td:响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。峰值时间tp:响应曲线超过稳态值h(∞)达到第一个峰值所需的时间。调节时间ts:在稳态值h(∞)附近取一误差带，通常取响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。3.1

典型输入信号与时域性能指标

超调量σ%：响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即h

(¥

)超调量表示系统响应过冲的程度，超调量过大将使系统元件工作于恶劣条件，同时加长了调节时间。振荡次数N：在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值次数的一半。tr，tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速性，而

σ%和N反映系统动态过程的平稳性。其中ts和σ%是最重要的两个动态性能的指标。h

(t

)

-

h

(¥

)s

%

=

p

·

100

%3.1

典型输入信号与时域性能指标稳态性能：本课程中所讲的稳态性能主要是稳态误差ess，它是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。3.2

一阶系统的时域分析凡以一阶微分方程作为运动方程的控制系统，称为一阶系统。一阶系统在控制工程中应用广Ts

+1Ts1开环传函为：

G(s)

=

1+

y(t)

=

u(t)dtdy(t)闭环传函为：

F

(s)

=微分方程为：

T泛，如RC电路、空载的直流电动机系统等

。其中：T为系统的时间常数，T的倒数为开环增益3.2

一阶系统的时域分析积分环节或惯性环节组成为一个单位反馈闭环系统时，构成典型的一阶系统。

K0s-R(s)+C(s)1R(s)sKK0F

(s)

=

C(s)

=1+

K0=

=Ts

+1

1

s

+1K0其中，K

=1，T

=1K0T0

s

+1-R(s)+C(s)0K0K0KT0K0T0K0T0

s

+1K0s

F

(s)

=

C(s)

=1+T

s

+11+

K0==Ts

+1s

+11+

K01+

K01+

K0其中，K

=，

T

=为便于研究，令K=1。即F

(s)

=

C(s)

=

1R(s)

Ts

+1C(s)

1F

(s)

=

=

R(s)R(s)

Ts

+13.2

一阶系统的时域分析1）单位阶跃响应s单位阶跃输入

u(t)

=

1(t)的像函数为

U

(s)

=

1则系统输出量的拉氏变换为：Y

(s)

=

G(s)U

(s)

==

-1

1

1

TTs

+1

s

s Ts

+1对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为：-

ty(t)

=

(1-

e

T

)1(t)3.2

一阶系统的时域分析tT2T3T4T5Ty(t)0.6320.8650.950.9820.993T

2T

3T

4T

5T98.2%95%99.3%86.5%B0ty(t)163.2%A0.632一阶系统的单位阶跃响应曲线-

ty(t)

=

(1-

e

T

)1(t)3.2

一阶系统的时域分析2）单位斜坡响应系统输出量的拉氏变换为：s2当输入信号

u(t)

=

t

1(t)

时，U

(s)

=

11

TT

2Y

(s)

=

G(s)U

(s)

=

1

1Ts

+1

s2=

-

+s2

s Ts

+1对上式取拉氏反变换，得单位斜坡响应为：-

ty(t)

=[(t

-T

)

+Te

T

]1(t)3.2

一阶系统的时域分析r(t)c(t)tc(t)r(t)

ess

=

T-

ty(t)

=[(t

-T

)

+Te

T

]1(t)3.2

一阶系统的时域分析3）单位脉冲响应当u(t)=δ(t)时，系统的输出响应为该系统的脉冲响应。因为L[δ(t)]=1，一阶系统脉冲响应的拉氏变换为：11TTY

(s)

=

G(s)U

(s)

=1

=Ts

+1s

+

11Te

1(t)T-

t

y(t)

=对应单位脉冲响应为：3.2

一阶系统的时域分析斜率-1/T21T1(t)T-

t

y(t)

=

e3.2

一阶系统的时域分析u(t)y(t)d(t)1

-

t

e

T

1(t)T1(t)-

t1-

e

T

1(t)t-

tt

-T

(1-

e

T

)

1(t)1

t

22

t

1

t

2

2

-T-Tt

+T

(1-

e

)

1(t)2若输入函数成导数关系，则响应函数成导数关系，由于阶跃响应的暂态特性较直观，且又有一定代表性，因此今后以单位阶跃响应分析暂态特性。无零点的一阶系统

Φ(s)=Ts+1

k

,

T时间常数(画图时取k=1,T=0.5)k(t)=

1

Te-

t

T单1位

k(0)=

T脉

K’(0)=T冲响应h(t)=1-e-t/Th’(0)=1/Th(T)=0.632h(∞)h(2T)=0.865h(∞)h(3T)=0.95h(∞)h(4T)=0.982h(∞)单单位位阶斜跃坡响响应应c(t)=t-T+Te-t/TT?r(t)=

