数学人教A版高中必修一（2019新编）2-2 基本不等式（教案）

2.2基本不等式考纲要求1．了解基本不等式的推导过程．2．会用基本不等式解决简单的最值问题．3．理解基本不等式在实际问题中的应用．4．掌握公式，凑项，凑系数，分离，常数代换，换元，平方等方法求解最值．知识解读知识点①基本不等式1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)2．基本不等式成立的条件：a>0，b>0.3．等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．4．其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．知识点②几个重要的不等式1．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．2．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．3．ab≤(a，b∈R)．4．eq\f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.知识点③利用基本不等式求最值1．已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).2．已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．题型讲解题型一、基本不等式的理解例1．下列不等式中，正确的是()A．a＋eq\f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4abC．eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2) D．x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)【答案】D【解析】a<0，则a＋eq\f(4,a)≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错，a＝4，b＝16，则eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)，故C错；由基本不等式可知D项正确．例2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是()A．a＞b＞eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab) B．a＞eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)＞bC．a＞eq\f(a＋b,2)＞b＞eq\r(ab) D．a＞eq\r(ab)＞eq\f(a＋b,2)＞b【答案】B【解析】a＝eq\f(a＋a,2)＞eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)＞eq\r(b·b)＝b，因此B项正确．题型二、基本不等式求最值方法1．直接运用例3．已知x<0，则x＋eq\f(1,x)－2有()A．最大值为0 B．最小值为0C．最大值为－4 D．最小值为－4【答案】C【解析】∵x＜0，∴x＋eq\f(1,x)－2＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝eq\f(1,－x)，即x＝－1时取等号．例4．已知，且，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由基本不等式知；（当且仅当时取等号），的最大值为.例5．已知，，且，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，且，所以，所以，所以，即当且仅当即，时等号成立，故的最小值．方法2．配凑法例6．若x<eq\f(2,3)，则y＝3x＋1＋eq\f(9,3x－2)有()A．最大值0 B．最小值9C．最大值－3 D．最小值－3【答案】C【解析】∵x<eq\f(2,3)，∴3x－2<0，y＝3x－2＋eq\f(9,3x－2)＋3＝＋3≤＋3＝－3.当且仅当2－3x＝eq\f(9,2－3x)，即x＝－eq\f(1,3)时取“＝”．例7．(2022·长沙模拟)设0<x<eq\f(3,2)，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为()A．eq\f(9,4) B．4C．eq\f(9,2) D．9【答案】C【解析】y＝4x(3－2x)＝2·2x·(3－2x)≤2·＝eq\f(9,2).当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq\f(3,4)时取等号，∴当x＝eq\f(3,4)时，ymax＝eq\f(9,2).例8．3x2＋eq\f(6,x2＋1)的最小值是()A．3eq\r(2)－3 B．3C．6eq\r(2) D．6eq\r(2)－3【答案】D【解析】3(x2＋1)＋eq\f(6,x2＋1)－3≥2eq\r(3（x2＋1）·\f(6,x2＋1))－3＝2eq\r(18)－3＝6eq\r(2)－3，当且仅当x2＝eq\r(2)－1时等号成立，故选D.方法3．分离（分式型）例9．(2022·天津模拟)函数y＝(x>－1)的最小值为________．【答案】9【解析】因为x>－1，则x＋1>0，所以y＝＝＝(x＋1)＋eq\f(4,x＋1)＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＋1＝eq\f(4,x＋1)，即x＝1时等号成立，所以函数的最小值为9.例10．若a，b∈R，ab＞0，则eq\f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值为_________.【答案】4【解析】因为ab＞0，所以eq\f(a4＋4b4＋1,ab)≥eq\f(2\r(4a4b4)＋1,ab)＝eq\f(4a2b2＋1,ab)＝4ab＋eq\f(1,ab)≥2eq\r(4ab·\f(1,ab))＝4，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝2b2，,ab＝\f(1,2)，))即a2＝eq\f(\r(2),2)，b2＝eq\f(\r(2),4)时取等号，故eq\f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值是4.方法4．常数代换（1代换）例11．若x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(8,y)＝1，则xy有()A．最大值64 B．最小值eq\f(1,64)C．最小值eq\f(1,2) D．最小值64【答案】D【解析】由题意xy＝xy＝2y＋8x≥2eq\r(2y·8x)＝8eq\r(xy)，∴eq\r(xy)≥8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.例12．(2022·重庆模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,2b)的最小值是()A．1 B．2C．eq\f(9,4) D．