福建省泉州市莲山中学高三数学文联考试卷含解析

福建省泉州市莲山中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线l：交双曲线：于A，B两点，过A作直线l的垂线AC交双曲线于点C．若，则双曲线的离心率为(

)A. B. C.2 D.参考答案：A【分析】联立直线xy和双曲线方程可得A，B的坐标，以及|AB|，直角三角形的性质可得|AC||AB|，设出直线AC的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理可得C的横坐标，由弦长公式，化简计算可得a＝b，进而得到所求离心率．【详解】联立直线xy和双曲线方程可得x2，y2，可设A（，），可得|AB|＝2|OA|，在直角三角形ABC中，∠ABC＝60°，可得|AC||AB|，设直线AC的方程为yx，代入双曲线方程可得（b2﹣3a2）x2x﹣a2b20，可得xC，即有|xC﹣xA|＝||，可得|AC|＝2?，即为a2+b2＝|b2﹣3a2|，可得a＝b，e．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，考查直线和双曲线的位置关系，以及联立方程组，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于综合题．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).2.已知抛物线y2=4x的焦点F，若A，B是该抛物线上的点，∠AFB=90°，线段AB中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为

（）A． B．1 C． D．参考答案：C【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|2=a2+b2，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得的最大值．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ由抛物线定义，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由勾股定理得|AB|2=a2+b2，配方得|AB|2=（a+b）2﹣2ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2×（）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选C．3.已知（为锐角），则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略4.如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为A．

B．

C．

D．参考答案：C【知识点】几何体的三视图，几何体的结构.G1

G2解析：由三视图可知此四棱锥是底面边长，一条侧棱与底面垂直，其长2，与这条棱相对的另一条棱的长为，剩余两条侧棱长为，可求得这个四棱锥的侧面积为，故选C.【思路点拨】由三视图得此几何体的结购及各棱长，从而求得此几何体的侧面积.

5.设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（

）A．若与所成的角相等，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

参考答案：C试题分析：因为圆锥的所有母线都与底面成等角，所以A错，如果两个平面互相垂直，平行于其中一个平面的直线与另一个平面可以成任意角，故B错，D项当中的直线可以成任意角，故D错，根据一个平面经过另一个平面的垂直，则两面垂直，故C对，故选C．

6.设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是（弧度）(

)A．1

B．4

C． D．1或4参考答案：D7.将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，得到函数y=f（x）?sinx的图象，则f（x）的表达式可以是（）A．f（x）=﹣2cosxB．f（x）=2cosxC．f（x）=sin2xD．f（x）=（sin2x+cos2x）参考答案：B略8.若双曲线的左右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成7:5的两段，则此双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：9.等差数列中，已知，，使得的最小正整数n为

（

）A．7

B．8

C．9

D．10参考答案：B10.随机抽取某篮球运动员2015年和2016年各10场篮球赛投篮得分X，得到如图所示X的茎叶图．2015、2016与S22015、S22016是分别是2015年和2016年X的平均数与方差，由图可知（）A．2015＞2016，S22015＞S22016B．2015＞2016，S22015＜S22016C．2015＜2016，S22015＜S22016D．2015＜2016，S22015＞S22016参考答案：D【考点】BA：茎叶图．【分析】根据茎叶图计算出平均数，进行比较即可，根据数据分布情况，可以判断方差的大小．【解答】解：由茎叶图得2015=（8+10+16+24+25+26+28+30+32+40）=23.92016=（14+18+26+27+28+32+33+34+35+37）=28.4，则2015＜2016，由茎叶图中数据可知，2015年的数据比较分散，而2016年的数据比较集中，则S22015＞S22016，故选：D．【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和方差的定义是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若等比数列的各项均为正数,且,则

．参考答案：

12.函数y＝的定义域是________．参考答案：{x|－3<x<2}13.设区域，若任取点，则关于x的方程有实根的概率为____________．参考答案：14.已知数列满足下面说法正确的是①当时，数列为递减数列；②当时，数列不一定有最大项；

③当时，数列为递减数列；④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.A.①②

B.②④

C.③④

D.②③参考答案：C15.函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中则的最小值为

．参考答案：16.已知函数，点O为坐标原点，点，向量是向量与i的夹角，则的值为__________.参考答案：17.已知变量满足约束条件，则的最大值为

；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题13分）等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列,，且

．(1)求与；(2)若，求数列的前项和．参考答案：解：（1）设的公差为，的公比为，则为正数，则，；依题意有①

………………2分解得或(舍去)

………………4分故………………6分(2)当为奇数时，共项，构成等差数列，首项为，公差为，共项，构成等比数列，首项为，公比为，所以

……10分当为偶数时，共项，构成等差数列，首项为，公差为，共项，构成等比数列，首项为，公比为，所以……13分19.辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校理科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100,110），[110,120），[120,130），[130,140），[140,150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示：分组区间[100,110）[110,120）[120,130）[130,140）x：y1:22:13:41:1

（1）估计这100名学生语文成绩的平均数、方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）从数学成绩在[130，150]的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X，求X的数学期望E(X)．参考答案：（1）平均数：123;方差：96；（2）【分析】（1）由频率分布直方图可求得这100名学生语文成绩的平均数和方差;（2）由x,y的关系,并结合语文成绩的频率分布直方图,可求得数学成绩在[130，140）,[140，150]的学生人数,进而可判断X可取的值为0,1,2,求出对应概率,然后求出期望即可.【详解】解：（1）这100名学生语文成绩的平均数是：.这100名学生语文成绩的方差是：.（2）数学成绩在[100，140）之内的人数为,所以数学成绩在[140，150]的人数为，而数学成绩在[130，140）的人数为，X可取0,1,2，，，，X的分布列X012P

∴．【点睛】本题考查了频率分布直方图,考查了平均数与方差的求法,考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算,考查了学生的计算能力,属于基础题.20.下表是某数学老师及他的爷爷、父亲和儿子的身高数据：父亲身高（cm）173170176儿子身高（cm）170176182

因为儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为

．参考公式:回归直线的方程是：，其中；其中是与对应的回归估计值.参考数据：，.参考答案：185cm略21.（本小题满分12分）从一块圆心角为，半径为R的扇形钢板上切割一块矩形钢板，请问怎样设计切割方案，才能使矩形面积最大？并说明理由。

方案一：

方案二：

参考答案：方案一：设OE=a,EF=b,,当a=b时，的最大值。 方案二：设在，，，，，的最大值而

故选方案二才能使矩形面积最大。22.（本小题14分）

如图5，在直三棱柱中，，，点、分别是、的中点.

（1）求证：平面；（2）证明：平面平面；参考答案：（1）证明：在矩