向量的数量积和向量积课件

向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积第三节向量的数量积和向量积、两向量的数量积二、两向量的向量积第三节向量的数量积和向量积2两向量的数量积定义两个向量a和b的模与它们之间夹角的余弦之积,称为向量a与b的数量积,记作a·b,即a·b=a‖bIcos(a,b)数量积也称点积。力学意义:一物体在力F的作用下,沿直线AB移动了S,F与AB的夹角为a,如右图,则力对物体做的功为WF‖SIcose两向量的数量积32性质(1)a·a=|a|2ii=1,j·j=1,k●k=12)a⊥ba·b=0ij=0,jk=0,k·i=0(3)表示两非零向量a和b的夹角,则有CoSO-Iallb2性质43运算律(1)交换律a·b=b·a(2)分配律(a+b)·C=a·C+b°C(3)结合律(aa)·b=A(a·b)=a·(b)其中入为常数。4数量积的计算公式设向量a=xi+yij+zk,b=x,i+y2j+z2k则有a·b=x1x2+y1y2+x123运算律5证明:a·b=(x1i+y1j+zk)·(x2i+y2j+x2k)=x1x2i·i+xy2i·j+x132i·k+yr,joi+yyj.j+y,k+x1x2k●i+x1y2k·j+1x2k·kx12+y1y2+x12则有两非零向量a和b的夹角θ的余弦坐标表示为x1x2+yy2+x122a‖b+y+证明:6此时,对于非零向量a,b,有a⊥b<>x1x2+y1y2+x125向量在轴上的投影设A为空间一点,U轴已知,如图。过点A作与轴垂直的平面,平面与轴的交点A称为A在轴上的投影。对于已知向量ABU轴上的有向线段AB′的模称为向量AB在轴U上的投影,它是一个数量,记作P,ABP此时,对于非零向量a,b,有7那么PrjaB=Ablcose为向量AB与轴u的夹角。用e表示u轴上的单位向量,则a·e为向量a在e方向上的投影,那么有a●e=alleles=alost例1已知a={1,1,-4},b={1,-2,2},求:(1)a·b;(2)a与b的夹角;(3)a在b上的投影。那么8解:(1)a·b=1×1+1×(-2)+(-4从2a●D(2)cos(a,b)alb√72+12+(-4)2√12+(-2P+2所以(a,b)=4t(3)因为然bailblco(a,b)=fD1PriPrABa●bb解:(1)a·b=1×1+1×(-2)+(-4从29例2求证余弦定理c2=a2+b2-2abcose6为边CA,CB的夹角。证明:如图所示的△ABC,可得AB=CB-CA那AB=(CB-CA)2=(CB-CA)(CB-CA=CB+CA-2CB●C4令|CB=a,CAb,AB=c,所以C2=a2+b2=2abcose证毕例2求证余弦定理c2=a2+b2-2abcose10两向量的向量积1定义设向量c由两个向量a和b按下列规定给出:(1)|c|=|a|bsine,e为向量a和b的夹角;(2)c⊥a,c⊥b,且向量a,b,c的方向满足右手定则,如图;那么向量c称为向量a和b的向量积,记作a×b,即C=a×b向量积又称为叉积★向量积模的几何意义是:以a,b为邻边的平行四边形的面积。两向量的向量积11向量的数量积和向量积课件12向量的数量积和向量积课件13向量的数量积和向量积课件14向量的数量积和向量积课件15向量的数量积和向量积课件16向量的数量积和向量积课件17END16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿

17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克

18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云

19、自己活着，