δ(t)r(t)=

1(t)r(t)=

t问2

、调节时间ts=？1

、3个图各如何求T？3

、r(t)=t时，ess=？4、求导关系？k’(0)=－1/T23.2

一阶系统的时域分析几点说明和结论：1。根据动态性能指标的定义，的暂态指标为：t

=3T(5%) t

=4T(2%)s2。s如果设复现和跟踪输入信号为理想输出，那么，对脉冲和单位阶跃输入时的稳态误差为0，而对单位斜波输入的稳态误差为T。3。观察输入信号和对应的输出信号可知，输入函数成导数关系，则响应函数成导数关系，由于阶跃响应的暂态特性较直观，且又有一定代表性，因此今后以单位阶跃响应分析暂态特性。1Ts

+11Ts

+13.2

一阶系统的时域分析例3.2.1一阶系统的结构图如图所示，若kt=0.1,试求系统的调节时间ts，如果要求ts

£

0.1秒。试求反馈系数应取多大？100s-R(s)+ktE(s)

C(s)3.2

一阶系统的时域分析1000

.0110tts

st100

/

s

1/

ktktskkF

(

s

)

=1

+s

+

1F

(

s

)

=0

.1s

+

1=

，当k=0.1时,，

显然时间常数

T

=

0

.1秒因此调节时间为

ts

=

3T

=

0

.3秒，如果要求

t

£

0

.1秒,

t

=

3T

=

3

·

0

.01

£

0

.1,故

kt

‡

0

.3系统的闭环传递函数解3.3

二阶系统的时域分析一个可以用二阶微分方程来描述的系统称为二阶系统。从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的储能元件，经常用到的储能元件有电感、电容等。一、二阶系统标准形式2n2nKC

(

s

)s

2R

(

s

)

s

2wF

(

s

)

==

T

=

n

+

2zw

s

+

w+

1

s

+

KT

TKs(Ts

+1)R(s)C(s)+-w

2

n

s(s

+

2zw

n

)-C(s)+R(s)Tn=

Kw

2nT2zw=

1二阶系统的标准形式w

n

—自然频率（无阻尼振荡频率）z

—阻尼比（相对阻尼系数）3.3

二阶系统的时域分析特征根的性质取决于z

的大小，下面分四种情况讨论。ns1

,2-

1z

2=

-zw

–

w

n2nn=

0二阶系统的特征方程为：s

2

+2zw

s

+w系统的两个特征根（闭环极点）为[s]ImRe0[s]ImRe0[s]s2s2s1s1s1n[s]w

1

-

z

2-

zw

nq0

<

z

<

10(a)(b)(d)

z

=

0ImRez

=

1ImRe0s2

s1z

>

1(c)tgq

=

1-z

2

z3.3

二阶系统的时域分析1．欠阻尼情况:则二阶系统具有一对共轭复根：——衰减系数——阻尼振荡频率输入为单位阶跃信号时，系统输出量的拉氏变换为对上式进行拉氏反变换，可得单位阶跃响应：式中：s

=zw(0<

z

<

1)nw

=

w

1

-z

2d

n=

-s

–

jw

ds1,22n

ns

1

,

2-

1=

-

zw

–

w

ztgq

=

1-z

2

zn

nw

2s(s

2

+

2zw

s

+

w

2

)1zw

n(s

+

zw)

2

+

w

2n

d-s

(s

+

zw

)

2

+

w

2n

ds

+

zw

nC(s)=

n

= -2

z

-zw

ntc(t)

=1-

e(coswd

t

+

sin

wd

t)1-zsin(

w

d

t

+

q

)1

-

z

2=

1

-e-zw

nt式中：q=arccos

z3.3

二阶系统的时域分析01211

+1

-

z11

-1

-

z

22e-zw

nt1

+1

-

z1zw

nT

=T2T3T4Ttc(t)2e-zw

nt1

-1

-

z欠阻尼二阶系统的单位线ζ越小，系统振荡越厉害，一般取0.5—0.8之间。阶跃响应为一条衰减振荡曲线：振荡频率为

w

d

，曲2e

-

zw

n

t1

–1

-

z为动态响应的包络线，包络线的时间常数为s

=zw

n。单位阶跃响曲线c(t)总是包含在一对包络线之内，收敛速率取决于时间常数为s

=zw

n数值。由2．临界阻尼情况（

z

=

1

）21

,2

n

n-1

可知，此时系统有两个相等的实根s

=

-

zw

–

w

zs1,2

=

-wn对单位阶跃输入，系统输出的拉氏变换可写为11n

n

nnw

2wC(s)

