理科数学全国通用版一轮复习课时跟踪检测第9章第9节第3课时定点定值探索性问题

第九章解析几何第九节直线与圆锥曲线的综合问题第三课时定点、定值、探索性问题A级·基础过关|固根基|1.(2020届大同调研)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝eq\f(\r(6),3).(1)设E是直线y＝x＋2与椭圆的一个交点，求|EF1|＋|EF2|取最小值时椭圆的方程；(2)已知N(0，1)，是否存在斜率为k的直线l与(1)中的椭圆交于不同的两点A，B，使得点N在线段AB的垂直平分线上？若存在，求出直线l在y轴上截距的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)∵e＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2－b2,a2))＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),3)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3)，∴椭圆的方程可化为eq\f(x2,3b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，将eq\f(x2,3b2)＋eq\f(y2,b2)＝1与y＝x＋2联立，消去y化简得4x2＋12x＋12－3b2＝0，由Δ＝144－16×(12－3b2)≥0，解得b2≥1，即b≥1，∴|EF1|＋|EF2|＝2a＝2eq\r(3)b≥2eq\r(3)，当且仅当b＝1时，|EF1|＋|EF2|取得最小值2eq\r(3)，∴椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)存在直线l.设直线l在y轴上的截距为t，则直线l的方程为y＝kx＋t，代入eq\f(x2,3)＋y2＝1，消去y整理得，(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－3＝0，∵直线l与椭圆交于不同的两点，∴Δ1＝(6kt)2－12(t2－1)(1＋3k2)＞0，即t2＜1＋3k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为Q，则x1＋x2＝－eq\f(6kt,1＋3k2)，x1x2＝eq\f(3t2－3,1＋3k2)，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝eq\f(2t,1＋3k2)，∴AB的中点Q的坐标为eq\f(－3kt,1＋3k2)，eq\f(t,1＋3k2)，∴当k≠0时，kQN＝eq\f(\f(t,1＋3k2)－1,\f(－3kt,1＋3k2))＝－eq\f(1,k)，化简得1＋3k2＝－2t，代入t2＜1＋3k2得，－2＜t＜0.又－2t＝1＋3k2＞1，∴t＜－eq\f(1,2)，故－2＜t＜－eq\f(1,2).当k＝0时，－1＜t＜1.综上，存在直线l，当k≠0时，直线l在y轴上截距的范围为－2，－eq\f(1,2)；当k＝0时，直线l在y轴上截距的范围为(－1，1)．2．(2019届太原市一模)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F2(1，0)，点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝k(x－4)(k≠0)与椭圆C由左至右依次交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出定直线的方程．解：(1)由F2(1，0)，知c＝1，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1＋b2，,\f(1,a2)＋\f(\f(9,4),b2)＝1，))所以a＝2，b＝eq\r(3)，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)证明：因为y＝k(x－4)，所以直线l过定点(4，0)，由椭圆的对称性知点G在直线x＝x0上．当直线l过椭圆C的上顶点时，M(0，eq\r(3))，所以直线l的斜率k＝－eq\f(\r(3),4)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(\r(3),4)（x－4），,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝\r(3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(3\r(3),5)，))所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(3\r(3),5)))，由(1)知A1(－2，0)，A2(2，0)，所以直线lA1M的方程为y＝eq\f(\r(3),2)(x＋2)，直线lA2N的方程为y＝－eq\f(3\r(3),2)(x－2)，所以Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(3),2)))，所以点G在直线x＝1上；当直线l不过椭圆C的上顶点时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－4），,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，所以Δ＝(－32k2)2－4×(3＋4k2)·(64k2－12)>0，则x1＋x2＝eq\f(32k2,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(64k2－12,3＋4k2)，易得直线lA1M的方程为y＝eq\f(y1,x1＋2)(x＋2)，直线lA2N的方程为y＝eq\f(y2,x2－2)(x－2)，当x＝1时，由eq\f(3y1,x1＋2)＝eq\f(－y2,x2－2)得2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝0，所以eq\f(2×（64k2－12）,3＋4k2)－eq\f(5×32k2,3＋4k2)＋eq\f(8×（3＋4k2）,3＋4k2)＝0显然成立，所以点G在直线x＝1上．综上，点G在定直线上，定直线方程为x＝1.B级·素养提升|练能力|3.(2019年北京卷)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．解：(1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.(2)证明：抛物线C的焦点为F(0，－1)．设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2＝－4y))得，x2＋4kx－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.直线OM的方程为y＝eq\f(y1,x1)x.令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－eq\f(x1,y1).同理得点B的横坐标xB＝－eq\f(x2,y2).设点D(0，n)，则eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x1,y1)，－1－n))，eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x2,y2)，－1－n))，eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(x1x2,y1y2)＋(n＋1)2＝eq\f(x1x2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(xeq\o\al(2,1),4)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(xeq\o\al(2,2),4))))＋(n＋1)2＝eq\f(16,x1x2)＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2.令eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3)．4．如图，分别过椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)左、右焦点F1，F2的动直线l1，l2相交于P点，与椭圆E分别交于A，B与C，D不同四点，直线OA，OB，OC，OD的斜率k1，k2，k3，k4满足k1＋k2＝k3＋k4.已知当l1与x轴重合时，|AB|＝2eq\r(3)，|CD|＝eq\f(4\r(3),3).(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在定点M，N，使得|PM|＋|PN|为定值？若存在，求出M，N点坐标并求出此定值；若不存在，请说明理由．解：(1)当l1与x轴重合时，k1＋k2＝k3＋k4＝0，即k3＝－k4，∴l2垂直于x轴，得|AB|＝2a＝2eq\r(3)，|CD|＝eq\f(2b2,a)＝eq\f(4\r(3),3)，解得a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，∴椭圆E的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)存在定点M，N使得|PM|＋|PN|为定值．理由：由(1)得，焦点F1，F2坐标分别为(－1，0)，(1，0)，当直线l1或l2的斜率不存在时，P点坐标为(－1，0)或(1，0)，当直线l1，l2的斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，,y＝m1（x＋1），))得，(2＋3meq\o\al(2,1))x2＋6meq\o\al(2,1)x＋3meq\o\al(2,1)－6＝0，∴x1＋x2＝－eq\f(6meq\o\al(2,1),2＋3meq\o\al(2,1))，x1x2＝eq\f(3meq\o\al(2,1)－6,2＋3meq\o\al(2,1))，∴k1＋k2＝eq\f(y1,x1)＋eq\f(y2,x2)＝m1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋1,x1)＋\f(x2＋1,x2)))＝m1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x1＋x2,x1x2)))＝－eq\f(4m1,meq\o\al(2,1)－2).同理，k3＋k4＝－eq\f(4m2,meq\o\al(2,2)－2).∵k1＋k2＝k3＋k4，∴eq\f(－4m1,meq\o\al(2,1)－2)＝eq\f(－4m2,meq\o\al(2,2