黑龙江省绥化市海伦第七中学2022年高三数学理联考试题含解析

黑龙江省绥化市海伦第七中学2022年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《九章算术》中,将底面内正方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱錐P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC,,三棱锥P-ABC四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为(

)A.8π

B.12π

C.20π

D.24π参考答案：C2.

已知向量，,,则(

)A.

B.

C.5

D.25参考答案：C1.设全集，集合，，则 (

)A.

B.

C.

D.参考答案：B4.已知O是坐标原点，点A（—1，1）,若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A．a≥2 B．≤a＜1 C．＜a＜1 D．a≥2或≤a＜1参考答案：D【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．【解答】解：设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=2x﹣a与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．故选：D．【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．6.已知双曲线的右焦点为F，其中一条渐近线与圆（x﹣c）2+y2＝a2（c2＝a2+b2，c＞0）交于A，B两点，△ABF为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心坐标与半径，利用点到直线的距离，结合已知条件转化求解即可．【详解】解：双曲线的右焦点为F（c，0），一条渐近线方程为：bx﹣ay＝0，圆（x﹣c）2+y2＝a2（c2＝a2+b2，c＞0）的圆心（c，0），半径为a，交于A，B两点，△ABF为锐角三角形，可得：a，可得a2＞b2a2，又c2＝a2+b2，b2a2，可得c2，可得：e，得a2＞b2，可得e．所以双曲线C的离心率的取值范围是：．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的简单性质的应用，考查转化思想已经计算能力．7.幂函数y=xa（α是常数）的图象（）A．一定经过点（0，0） B．一定经过点（1，1）C．一定经过点（﹣1，1） D．一定经过点（1，﹣1）参考答案：B【考点】幂函数的图象．【分析】利用幂函数的图象与性质及1α=1即可得出．【解答】解：取x=1，则y=1α=1，因此幂函数y=xa（α是常数）的图象一定经过（1，1）点．故选B．【点评】熟练掌握幂函数的图象与性质及1α=1是解题的关键．8.设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数的图象经过区域D，则a的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.已知命题p：x0∈(－∞,0)，，则p为（

）A．x0∈[0,+∞)，

B．x0∈(－∞,0)，C.x∈[0,+∞)，

D．x∈(－∞,0)，参考答案：D因为命题：，，所以为:，,选D.

10.如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（

）A．性别与喜欢理科无关B．女生中喜欢理科的比为80%C．男生比女生喜欢理科的可能性大些D．男生不喜欢理科的比为60%参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，已知的两条直角边的长分别为，以为直径的圆与交于点，则

参考答案：12.满足条件∪{1，2}={1，2，3}的集合M的个数是

．参考答案：413.已知函数，若，则实数的取值范围是

.参考答案：14.若，且，则．参考答案：因为，所以为第三象限，所以，即。15.设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．

参考答案：答案：90°16.已知则

▲

；不等式的解集为

▲

．参考答案：5；(－2,0)∪(1,+∞)，等价于或者，解得或，故填．

17.已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，过点作圆的切线，切点为使得，则椭圆的离心率的取值范围是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设函数（）.

（1）若曲线在点（，）处与直线相切，求、的值；

（2）求的单调区间.参考答案：解：（1），……2分

∵曲线在点（，）处与直线相切，

∴

即，……………4分

解得

.…………………5分（2）∵（）

…………………7分

（i）当时，恒成立，在（，）上单调递增；……9分

（ii）当时，由，得或，………10分

∴函数的单调增区间为（，）和（，）；单调减区间为（，）.

………………12分略19.（本题满分15分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数（万人）与时间（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益（万元）与时间的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）.

参考答案：（Ⅰ）由题意得，……5分

（Ⅱ）因为………7分①当时，

当且仅当，即时等号………11分②当时，，可证在上单调递减，所以当时，取最小值为…………14分

由于，所以该城市旅游日收益的最小值为万元…15分20.（13分）已知集合A={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]＜0}，B={x|2a＜x＜a2+1}．（Ⅰ）当a=﹣2时，求A∪B；（Ⅱ）求使B?A的实数a的取值范围．参考答案：【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算．【专题】分类讨论；分类法；集合．【分析】由已知中集合A={x|（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0}，集合B={x|（x﹣2a）（x﹣a2﹣1）＜0}，我们先对a进行分类讨论后，求出集合A，B，再由B?A，我们易构造出一个关于a的不等式组，解不等式组，即可得到实数a的取值范围【解答】（Ⅰ）解：当a=﹣2时，A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣4＜x＜5}，∴A∪B={x|﹣5＜x＜5}．（Ⅱ）∵B={x|2a＜x＜a2+1}当时，2＞3a+1，A={x|3a+1＜x＜2}，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣要使B?A必须此时a=﹣1，当时，A=?，使B?A的a不存在；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当时，2＜3a+1，A={x|2＜x＜3a+1}要使B?A必须，故1≤a≤3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上可知，使的实数a的取值范围为[1，3]∪{﹣1}．﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题考查集合的基本运算，集合关系中的参数取值问题，考查计算能力，分类讨论思想的应用21.如图所示，四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，，，BC=1，，，E为CD的中点.（1）求证：BC∥平面SAE；（2）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.参考答案：（1）证明：因为，，，所以，，在△ACD中，，，，由余弦定理可得：解得：CD=4所以，所以△ACD是直角三角形，又E为CD的中点，所以又，所以△ACE为等边三角形，所以，所以，又AE平面SAE，平面SAE，所以BC∥平面SAE.（2）解：由（1）可知，以点为原点，以,，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，.所以，，.设为平面SBC的法向量，则，即设，则，，即平面SBC的一个法向量为，所以所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为.22.户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，对本单位的50名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：

喜欢户外运动不喜欢户外运动合计男性

5

女性10

合计

50已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是． （Ⅰ）请将上面的列联表补充完整； （Ⅱ）是否有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由； （Ⅲ）经进一步调查发现，在喜欢户外运动的10名女性员工中，有4人还喜欢瑜伽．若从喜欢户外运动的10位女性员工中任选3人，记ξ表示抽到喜欢瑜伽的人数，求ξ的分布列和数学期望． 下面的临界值表仅供参考： P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中n=a+b+c+d） 参考答案：【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】（Ⅰ）根据在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是，可得喜欢户外活动的男女员工共30人，其中男员工20人，从而可得列联表； （Ⅱ）利用列联表，计算，与临界值比较，可得结论； （Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）∵在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是． ∴喜欢户外活动的男女员工共30人，其中男员