=

n

=-

n

-s(s2

+

2w

s

+w

2

)

s

(s

+w

)2

s

+wc(t)

=1-

e-wnt

(1+w

t)n响应曲线：c(t)r(t)01tc(t)3.3二阶系统的时域分析对单位阶跃输入，输出拉氏变换式写成部分分式为将上式拉氏反变换，得过阻尼情况时的时域响应：式中3．过阻尼情况（z

>1

）此时系统有两个不相等的负实根ns

1

,2-

1z

2=

-zw

–

w

ns1n

n

n

n+c(

s

)

=

+s

+

zw

-

w

z

2

-

1 s

+

zw

+

w

z

2

-

1[

2(z

2

-

z

z

2

-

1

-

1

)]

-1

[

2(z

2

+

z

z

2

-

1

-

1]

-11eT1t

eT2

t(

-

)-

T1

-

T2c(

t

)

=

1

+2

z

2

-

1nn21T

=

-(z

-

z

2

-1)wT

=

-(z

+

z

2

-1)wr

(t

)tc(t

)03.3二阶系统的时域分析4．无阻尼情况此时系统有一对虚根这是一条平均值为1的等幅振荡曲线。=

–

jw

ns1,2s1,22=

-zw

n

–

w

n

z

-

1(

z

=

0

)c(

t

)

=

1

-

cosw

nt(

t

‡

0

)0c

(t

)21t(

z

=

0

)3.3二阶系统的时域分析二阶系统的阶跃响应总结ζ＞1s1,2=

-zw

n

–wnz

2

-1j0ζ

＝1s1,2

=

-zw

n

=

-w

nj00＜

ζ

＜1s1,2=

-zw

n

–

jwn1-z

2j0ζ

＝0s1,2

=

–

jwnj0二阶系统的阶跃响应总结

1

1

jζ＞1:

T2

T10-

t

-

te

T1

e

T2y(t)

=1+

T

+

T 2

-过1阻尼1

-1T1

T2jζ

＝1:0y(t)

=1-

e-wnt

(1+w

t)n临界阻尼j0＜

ζ

＜1:0y(t)

=1-

1

e-zw

nt

sin(w

+

b)d1-z

2

欠阻尼jζ

＝0:

0y(t)

=1-

coswnt零阻尼3.3

二阶系统的时域分析二、二阶系统的动态响应性能指示(欠阻尼情况)（1）峰值时间因为整理得：越短。1

-z

2c(t)

=

1

-sin(w

d

t

+q)e-zw

ntdtdc(t)=

0t

=tp-zwnt

p

-zwnt

p

zwne

sin(wd

tp

+q)

-wd

e

cos(wd

tp

+q)

=

0z1-z

2tg(wdtp

+q)

=因为

tgq

=

1-z

2

z

，得到tP

为输出响应达到第一个峰值所需的时间，应取wdtP

=

pww

1

-z

2=

p

=

p

ndPtwdtp

=

0,p,

2p,

3p

tPtPtP与极点虚部成反比,ζ一定时,极点离实轴越远,3.3

二阶系统的时域分析得ww

1

-z

2=

p

=

p

ndP因为最大超调量发生在峰值时间上，所以将t代入（2）最大超调量s

%2Psin

p

)

zp

z

1

-

z

2(cos

p

+c(

t )

=

1

-

e1-z--

zp

1-z

2=

1

+

e·100%-

zp

1-z

2s

%

=

e1

-z

2c(t)

=

1

-sin(w

d

t

+q)e-zw

nt表明：二阶系统的最大超调量仅与阻尼比有关,

ζ越大，s

%

越小。3.3

二阶系统的时域分析（3）调整时间ts欠阻尼情况下输出响应的衰减情况可以用包络线近似。求得当时，忽略，加快系统的响1snnzwzwln

D

1-z

2t

=-

ln

0.05

+ln1-z

2

=-z

<<14sn由zwt

»

, (D

=

0.02)e

-zw

nts

1

-

z

21－

c

(ts

)

»

1

-

1

–

=

0.05

,

(D

=

0.05)n

nzw

zwts

=-

,-ln

0.05

»

3ln

1

-z

2(D

=

0.05)表明：调整时间与系统极点的实数值成反比。由于

s

%

z

决定，若

z

不变，加大

w

n

的数值，则可在不影响系统

s

%

的情况下，减少应速度。ts3.3

二阶系统的时域分析（4）上升时间根据定义trc(

tr

)

=

1

-sin(

w

d

tr

+q

)

