北师大版九年级数学上册 （相似多边形）图形的相似课件教学

九年级数学北师版·上册第四章图形的相似相似多边形

下面几组图形有什么相同点和不同点?（1）（2）（3）（4）观察与思考：新课引入A1B1C1D1E1F1ABCDEF问题1：在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？如图，多边形ABCDEF是显示在电脑屏幕上的,而多边形A1B1C1D1E1F1是投射到银幕上的.它们的形状相同吗？相似多边形的概念及基本性质1问题2：在这两个多边形中，夹相等内角的两边否成比例？知识讲解

六边形ABCDEF和六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的图形.∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1，∠E与∠E1，∠F与∠F1.对应角：分别相等的角；AB与A1B1，BC与B1C1，DE与D1E1，EF与E1F1，FA与F1A1.CD与C1D1，对应边：比相等的边.知识讲解

定义：

各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似的表示：六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，“∽”读作“相似于”.注:对应顶点的字母相对应知识讲解1.猜想什么是相似比？思考相似比有顺序吗？相似比：相似多边形对应边的比.例如：AB:A1B1相似比有顺序六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1;对应边六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1的相似比k1=六边形A1B1C1D1E1F1与六边形ABCDEF的相似比k2=知识讲解542.思考当相似比k=1时，两个图形是什么关系？全等是一种特殊的相似

相似图形相似比k=1即是全等图形知识讲解3.想一想.（1）任意两个等边三角形相似吗？ADEFBC（2）任意两个正方形相似吗？ABDCEFGH（3）任意两个正n边形相似吗？相似相似相似知识讲解（4）任意两个菱形相似吗？对应边成比例，但对应角不一定相等，任意两个菱形不一定相似.归纳：任意两个边数相等的正多边形都相似.知识讲解4.探究：如果反过来呢?相似多边形性质：对应角相等，对应边成比例

若两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢?知识讲解观察下面两组图形，图①中的两个图形相似吗？为什么？正方形菱形10101212图①答：不相似.虽然它们的对应边是成比例的，但它们的对应角不相等.强化训练图②中的两个图形相似吗？为什么？正方形矩形1010812图②答：不相似.虽然它们的对应角相等，但它们的对应边不成比例.强化训练

2、一块长3m、宽1.5m的矩形黑板如下图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm。边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？3m1.5mABCDEFGH（3+0.075×2）m（1.5+0.075×2）m1.5︰3≠1.65︰3.15直观有时是不可靠的强化训练各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比叫做相似比.相似多边形的对应角相等，对应边成比例.★相似比：★相似多边形的特征：★相似多边形的定义：相似多边形用符号“∽”表示，读作“相似于”课堂总结

1.下列命题中，正确的是（）

A.所有的等腰三角形都相似

B.所有的直角三角形都相似

C.所有的等边三角形都相似

D.所有的矩形都相似C目标测试2、若△ABC∽△A′B′C′，且AB：A′B′=1:2

则△ABC与△A′B′C′相似比是

，△A′B′C′与△ABC的相似比是

．2目标测试3．已知△ADE∽△ABC，点A，D，E分别与点A，B，C对应，且相似比为，若DE=4cm，求BC的长.∵解△

ADE

∽△

ABC,目标测试相似三角形的性质第四章图形的相似第1课时导入新课讲授新课当堂练习课堂小结

1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.（重点）2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点）学习目标ACBA1C1B1问题1：ΔABC与ΔA1B1C1相似吗？导入新课ACBA1C1B1相似三角形对应角相等、对应边成比例.ΔABC∽ΔA1B1C1思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？高、角平分线、中线的长度，周长、面积等高角平分线中线ACBD∟A1C1B1D1∟

