第一章　2.1　第2课时　习题课　充分条件与必要条件的综合应用-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册课件(共17张PPT)

第2课时习题课充分条件与必要条件

的综合应用探究一探究二素养形成当堂检测充要条件的证明例1已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.分析第一步,审题,分清条件与结论:在“p是q的充要条件”中p是条件,q是结论;在“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件是a3+b3+ab-a2-b2=0,结论是“ab≠0时,a+b=1”.第二步,根据要求确定解题步骤.分别证明“充分性”与“必要性”,先证必要性:“结论⇒条件”;再证充分性:“条件⇒结论”.探究一探究二素养形成当堂检测证明:(必要性)∵a+b=1,∴a+b-1=0.∴a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.(充分性)∵a3+b3+ab-a2-b2=0,∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.又ab≠0,∴a≠0,且b≠0.∴a+b-1=0,即a+b=1.综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟

充要条件的证明(1)充要条件的证明问题,关键是理清题意,认清条件与结论分别是什么.(2)证明p是q的充要条件,既要证明“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.(3)证明p的充要条件是q,既要证明“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证明的是必要性,后者证明的是充分性.探究一探究二素养形成当堂检测变式训练求证:方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.证明:(必要性)∵关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1,∴x=1满足方程ax2+bx+c=0.∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.(充分性)∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.因此,方程有一个根为x=1.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.探究一探究二素养形成当堂检测根据充分条件、必要条件求参数的取值范围例2已知p:-4<x-a<4,q:(x-2)(x-3)<0,且q是p的充分条件,则实数a的取值范围为(

)A.(-1,6) B.[-1,6]C.(-∞,-1)∪(6,+∞) D.(-∞,-1]∪[6,+∞)分析可将p和q中所涉及的变量x的取值范围解出来,根据充分条件,转化为其构成的集合之间的包含关系,建立关于参数a的不等式组,从而求得实数a的取值范围.探究一探究二素养形成当堂检测答案:B

解析:设q,p表示的范围分别为集合A,B,则A=(2,3),B=(a-4,a+4).所以-1≤a≤6.故选B.探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟

根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下:(1)记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)};(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系:(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组);(4)解不等式(组)求出参数的取值范围.探究一探究二素养形成当堂检测延伸探究例2中,是否存在实数a,使p是q成立的必要不充分条件?若存在,求出a的范围;若不存在,请说明理由.解:设q,p表示的范围分别为集合A,B,则A=(2,3),B=(a-4,a+4).若p是q的必要不充分条件,无解.故不存在这样的实数a.探究一探究二素养形成当堂检测数形结合思想的应用在解答有关充要条件的判断,或者根据条件间的充分性、必要性求参数的取值范围时,有时要借助于Venn图或数轴求解,可以比较形象、直观地解决问题,培养我们直观想象的核心素养.1.Venn图的应用(1)用列举法表示集合,可以很清晰地判断条件间的关系.(2)把条件用集合来表示,将抽象的条件具体化、形象化,方便判断.探究一探究二素养形成当堂检测典例1

已知集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5},则x∈A是x∈B的(

)A.充分不必要条件

B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件分析作出Venn图,判断集合A和集合B之间的关系,进而做出判断.解析:作出Venn图,如图所示,可知x∈B⇒x∈A,但x∈A不能推出

x∈B,所以x∈A是x∈B的必要不充分条件.答案:C探究一探究二素养形成当堂检测2.数轴的应用(1)判断涉及集合的条件间的充分性、必要性时,如果集合中的实数为连续性的,则可用数轴表示集合做出判断.(2)在根据条件间的关系求参数的取值范围时,一般转化为集合间的关系,用数轴法解决,这种解法更加的直观形象,不易出错.探究一探究二素养形成当堂检测典例2

已知集合A={x|-1<x<4},B={x|x<5},则x∈A是x∈B的(

)A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析:在数轴上作出集合A和B如图所示,由图可知x∈A⇒x∈B,但x∈B不能推出x∈A,所以x∈A是x∈B的充分不必要条件.答案:A探究一探究二素养形成当堂检测典例3

已知命题p:-1<x<3,命题q:-m<x<m(m>0),若p是q的必要条件,求实数m的取值范围.解:设A={x|-1<x<3},B={x|-m<x<m,m>0},因为p是q的必要条件,所以B⊆A,在数轴上标出两集合,如图,探究一探究二素养形成当堂检测1.若“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件,则a的取值范围是(

)A.a≥3 B.a≤-1C.-1≤a≤3 D.a≤3答案:B

解析:因为“x<a”是“x2-2x-3≥0”的充分不必要条件,故a≤-1.探究一探究二素养形成当堂检测2.“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形”是否可以作为直角三角形的定义?为什么?解:可以作为直角三角形的定义.因为“有两个角之和为90°的三角形”⇔“有一个内角为90°的三角形”⇔“直角三角形”,即“有两个角之和为90°的三角形”是“直角三角形”的充要条件,故“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形”可以作为直角三角形的定义.探究一探究二素养形成当堂检测3.求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经