=

11

-z

2e-zw

nt„

0e

-zw

ntrw

d

tr

+q

=

pdrtw=

p

-q2=

wn

1

-z越大，系统的响应就越迅速。(

wd

)因为:必有：所以:表明：在

z

一定的情况下，无阻尼自然振荡频率

w

n3.3

二阶系统的时域分析dddnTwN

=

ts,T

=

2p

=

2p

w

1-z

2振荡次数

N

N的定义:在调节时间内,响应曲线穿越其稳态值次数的一半。Td

为阻尼振荡的周期3.3

二阶系统的时域分析小结阻尼比小：上升时间短，调整时间长，超调量大，稳态误差增加阻尼比大：上升时间长希望：上升时间短、调整时间短、超调量小。工程上阻尼比ζ一般取0.4－0.8。

阻尼比ζ为0.707称为最佳阻尼比.rt=

p

-qnw

d3

4ts

»

zwP-

zp

1-z

2s

=

e

·100%w=

p

=

p

nd

w

1

-z

2Pt3.3

二阶系统的时域分析3.3

二阶系统的时域分析总结二阶系统的阶跃响应，发现有如下情况：1）负阻尼情况下，系统在单位阶跃信号作用下系统的输出最终无法达到一个确定的数值上，也不会在确定范围内变化。2）当ζ>0时不管系统的暂态过程如何变化，系统输出都会稳定在值1上。——不稳定系统——稳定系统3）当ζ=0时系统的输出响应，即没有稳定在一个值上也没有发散，而是在[0 2]中周期变化。——临界稳定3.3

二阶系统的时域分析进一步系统的稳定性与系统的特征有什么联系：1）负阻尼情况下：ζ

<0

，系统的极点有正实部。2）当ζ

>0时：不管系统是欠阻尼还是过阻尼，系统的极点都有负实部。3）当ζ

=0时：系统的极点是纯虚的，实部为零。思考和疑问：能否将上面的总结作为判断系统稳定性的结论？1,2n

ns

=

-zw

–w

z

2

-13.3二阶系统的时域分析所以超调量是阻尼比ζ的函数，与无阻尼振荡频率

ωn的大小无关。ζ增大，σ%减小，通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比ζ取在0.4-0.8之间,相应的超调量25%-2.5%。σ%与ζ

的关系曲线n

se-z

wn

t1-z2sin(

1-z2

w

t

+b)£

0.05或0.023.3二阶系统的时域分析调节时间ts根据定义：不易求出ts，但可得出ωnts

与

ζ

的关系曲线调节时间不连续的示意图ζ

值的微小变化可引起调节时间ts显著的变化。3.3二阶系统的时域分析s

(

s

+

34

.5)G

(

s

)

=5

K

A3.3二阶系统的时域分析设系统的输入量为单位阶跃函数,试计算放大器增益KA=200时，系统输出响应的动态性能指标。当

KA增大到1500时或减小到KA=13.5，这时系统的动态性能指标如何?已知单位反馈系统的前向传递函数为：例3.3.1解

系统的闭环传递函数为:AG(s)

5KF

(s)

==

A

1+

G(s)

s2

+

34.5s

+

5K34.5n

AnnA2

5K2ww=

5K2w

z

=

34.5

z

=

34.5

=1000Annnn2wK

=

200,\

F

(s)

==

34.5s2

+34.5s

+1000\

w

2

=1000，2zw\w

=31.6(弧度/秒),z

=34.5

=0.5453.3二阶系统的时域分析则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式,可以求得:2pndtzw2p2pw1-z

2w

n

1

-

z-

ln

0.05 1

-

z

2ts

»s

%

=

e

-pz

/·100%

=

13%t

w

1

-

z

2t

=

p

=0.12(秒)=0.183(秒)N

=

s

=

s n

=0.72(次)w

=

w

1-z

2d

nKA

=1500时,w

n

=86.2(弧度/秒);z

=0.21

2n

nTT1

=

w

(z

-

z

2

-1),

1

=

w

(z

+

z

2

-1)ts

»3T1

=1.46(秒),3.3二阶系统的时域分析\

tp

=

0.037(秒),

ts

=

0.174(秒),s

%

=

52.7%,

N

=

2.34(次)由此可见,KA越大,ζ越小,ωn越大,tp越小,σ%越大,而调节时间ts无多大变化。K

A

=

13.5时,

w

n

=

8.22(弧度/

秒),

z

=

2.1系统工作在过阻尼状态,峰值时间,超调量和振荡次数不存在,而调节时间可将二阶系统近似为大时间常数T的一阶系统来估计。3.3二阶系统的时域分析0.5122.53000.20.40.60.811.21.41.6Step