1.CD和C1D1分别是它们的高，你知道比值是多少吗？2.如果CD和C1D1分别是他们的对应角平分线呢？

3.如果CD和C1D1分别是他们的对应中线呢？ACBDA1C1B1D1想一想量一量，猜一猜D1A1C1B1∟ACBD∟

ΔABC∽ΔA1B1C1,,CD和C1D1分别是它们的高,你知道等于多少吗？讲授新课相似三角形对应高的比等于相似比一证明:∵△A′B′C′∽△ABC，∴∠B′=∠B．又∵∠AD′B=∠ADB=90°,∴△A′B′D′∽△ABD

(两角对应相等的两个三角形相似).从而(相似三角形的对应边成比例).问题：如图，△A′B′C′∽△ABC，相似比为k，分别作BC，B′C′上的高AD，A′D′．求证：由此得到：相似三角形对应高的比等于相似比．类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比．归纳总结如图,电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=4m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是

m.PADBC241.5练一练

例1：如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.（1）AE是ΔASR的高吗？为什么？（2）

ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？（3）求正方形PQRS的边长.SRQPEDCBA典例精析（1）AE是ΔASR的高吗？为什么？解：AE是ΔASR的高.

理由如下：∵AD是ΔABC的高，∴∠ADC=90°.，∵四边形PQRS是正方形∴SR∥BC∴∠AER=∠ADC=90°，∴AE是ΔASR的高.SRQPEDCBABC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.（2）

ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？

解：ΔASR与ΔABC相似.理由如下:∵SR∥BC，∴ΔASR∽ΔABC.

SRQPEDCBABC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.（3）求正方形PQRS的边长.是方程思想哦！解：∵ΔASR∽ΔABCAE、AD分别是ΔASR和ΔABC

对应边上的高∴设正方形PQRS的边长为xcm,

则SR=DE=xcmAE=（40-x）cm∴解得x=24.∴正方形PQRS的边长为24cm.SRQPEDCBA变式一：如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗？SRQPEDCBA如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm.

设SP=xcm，则SR=2xcm

得到：所以x=22x=4

S矩形PQRS=2×4=8cm2

SRQPEDCBA分析：情况一：SR=2SP设SR=xcm，则SP=2xcm

得到：所以x=2.52x=5S矩形PQRS=2.5×5=12.5cm2

原来是分类思想呀！SRQPEDCBA分析：情况二：SP=2SR如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比二问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？ABCDEA'B'D'C'E'已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即求证：证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴

∠A′B′C′=∠ABC,∠B′A′C′=∠BAC．又BE,B'E'分别为对应角的平分线，∴△ABE∽△A′B′E′.A'B'D'C'E'ABCDE验证猜想1由此得到：

相似三角形对应的中线的比也等于相似比．同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应边上的角平分中线的比等于相似比．归纳总结已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即求证：证明：∵△ABC∽△A′B′C′.∴

∠A′B′C′=∠ABC,．又AD,AD′分别为对应边的中线.

∴△ABD∽△A′B′D′.A'B'D'C'E'ABCDE验证猜想2相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．归纳总结典例精析例2：两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？解：设较短的角平分线长为xcm，则由相似性质有解得x＝18.较长的角平分线长为24cm.故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.ΔABC∽ΔA1B1C1，BD和B1D1是它们的中线，已知,B1D1=4cm，则BD=

cm.62.ΔABC∽ΔA1B1C1,AD和A1D1是对应角平分线，已知AD=8cm，A1D1=3cm,则ΔABC与

ΔA1B1C1的对应高之比为

.8:3练一练3．两个相似三角形对应中线的比为，则对应高的比为______.当堂练习2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的角平分线的比为______.2∶31．两个相似三角形的相似比为,则对应高的比为_________,则对应中线的比为_________.解：∵△ABC∽△DEF，

解得,EH＝3.2(cm).答：EH的长为3.2cm.AGBCDEFH（相似三角形对应角平线的比等于相似比），4.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.5.如图，AD是△ABC的高，AD=h,点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当时，求DE的长.如果

呢？∴△ASR∽△ABC

(两角分别相等的两个三角形相似).解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，