2023年北京海淀区高三二模数学试题及答案

2023北京海淀高三二模数学本试卷共6页，150分．考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知集合A={−1xB=，则（）ABA=BAA．B．C．D．为始边，其终边经过点中，角以P2)，则sin=（2．在平面直角坐标系）25551A．B．C．2．52)(2−x)nnN*的展开式中常数项为32，则n=（）3．若A．5．6C7D．84．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）2y=xy=y=|x|D．y=tanxA．B．C．x=−=35．已知等差数列n的前n项和为Sn，112a，则S的最大值为（）nA．7．6C5D．46．已知抛物线C:y2=4x，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为（）B．−C．(2,−2)D．A．7．芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．产品良率=100%1在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面2有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为（）A．50%B．62C．D．875%8．已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直，且CD=2，P是对角线CE的中点，Q1是对角线BD上一个动点，则P，Q两点之间距离的最小值为（）62D．6A．1．C．29．已知b是平面内两个非零向量，那么“ab0，使得|a+b|a|+|b|”是“存在”的（）A．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充分必要条件D．既不充分也不必要条件=4交于A，B两点，且=120．若l与圆(x−2)交所得的弦长为t，则t的最大值与最小值之差为（B．1D．210．已知动直线l与圆O:x2+y22+y2=25相）A．10−46C．46−8第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。zz=．在复平面内，复数z所对应的点为，则___________．2(2,y=x，则C的标准方程为___________．12．已知双曲线C经过点，渐近线方程为213．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD=BD=CD=AC=32，则=__________；△ABD的面积为___________．f(x)=sinx,g(x)=314．设函数．π①若=,m=1，则不等式f(x)g(x)的解集为___________；2π②若=，且不等式f(x)g(x)的解集中恰有一个正整数，则m的取值范围是___________．4===(n,n1)(n1−)==15．在数列x中，122．设向量an，已知ana0(n，nn给出下列四个结论：①3=3；②nN*,n0；③nN*,n+2n；④nN,n1n．其中所有正确结论的序号*是___________．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。1613分）π6π412已知函数f(x)=asinxx+cos2x+，且f=．f(x)（I）求a的值和的最小正周期；f(x)在π]（Ⅱ）求1714分）上的单调递增区间．某大学A学院共有学生1000人，其中男生640人，女生360人．该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累2计跑步里程进行统计，得到下表．跑步里程s（km）0s30sss90男生女生a126104526（I）求a的值，并估计A学院学生5月份累计跑步里程s（km）在[0,30)中的男生人数；（Ⅱ）从A学院样本中5月份累计跑步里程不少于90(km)求X的分布列及数学期望；的学生中随机抽取3人，其中男生人数记为X，（Ⅲ）该大学B学院男生与女生人数之比为，B学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样．已知A学院和B学院的样本数据整理如下表．5月份累计跑步里程平均值（单位：km）学院AB性别男生女生50405945设A学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为xA，B学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为x，是否存在，使得xx?如果存在，求的最大值；如果不存在，说明理由．BAB1813分）P−PD⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB，PD的中点．如图，在四棱锥中，（I）求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）若AD=23，二面角为已知．求PD的长．E−FC−D的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作⊥PB=PC．条件①：；条件②：注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．1915分）x2y22已知椭圆E:+=ab0)的左顶点为，上、下顶点分别为B,B，直线的方程为121a2bx−3y+3=0.（I）求椭圆E的方程及离心率；（Ⅱ）P是椭圆上一点，且在第一象限内，M是点P关于x轴的对称点．过P作垂直于y轴的直线交直线于点Q，再过Q作垂直于x轴的直线交直线于点N．求的大小．122015分）已知函数f(x)=xlnxy=f(x)在点f处的切线方程；（I）求曲线3f(x)x（Ⅱ）求证：（Ⅲ）若函数；(−x在区间+)上无零点，求a的取值范围．)g(x)=f(x)+ax22115分）am2a若满足如下两个性质，则称n设为整数．有穷数列的各项均为正整数，其项数为m（na为数列：n①a=1，且ai=；mia+1,a,nnan1=(n=②n2,n为偶数=（I）若n为1数列，且15，求m；（Ⅱ）若n为P数列，求a的所有可能值；−11+1（Ⅲ）若对任意的1数列n，均有m2ad，求d的最小值．