Response1.5Time

(sec)AmplitudeG1,Ka=13.5G2,Ka=200G3,

Ka=1500z

=0.2(KA

=1500)z

=0.545(KA

=200)Az

=2.1(K

=13.5)wntqc

(t)即比例调节，难以兼顾系统的快速性和平稳性为了改善系统的动态性能，可采用比例－微分控制或速度反馈控制，即对系统加入校正环节调节时间比前两种KA大得多,虽然响应无超调,但过渡过程缓慢,曲线如下：3.3二阶系统的时域分析KA增大，tp减小，tr减小，可以提高响应的快速性，但超调量也随之增加，仅靠调节放大器的增益，例3.3.2如图所示的系统，施加8.9N阶跃力后，记录时间响应如图，试求该系统的质量M、弹性刚度K

和粘性阻尼系数D的数值。质量-弹簧-阻尼系统系统阶跃响应曲线3.3二阶系统的时域分析3.3二阶系统的时域分析解dy(t)dy2

(t)dtdt

2dy2

(t)

dy(t)Mdt

2

dtfi

(t)

-

ky(t)

-

D=

M+

D+

ky(t)

=

fi

(t)i(Ms2

+

Ds

+

k)Y

(s)

=

F

(s)12nnn1

kk

MkwY

(s)

=

1==F

(s)

Ms2

+

Ds

+

kis2

+

2zw

+w

2s2

+

D

s

+

kM

M0.03=

0.0029-

zp

1-z

2M

=

ep根据牛顿第二定律：进行拉氏变换，并整理得：解得

z

=

0.6pn2 1

-

0.62t

1

-z

2w

=

p

=

p

=

1.96(rad

/

s)3.3二阶系统的时域分析1

18.9iY

(s)

=F

(s)

=Ms2

+

Ds

+

k

Ms2

+

Ds

+

k

s18.9

=

8.9

=

0.03(m)s

kMs2

+

Ds

+

k0.03k

=

8.9

=

297(N

/

m)1.962n=

77.3(kg)k

=

297M

=w

2D

=

2zw

n

M

=

2

·

0.6

·1.96

·

77.3

=

181.8(N m

/

s)由终值定理得：y(¥

)

=

lim

sY

(s)

=

lim

ssfi

0

sfi

03.3二阶系统的时域分析三、二阶系统（过阻尼）动态性能分析。当ζ

≥1时，系统将没有σ%，故也没有tp，但有：2nt

dw1

+

0

.

6

z

+

0

.

2

z=nt

rw1

+

1

.5z

+

z

2=ζ

≥1时的特征多项式

2

4

T

,

(

2

%)

3T1

,

(

5

%)=ts1211n

ns

2TT+

2zw

s

+

w

2=

(

s

+)(

s

+

)若T1≥5T2，则：若ζ

=1(T1=T2),st

=4.75T1

1T1=

-(z

+

z

2

-1)wn

1

=

-(z

-

z

2

-1)wnT2(

(2n2nn

nw1tts

+1

ws

+

zF

(s)==, z

=s2

+

2zw

s

+w

2z(s2

+

2zw

s

+w

2

)n

n()211nn2nsw

2w

2s

1Y

(s)=F

(s)=

n

+

n

s

z

s2

+

2zw

s

+w

2

ss

+

2zw

s

+wn

zzY

(s)=

Y

(s)+

s

Y

(s)3.3

二阶系统的时域分析5）带有零点的二阶系统响应具有一个附加零点的闭环二阶系统为y(t)1z1zzy

(t)

=

y(t)

+-1L

(sY

(s))

=

y(t)

+3.3

二阶系统的时域分析jw0

snw

1-z

2nzwnwzljbz1-z

2b

=

arctan2wn

1-zj

=

arctanz

-zw

n1nnl

=

z

-

p=

(z

-zw

)2

+

(w1-z

2

)23.3

二阶系统的时域分析nnttll2eeww-z-z=1-cosj

sin

(wd

+

b

)+

sin

j

cos

(wd

t

+

b

)z1-z

2=1-sin

(w

dt

+

b

+j

)1-z

2(

)(

)1sinzddzcos

w

te-zwnte-zw

nte-zw

nt=1-zwn

sin

(wd

t

+

b

)-wd

cos

(wd

t

+

b

)zsin

(wd

+

b

)+1-z

21-z

2w

1-z

2

n

ll

z

-zw=1-w

t

+

b

-+

b1-z

2

n

z

ly

(t)

=

y(t)

