北京第十九中学高三数学文联考试题含解析

北京第十九中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对于常数，，“”是“方程的曲线是椭圆”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B略2.已知集合，，则A∩B的子集个数为（

）A.2 B．4 C．6 D．8参考答案：B由已知得：，，，所以子集个数：个3.现有历史、政治、数学、物理、化学共有5本书，从中任取2本，取出的书至少有一本文科书的概率为A.

B.

C.

D.参考答案：C4.若ABC三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=1，B=45o，SABC=2，则sinA=(

)．(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A5.已知等差数列的前项和为，且,则（

）A．

B．

C．

D．4参考答案：6.与抛物线相切于坐标原点的最大的圆的方程为（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C7.已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A．3

B．2C．1

D.参考答案：A8.已知函数为奇函数，且当时，，则(A)2

(B)1

(C)0

(D)-2参考答案：D9.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所转过的弧AP的长为l，弦AP的长度为d，则函数的图象大致是参考答案：C10.设全集，则（

）

A．

B．{4，5}

C．{1，2，3，6，7，8}D．U参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，,则

.参考答案：12.为了得到y=cos（2πx﹣）的图象，只需将y=sin（2πx+）的图象向右平移n（n＞0）个单位，则n的最小值为．参考答案：【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得n的最小值．【解答】解：为了得到y=cos（2πx﹣）=sin（2πx﹣+）=sin（2πx+）=sin2π（x+）的图象，只需将y=sin（2πx+）=sin2π（x+）的图象向右平移n（n＞0）个单位，则n的最小值为n=﹣=，故答案为：．【点评】本题主要考查诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．13.已知抛物线的焦点为F，点A在y轴上，线段AF的中点B抛物线上，则

．参考答案：314.已知二次函数的递减区间为则二次函数的递减区间为:

.参考答案：15.已知数列是无穷等比数列，其前n项和是，若，，

则的值为

.参考答案：由，，得，所以。16.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得,CD=30，并在点C测得塔顶A的仰角为60.则塔高AB=__________.参考答案：因为,所以，在三角形中，根据正弦定理可知,即，解得，在直角中，，所以.17.已知函数，且，是的导函数，则

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分10分)选修4

-5：不等式选讲设函数，.(I)求证；(II)若成立，求x的取值范围.参考答案：（Ⅰ）．

…5分（Ⅱ）∵，∴要使成立，需且只需，即，或，或，解得，或故的取值范围是.

…10分略19.衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名后按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.参考答案：（1）；（2）.试题分析：（1）根据分层抽样方法按比例抽取即可；（2）列举出从名志愿者中抽取名志愿者有种情况，其中第组的名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有种，进而根据古典概型概率公式可得结果.1（2）记第3组的3名志愿者为，第4组的2名志愿者为，则从5名志愿者中抽取2名志愿者有，，，，，，，，，，共10种，其中第4组的2名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有，，，，，，，共7种，所以第4组至少有一名志愿都被抽中的概率为.考点：1、分层抽样的应用；2、古典概型概率公式.20.（本小题满分12分）已知直三棱柱中，△为等腰直角三角形，∠＝90°，且＝，、、分别为、、的中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：⊥平面；（3）求二面角的余弦值．参考答案：如图建立空间直角坐标系O—xyz，令AB＝AA1＝4，则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B1（4，0，4），D（2，0，2），

…………（2分）（I）（，4，0），面ABC的法向量为（0，0，4），∵，平面ABC，∴DE∥平面ABC．

…………（4分）（II）…………（6分）∴∵

…………（8分）（III）平面AEF的法向量为，设平面B1AE的法向量为

即

…………（10分）令x＝2，则∴∴二面角B1—AE—F的余弦值为

………（12分）21.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x的不等式|ax－2|＋|ax－a|≥2(a＞0)．(1)当a＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．参考答案：解(1)当a＝1时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥2.由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离之和大于等于2.∴x≥或x≤.∴不等式的解集为.注也可用零点分段法求解．(2)∵|ax－2|＋|ax－a|≥|a－2|，∴原不等式的解集为R等价于|a－2|≥2，∴a≥4或a≤0，又a＞0，∴a≥4.

略22.小龙虾近几年来被称作是“国民宵夜”，某地区近几年的小龙虾产量统计如下表：年份201320142015201620172018年份代码t123456年产量y（万吨）6.66.97.47.788.4（1）求y关于t的线性回归方程；；（2）预测2020年该地区小龙虾的年产量.参考公式：.参考数据：，.参考答案：（1）（2）9.12万吨【分析】(1)先求均值，代入公式得，再根据求,,可得线性回归方程;(2)求自变量为8对应函数值，即为所求.【详解】（1），，，，，，y关于t的线性回归方程为.（