eq\f(9,2)【答案】C【解析】因为a>0，b>0，且a＋b＝2，所以eq\f(a＋b,2)＝1，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,2b)＝eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\f(1,2)≥eq\f(1,2)×＝eq\f(9,4)，当且仅当a＝eq\f(4,3)，b＝eq\f(2,3)时，等号成立．方法5．消元法例13．(2022·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____．【答案】6【解析】方法一(换元消元法)由已知得9－(x＋3y)＝eq\f(1,3)·x·3y≤eq\f(1,3)·，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号．即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.方法二(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝eq\f(9－3y,1＋y)，所以x＋3y＝eq\f(9－3y,1＋y)＋3y＝＝eq\f(9＋3y2,1＋y)＝＝3(1＋y)＋eq\f(12,1＋y)－6≥2－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝eq\f(12,1＋y)，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6.例14．若实数满足，则的最小值为________．【答案】8【解析】∵实数满足，∴，∴，解得.则，当且仅当时，等号成立．例15．(2022·襄阳模拟)若实数x>1，y>eq\f(1,2)且x＋2y＝3，则eq\f(1,x－1)＋eq\f(1,2y－1)的最小值为________．【答案】4【解析】令x－1＝m,2y－1＝n，则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1，∴eq\f(1,x－1)＋eq\f(1,2y－1)＝eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝(m＋n)＝2＋eq\f(n,m)＋eq\f(m,n)≥2＋2＝4，当且仅当eq\f(n,m)＝eq\f(m,n)，即m＝n＝eq\f(1,2)时取“＝”．∴eq\f(1,x－1)＋eq\f(1,2y－1)的最小值为4.方法6．平方例16．已知为正实数，，求的最大值．【答案】【解析】∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20，当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10，即x＝eq\f(5,3)，y＝eq\f(5,2)时，等号成立．∴W≤2eq\r(5)，即W的最大值为2eq\r(5).方法7．构建目标不等式例17．已知正实数满足，则的最小值是________．【答案】【解析】由已知得，，则，，因为，所以，，因此，当且仅当，即，即时，等号成立；所以的最小值是.例18．已知正实数满足，则的最小值为_______________．【答案】2【解析】正实数x，y满足，，当且仅当等号成立，，故的最小值为2.题型三、基本不等式的实际应用例19．某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是________cm2.【答案】72600【解析】设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，由题意可得3ab＝60000，所以ab＝20000，即b＝eq\f(20000,a)，所以该海报的高为(a＋20)cm，宽为(3b＋10×2＋5×2)cm，即(3b＋30)cm，所以整个矩形海报面积S＝(a＋20)(3b＋30)＝3ab＋30a＋60b＋600＝30(a＋2b)＋60600＝30＋60600≥30×2eq\r(a·\f(40000,a))＋60600＝30×400＋60600＝72600，当且仅当a＝eq\f(40000,a)，即a＝200时等号成立，所以当广告栏目的高为200cm，宽为100cm时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是72600cm2.例20．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－eq\f(2,t＋1).已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是______万元．【答案】37.5【解析】由题意知t＝eq\f(2,3－x)－1(1<x<3)，设该公司的月利润为y万元，则y＝x－32x－3－t＝16x－eq\f(t,2)－3＝16x－eq\f(1,3－x)＋eq\f(1,2)－3＝45.5－≤45.5－2eq\r(16)＝37.5，当且仅当x＝eq\f(11,4)时取等号，即最大月利润为37.5万元．达标训练1．已知0<a<1，b>1，则下列不等式中成立的是()A．a＋b<eq\f(4ab,a＋b)B．eq\r(ab)<eq\f(2ab,a＋b)C．eq\r(2a2＋2b2)<2eq\r(ab)D．a＋b<eq\r(2a2＋2b2)【答案】D【解析】对于选项A，因为0<a<1，b>1，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2>4ab，故选项A错误；对于选项B，eq\r(ab)>eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))＝eq\f(2ab,a＋b)，故选项B错误；对于选项C，eq\r(2a2＋b2)>eq\r(2×2ab)＝2eq\r(ab)，故选项C错误；对于选项D,2a2＋2b2>a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，所以a＋b<eq\r(2a2＋2b2)，故选项D正确．2．(2022·漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是()A．eq\f(2,a＋b) B．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)C．eq\f(2,\r(ab)) D．eq\r(\f(2,a2＋b2))【答案】B【解析】∵a，b为互不相等的正实数，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))，eq\f(2,a＋b)<eq\f(2,2\r(ab))＝eq\f(1,\r(ab))<eq\f(2,\r(ab))，eq\r(\f(2,a2＋b2))<eq\r(\f(2,2ab))＝eq\f(1,\r(ab))<eq\f(2,\r(ab))，∴最大的是eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).3．已知函数y＝eq\f(2,2x－1)＋x(2x>1)，则y的最小值为________．【答案】eq\f(5,2)【解析】∵2x>1，∴x－eq\f(1,2)>0，y＝eq\f(2,2x－1)＋x＝eq\f(1,x－\f(1,2))＋x－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)≥2＋eq\f(1,2)＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)，当且仅当eq\f(1,x－\f(1,2))＝x－eq\f(1,2)，即x＝eq\f(3,2)时取“＝”．