+

1

y(t)()(

)()2

n

d

pdd

p0

ppzpddzlztge

dtl

zwsin

w

tw

cos

w

tzww-zw

nt

p-zw

nt

p=

0+b

+j

-+bt

=

01-z2e

1-z21-z21-z

w

t

+b

+j

==tgb\

t

=

p

-j

；t

=

p

；3.3

二阶系统的时域分析峰值时间dyz

(tp3.3

二阶系统的时域分析超调量超调有增加的趋势。

表示零点与极点距离虚轴的距离比；零点离虚轴越近，超调量越大。调节时间调节时间增加或减小，取决于l/z比值的大小22przj-zp2-1-z1-zy

(t

-

y

(¥

)

es

%

==

1-

2r

+e

·100%

s

y

(¥

)

zr

=zwn1nt

=

4

+ln

l

s

z

zw

3.3

二阶系统的时域分析j0nw

2s(s

+

2xwn

)E(s)

n

nn

tw

2s(s

+

2zw

)G

(s)=

n

=

n

w

2

k

s

s(s

+

2zw

+

w

2

k

)1

+

n

t

s(s

+

2zw

n

)3.3二阶系统的时域分析例3.3.3试分析速度反馈校正对系统性能的影响。解

系统的开环传递函数为w

2图:是采用了速度反馈控制的二阶系统。

R(s)C(s)-

-kt

sn

t

nkss(\

G(s)

=+1)2zw

+

k

w

2w

n(

2z

+

k

tw

n

)2z3.3二阶系统的时域分析t式中k为速度反馈系数令：

k

=为系统的开环增益(不引入速度反馈开环增益

k

=

w

n

)212n

n

tnt

n

nn

t

n2nG(s)w

2w

2w

2闭环传递函数：F

(s)==

n

1+G(s)s2

+

2zw

s

+w

2k

s

+w

2=

n

=

n

s2

+

2zw

s

+w

2s

+

2(z

+

w

k

)w

s

+w2t

t

n等效阻尼比：z

=z

+1

k

w3.3二阶系统的时域分析显然z

t

>z

，所以速度反馈同样可以增大系统的阻尼比,而不改变无阻尼振荡频率ωn,因此,速度反馈可以改善系统的动态性能。在应用速度反馈校正时,应适当增大原系统的开环增益,以补偿速度反馈引起的开环增益减小,同时适当选择速度反馈系数Kt,使阻尼比ζt增至适当数值,以减小系统的超调量,提高系统的响应速度,使系统满足各项性能

指标的要求。3.4

高阶系统的时域分析定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。通常把三阶以上的系统就称为高阶系统。由于求高阶系统的时间响应很是困难，所以通常总是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。响应曲线的类型（振荡情况）由闭环极点的性质所决定。动态响应曲线的形状由闭环系统的零、极点共同决定。闭环极点离虚轴愈近，其对系统的影响愈大。c(t)r(t)10ttc(t)01r(t)c(t)t01r(t)3.4

高阶系统的时域分析一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯性环节和二阶振荡环节的叠加。其瞬态响应即是由这些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成。传递函数可表示为：01U

(s)

sn

+

aY

(s)

k

(sm

+

bG(s)

=n-1=

m-1

1

0

sn-1

++

a

s

+

asm-1

++

b

s

+

b

)qrjk

nknkj

=1k

=1k

(sm

+

bG(s)=

m-1

1

0

m

£

n

,

q

+

2r

=

n(s

+

p

)(s2

+

2z

ws

+w

2

)sm-1

++

b

s

+

b

)3.4

高阶系统的时域分析设输入为单位阶跃，则qrjk

nknkj

=1

k

=1如果其极点互不相同：Y

(s)

=

G(s)U

(s)

=

m-1

1

0

s

(s

+

p

)(s2

+z

ws

+w

2

)k

(sm

+

b sm-1

++

b

s

+

b

)qrk

nk

nkkaak

=1b

(s

+z

w

)

+

g

(w

1-z

2

)Y

(s)

=s

j

=1

(s

+

p

j

)(s

+z

w

)2

+

(w1-z

2

)2+

j

+

k

k

nk

k

nk

k

经拉氏反变换，得：22jk

nkqjrk

(

nk

k

)

k

(

nk

k

)ea

eb

cos

w-

p

tj

=1-z

w

ty(t)

=

a

++1-z

t

+

g

sin

w1-z

tk

=1j0j

j

j0

0

0j03.4高阶系统的时域分析3.4高阶系统的时域分析讨论如下几个问题

1．响应分量的个数？2．什么条件下，当t趋于无穷时，输出值趋于常数？3．什么条件下，当t趋于无穷时，输出值在一定范围内变化，即临界稳定？4．系统输出振荡由什么引起的？5．当系统稳定时，什么样的分量对输出作用时间长？2