24海淀区2022—2023学年第二学期期末练习高三数学参考答案一、选择题题目12345678910D答案二、填空题BAADBDCCCx2y2（）2（12）−=14212(,）；37（14）；[,)882（15）②③④三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16()f=asin+cos(2+)44446221=a−sin=2262得a=2.所以，f(x)=2sinxx+cos(2x+)6=sin2x+2x−sin2xsin66123=2x+2x=sin(2x+)23所以，f()的最小正周期T==.2（Ⅱ）由2k−2x+2k+得k−xk+(k)，23212125所以f(x)sin(2x=+)的单调递增区间为[k−,k+](k).31212当k0时，=f()f()的单调递增区间为[−,]，当k1时，=的单调递增区间为[,]，1212所以f()在]上的单调递增区间为]，[,].12（1714a+++5∶9=，故a5.=95估计A学院学生5月跑步里程在[0,30)中的男生人数为1000（Ⅱ）X的取值范围是.=100人.50C157C232517(=)==2)==3)===PX,35C25C1220354(==PX,737C35103527(==PX.73因此X的分布列为X1231427P771427157E(X)=1+2+3=.771（Ⅲ）存在满足条件的，且的最大值为.9x+45x59+设B学院女生人数为，则男生人数为x,则x=B=，x+x+150640+40360232而xA==.1000523259+4511依题意，xx，得，解得，所以的最大值为.AB5+1996（1813（Ⅰ）取中点M，连接FM,BM.1在△PCD中，M,F分别为PC,PD的中点，所以MF，=.21在菱形中，因为所以，BE=.所以四边形BEMF为平行四边形，因此EF，=，2.又因为平面，BM平面，所以EF平面.（Ⅱ）选择条件①:⊥，DE,DC因为平面⊥平面，z⊥PD⊥.PF所以，又因为，⊥M所以平面⊥，又平面DCy所以⊥AEBxD−所以建立如图空间直角坐标系，DE⊥.．又因为又E为中点，所以=DB，即为正三角形.AD=23，所以=3.设Ftt，E，C(0,23,0).EF=(−0,t),EC=(−3,23,0).平面的法向量为1=0).n=2(,y,z)，则设平面的法向量为n2n=0.2−3x+=0,得取xt，则y==z=6.t，3x+23y=所以2=(2t,t,6).由题意，二面角ED的大小为45°−−71n|n||n|12t2|cosn,n|||=所以12+t+2t222解得t=6（舍负）.因为F是的中点，所以PD的长为12.经检验符合题意.选择条件②：zPF因为⊥平面，DB,DC,DE平面，M所以⊥，，⊥⊥.D又因为PB=PD+BD，PC2=2+2，222CyAEBx且=所以，在菱形=中，=，=即为正三角形.又因为E为中点，所以⊥D−建立如图空间直角坐标系．又因为因为为正三角形.且AD=23，所以3.Ftt，E，DE⊥.=设，C(0,23,0).EF=(−0,t),EC=(−3,23,0).平面的法向量为1=0).n=2(,y,z)，则设平面的法向量为n2n=0.2−3x+=0,得取xt，则y==z=6.t，3x+23y=所以2=(2t,t,6).由题意，二面角ED的大小为−−45°1n|n||n|12t2|cosn,n|||=所以12+t+2t2228解得t=6（舍负）.因为F是的中点，所以PD的长为12.经检验符合题意.19.（本小题的方程为x−3y+3=0，可得(−3,0),B.11所以，a=3,b1，由=a2=b2+c2得，c=2.x2c236椭圆E的方程为+y2=1，离心率e===.3a3（Ⅱ）依题意，设P(x,y)（x00M(x,−y).00000y02且由P是椭圆上一点，可得+y0=1.2B13PQ3直线1的方程为y=x+1，A3Ox3B2由x+1=y得，x=3(y−.M300N所以Q(3(y−y).00y0+10直线2的方程为y=x−1，令x=3(y0−，得023(−)3(y02−33y=−1=−1=−0−1.0033即N(3(0−−0−.33−0+0+1yM−yN33x−3y+3003所以kMN====.MxN−0−3(y0−30−30+33ππ即直线的倾斜角是，所以MNQ=.63（2015xxf(x)求导得f(x)=+.2xx=可得f1.又可知f=0，9所以曲线y=f(x)在点f处的切线方程为xy10.−−=（Ⅱ）因为x0，所以x0.由此可知，要证xxx，只需证xx，即证x−x0.令h(x)=x−x，112−x=−=求导得h(x).x2x2x令hx)解得=x=4.,h(x)与h(x)的变化情况如下表：x)4+h(x)0h(x)极大值所以(x)ln4−20.=所以x−x0恒成立.即原不等式成立.（Ⅲ）g(x)=xx+a(x2−x)，因为x1，所以xxx−x02.所以当a0时，g(x)0在)上恒成立，符合题意.xx当a0时，gx)=++a(2x−.2xx=令t(x)g(x)，xx−12x11x2x=−+=−+2a0在)上恒成立.则t(x)2ax2xx)上单调递减.4xx=所以t(x)g(x)在g=1+a.①当g=1+a0即a1时，g(x)0在)上恒成立.−所以g(x)在)上单调递减.所以g(x)g=0在)上恒成立，符合题意.②当g1a0即1a0时，=+10因为x1且由（Ⅱ）知xx，xxx11所以gx)=++a(2x−++a(2x−+1+a(2x−.2xx2xx211所以g−)a−0，a21所以存在x−)使得gx)=0，00a因此,gx)与g(x)的变化情况如下表：x0)0(0,+)gx)g(x)+0极大值所以g(0)g=0.由（Ⅱ）中xxx，可以得g(x)=xx+a(x2−x)x+a(x−x)=x(ax+1−a).211令x=1−，得g−)0.aa所以g(x)在区间)上存在零点，不合题意，舍去.综上，a的取值范围是(,.（2115a+，n为奇数，n解:（Ⅰ）依题意，1=5，n1=，n，n为偶数2所以a=，a=，a=a=a=1.23456从而m6．=a−，n为奇数，n（Ⅱ）依题意，n1=，11．n，n为偶数2下面证明对于任意的正整数k1，当a=k1时，均存在数列a}为−1数列．n11a=2时，a=1，m=2符合题意．12反证，假设存在正整数k1，当a=k1a}时，不存在数列为−1数列，n设此时k的最小值为M（M3即1=2,3,时存在P数列，a=M时不存在P数列．−11−1（1M为奇数时，因为存在以M−1为首项的P数列a,a,，−112所以M,a,a,就是首项为M的−1数列，与假设矛盾．12（2M为偶数时，M因为存在以为首项的P数列a,a,，−1122所以M,a,a,就是首项为M的−1数列，与假设矛盾