∴y的最小值为eq\f(5,2).4．已知函数y＝eq\f(－x2,x＋1)(x<－1)，则()A．f(x)有最小值4B．f(x)有最小值－4C．f(x)有最大值4D．f(x)有最大值－4【答案】A【解析】y＝eq\f(－x2,x＋1)＝eq\f(－x2－1＋1,x＋1)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1＋\f(1,x＋1)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1＋\f(1,x＋1)－2))＝－(x＋1)＋＋2.因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，所以y≥2eq\r(1)＋2＝4，当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立．故f(x)有最小值4.5．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，则当x＋y取得最小值时，y等于()A．16B．6C．18D．12【答案】B【解析】因为x>0，y>0,2x＋8y＝xy，所以eq\f(2,y)＋eq\f(8,x)＝1，所以x＋y＝(x＋y)＝10＋eq\f(2x,y)＋eq\f(8y,x)≥10＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝10＋2×4＝18，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2x,y)＝\f(8y,x)，,2x＋8y－xy＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝12，,y＝6))时取等号，所以当x＋y取得最小值时，y＝6.6．已知非负数满足，则的最小值是（）A．3 B．4 C．10 D．16【答案】B【解析】由，可得，当且仅当取等号．7．(2020·山东枣庄检测)已知正数x，y，满足xy＝1，则M＝eq\f(1,1＋x)＋eq\f(1,1＋2y)的最小值为_______.【答案】2eq\r(2)－2【解析】由正数x，y满足xy＝1，可得0＜x＝eq\f(1,y)，则M＝eq\f(1,1＋x)＋eq\f(1,1＋2y)＝eq\f(1,1＋\f(1,y))＋eq\f(1,1＋2y)＝eq\f(y,1＋y)＋eq\f(1,1＋2y)＝1－eq\f(1,1＋y)＋eq\f(1,1＋2y)＝1－＝1－eq\f(1,2y＋\f(1,y)＋3)≥1－eq\f(1,3＋2\r(2y·\f(1,y)))＝1－eq\f(1,3＋2\r(2))＝2eq\r(2)－2.当且仅当y＝eq\f(\r(2),2)，x＝eq\r(2)时，取得最小值2eq\r(2)－2.8．设a，b，c都是正数，试证明不等式：eq\f(b＋c,a)＋eq\f(c＋a,b)＋eq\f(a＋b,c)≥6.【答案】见解析【解析】证明：因为a>0，b>0，c>0，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)≥2，eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)≥2，所以，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，eq\f(c,a)＝eq\f(a,c)，eq\f(c,b)＝eq\f(b,c)，即a＝b＝c时，等号成立．所以eq\f(b＋c,a)＋eq\f(c＋a,b)＋eq\f(a＋b,c)≥6.9．某厂家拟在2019年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－eq\f(k,m＋1)(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2019年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；(2)该厂家2019年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？【答案】y＝－＋29(m≥0)【解析】(1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－eq\f(2,m＋1)，又每件产品的销售价格为1.5×eq\f(8＋16x,x)元，∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8－m＝－＋29(m≥0)．(2)∵m≥0，eq\f(16,m＋1)＋(m＋1)≥2eq\r(16)＝8，当且仅当eq\f(16,m＋1)＝m＋1，即m＝3时等号成立，∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.故该厂家2019年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．课后提升1．已知正数满足，则的最大值是（）A． B． C．1 D．【答案】B【详解】，因为，所以，因此，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），所以.2．（多选题）设，且，那么（）A．有最小值 B．有最大值C．有最大值 D．有最小值【答案】AD【解析】解：①由题已知得：,故有,解得或（舍）,即（当且仅当时取等号）,A正确;②因为,所以,又因为,有最小值,D正确.3．已知，，，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知，，，则，当且仅当时，即当，且，等号成立，故的最小值为，4．若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则eq\f(4,a＋1)＋eq\f(1,b＋c)的最小值是_________.【答案】3【解析】∵a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，∴a＋b＋c＋1＝3，且a＋1>0，b＋c>0.∴eq\f(4,a＋1)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(1,3)·(a＋1＋b＋c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a＋1)＋\f(1,b＋c)))＝eq\f(1,3)≥eq\f(1,3)(5＋4)＝3.当且仅当a＋1＝2(b＋c)，即a＝1，b＋c＝1时，等号成立．5．已知x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________.【答案】eq\f(2\r(10),5)【解析】因为4x2＋y2＋xy＝1，所以(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－eq\f(3,2)·2xy＝1，所以(2x＋y)2－eq\f(3,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋y,2)))2≤1，解得(2x＋y)2≤eq\f(8,5)，即2x＋y≤eq\f(