2jk

nkqjrk

(

nk

k

)

k

(

nk

k

)ea

eb

cos

w-

p

tj

=1-z

w

tk

=1y(t)

=

a

++1-z

t

+

g

sin

w

1-z

t3.4

高阶系统的时域分析1．q+r+1特征根的实部都小于零，即根在s平面的左半平面。所有实数极点都小于零，复数极点的实部小于等于零。系统输出的震荡由闭环传函复数的极点造成，实轴上的极点不引起震荡。z高阶系统暂态响应各分量衰减的快慢由-pj和ζk、ωnk决定，即由闭环极点在S平面左半边离虚轴的距离决定。当闭环极点离虚轴越近，其作用时间越长（主导极点）。当所有极点均具有负实部时，除常数a

其他各项随着时间t

fi

¥

而衰减为零。3.4

高阶系统的时域分析4(s

+1)(s

+10)10(100

s

+1)G

(s)=

101

103(s

+1)(s

+10)G

(s)

=11(s

+1)G

(s)

=102G

(s)

=(s

+10)解-t1

1(

-

)

=1-

e1-1-11y

(t)

=

L

(G1

(s)

s

)

=

L2s s

+11

1

1y

(t)-10t-1

-1)

=1-

es s

+10=

L

(G2

(s)

s

)

=

L

(

-例3.3.5系统传递函数如下，计算系统的单位阶跃响应。9103.4

高阶系统的时域分析1-1=1-y3

(t)

==

L

(909909s10e

-

e=1-y4

(t)

==

L

-1

(1-1L

(G3

(s)

)s1

-

10

/

9

+

1/

9

)s s

+1

s

+10e-t

+

1

e-10t9L

-1

(G

(s)

1)4

s-

10

/

909

-

899

/

909)s

+1

s

+10-t

899

-10t01245600.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step

Response3Time

(sec)AmplitudeG1G2G3G43.4

高阶系统的时域分析①：G1与G3比较，-1起主要作用（主导极点）。②：G2与G4比较，极点-1与零点-1.01 相接近，零点对极点起到动态响应抵消作用，使远处的极点作用发挥出来（偶极子）。③：G3与G4比较，可见零点起到微分作用，起加快响应速度的目的。④：G3与G4比较，传递函数的稳定零点不影响系统动态响应分量的个数，也不影响它们的稳定性。零点仅影响各分量系数大小正负。⑤：一阶环节起惯性滞后作用，离原点、虚轴越近惯性滞后作用越强。3.4

高阶系统的时域分析主导极点：在高阶系统中某一极点或一对共轭复数极点距虚轴的距离是其它极点距虚轴距离的1/5或更小，并且附近没有闭环零点，称该极点（对）为该高阶系统的主导极点。①用主导极点来估计高阶系统的性能指标②导出高阶系统单位阶跃响应的近似表达式偶极子：dipole指相距很近的符号相反的一对电荷或“磁荷”。这里指相距很近的一对零、极点。对系统的影响很小。控制系统设计流程系统频率特性LF微分方程t（时域）传递函数s（复域）w（频域）F

-1L-1s

=

jwjw

=s系统频率特性LF“三域”模型及其相互关系微分方程t（时域）传递函数s（复域）w（频域）F

-1L-1s

=

jwjw

=s3.5

线性系统状态方程的解前一章我们讨论了系统的数学模型：传递函数与传递函数矩阵状态空间表达式本节讨论在状态空间表达式描述下系统的响应问题。即已知系统的输入和系统的初始状态，如何求解系统的状态变量和输出量。0

y

(

t

)

=

C

x

(

t

)

+

D

u

(

t

)

x

(0

)

=

x

x

(

t

)

=

A

x

(

t

)

+

B

u

(

t

)fi0x

,u

(t

)x(t)

=

?y(t)

=

?3.5

线性系统状态方程的解x(0)

=

x0x(t)

=

Ax(t)

+

Bu(t)0x(0)

=

xx(t)

=

Ax(t)x(0)

=

0x(t)

=

Ax(t)

+

Bu(t)首先求解齐次方程叠加原理3.5

线性系统状态方程的解设：

x(t)

=

b

+

b

t

+

b

t

2

+0

1

20

1

2=

Ax(t)

=

A(b

+

b

t

+

b

t

2

+)则：x(t)

=

b

+

2b

t

+

3b

t

2

+1

2

3比较系数：032211

0

213!1212A

bA

b

,

b=

Ab

=Ab

=b

=

Ab

,

b

=00

1

2=

x0

b0

=

xt

=0t

=0又：x(t)

=

b

+

b

t

+

b

t

2

+0133

30

02

20

3112

3!AtA

b

t

+x(t)

=

b0

+

Ab0t

+A

b

t

+

=

e

bx(t)

=

e

At

x0幂级数法e

At1

Ak

t

k2!

k

!k

=0

k

!=

I

+

At

+

1

A2t

2

+...

+

1

Ak

t

k

+....

=

¥状态转移矩阵：矩阵指数函数

e

At由齐次方程的自由解：x(t)

=

e

At

x

可知，由于

e

At的存在，只要已知x00，任一时刻的x(t)都会变成已知。3.5

线性系统状态方程的解即从时间的角度而言，e

At

意味着它能够使得状态向量随着时间的推移，不断的在状态空间中做转移，所以称e

At为状态转移矩阵，通常记为F

(t)3.5

线性系统状态方程的解状态转移矩阵（矩阵指数函数）的基本性质2）

e

A(t

-t

)

=

e

A0

=

I

F

(t

-

t

)

=

I[F

(t)]-1

=

F

(-t)=

e

A(-t

)3）[e

At

]-1

=

e-

At4）

当且仅当AB=BA时，有

e

AteBt

=

e(

A+B

)t当AB

„

BA，e

AteBt

„

e(

A+B)t5）d

eAt

=

AeAt

=

eAt

A

F

(t)

=

AF

(t)

=F

(t)Adt1）e

At

e

At

=

e

A(t

+t)F

(t)F

(t)

=

F

(t

+t)n

A

=

L

=

l

l1neel

tl1te

At

=

F

(t)

=

几个特殊的矩阵指数函数：

1）对角阵3.5

线性系统状态方程的解2）约当块012!1

01

00

0(n

-1)!11

t

2tt

n

-2

t

n

-1

(n

-

2)!t11

t

0

0

0

0

0

0

l

l

1

0

0 0

l

1

0A

=

J

=

0

0

0

0

则：

e

Jt

=

F

(t

)

=

elt

3.5

线性系统状态方程的解3）模态阵A

s

w

s

=

-we

Atsin

w

t

=

F

(t

)

=

es

t

cos

w

tcos

w

t

-

sin

w

t¥¥(-1)i=0n(2n)!x2ncos

x

=n-1

(2n

-1)!x2n-13.5

线性系统状态方程的解sin

x

=

(-1)i=11）由e

At的定义或展开式直接计算e

At2!

k!=

I

+

At

+

1

A

2

t

2

+

+

1

Ak

t

k

+

2）变换矩阵A为约旦标准型（相似变换）L

=

T

-1

ATA单根时：e

At

=

Te

L

tT

-1A有重根时：J

=

T

-1

ATe

At

=

TeJtT

-1A有复根时：J

=

T

-1MTe

At

=

TeMtT

-13.5

线性系统状态方程的解矩阵指数函数的几种计算方法解：

①求特征值，由det(lI

-

A)

=

0得：l1

=

l2

=

1,

l3

=

2ti，并组成变换矩阵T及T-11②求特征向量l1t1

=

At1

1

t

=

0

0

2t=

1

-1

3

0

t

=

0

1

20设A

=01

0

01

0，求e

At。1(采用变换矩阵法)3.5

线性系统状态方程的解例3.5.1l2t2

=

At2

l3t3

=

At3

0

0

1

0

0

T

-1

=

0

11

01

∴0

01

1

0 0

T

=

0

1-1

③求约当标准形0

1

0 0

J

=

T

-1

AT

=

0

10

02

ete

Jt0

2

t

=

00

④求e

AtAtJt

-10et

0

0

e0

et0

e

=Te

T

=

0

0e2t

0ete2t

-et3.5

线性系统状态方程的解e

At=

F

(t)

=

L

-1

(sI

-

A)-1证：x(t)

=Ax(t)sX(s)

-

x(

0

)

=

AX(s)X(s)=(sI

-

A)-1x(

0

)x(t

)

=

L

-1

(sI

-

A)-1

x(0)e

At=

L

-1

(sI

-

A)-13.5

线性系统状态方程的解3）利用拉氏变换法求e

At拉氏变换法0，求e

At。(采用拉氏变换法)0s

-

2

(sI

-

A)

=

解：21

0

0设A

=

0

1

0

1

2

s

-1

00

s

-1

00

-11100(sI

-

A)-1

=adj(sI

-

A)det(sI

-

A)