平面向量数量积及其应用复习用

一、平面向量数量积的有关概念1.两个非零向量的夹角已知非零向量与，作＝，＝，则∠AOB＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角；说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；（3）当θ＝时，与垂直，记作⊥；（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的，范围为0≤≤180.2.数量积的概念已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·＝︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）.规定；向量的投影：︱︱cos＝∈R，称为向量在方向上的投影.投影的绝对值称为射影.二、平面向量数量积的几何意义及其性质、运算律1.几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积.2.性质：（1）.（2）（3）（4）（5）⊥·＝0注：乘法公式成立；；3.运算律（1）交换律成立：；（2）对实数的结合律成立：；（3）分配律成立：.（4）向量的夹角：cos＝＝.注：平面向量数量积的运算不满足结合律.当且仅当两个非零向量与同方向时，θ＝0°，当且仅当与反方向时，θ＝，同时与其他任何非零向量之间不涉及夹角这一问题.三、两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量，则·＝.（1）垂直：如果与的夹角为90°，则称与垂直，记作⊥.两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝0，（2）平面内两点间的距离公式设，则或.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）.题型一数量积的概念【例1】判断下列各命题正确与否：(1)若,·＝·，则＝;(2)若·＝·,则≠当且仅当＝时成立；(3)·＝0；(4)(·)＝(·)对任意向量,,都成立；(5)对任一向量,有2＝||2(6)·＝.【变式练习】1．若、、为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是()A.B.C.D.2．设,,是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①;

②||－||<|－|;③(·)－(·)不与垂直;④(3＋2)(3－2)＝9||2－4||2中,是真命题的有()A．①②B．②③C．③④D．②④3.已知下列各式：①||2＝2，②③()2＝2·2，④(－)2＝2－2·＋2.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个题型二向量的模与数量积【例2】(1)已知、满足|＋|＝eq\r(3)|－|，||＝||＝1，求|3－2|.(2)若||＝13，||＝19，|＋|＝24，则|－|的值为________．变式题1、已知（1）求与的夹角（2）求和（3）若作三角形ABC，求的面积。变式题2、已知a、b是非零向量，若a+b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，试求a与变式题3.已知a=()

，b=()且θ∈.(1)求的最值。(2)是否存在k的值，使题型三夹角问题【例3】设＝(cosα，sinα),＝(cosβ，sinβ),且与具有关系|k＋|＝eq\r(3)|－k|(k＞0)．(1)与能垂直吗？(2)若与的夹角为60°，求k的值．【变式练习1】已知||＝4，||＝3，(2－3)·(2＋)＝61求：

(1)与的夹角θ；(2)|＋|和|－|；(3)若＝，＝，作三角形ABC，求△ABC的面积;

(4)若＝(－1,2)，＝(3，x)，且，的夹角θ为钝角，求x的取值范围．

【变式练习2】.，且（1）与的夹角为钝角，则的取值范围为_________且（2））与的夹角为锐角，则的取值范围为_________（3）与的夹角为直角，则的取值为_________题型四向量的平行、垂直与数量积【例4】已知向量＝(1,2),＝(－2,1),k，t为正实数，向量＝＋(t2＋1),＝－k＋eq\f(1,t)，(1)若⊥,求k的最小值;(2)是否存在k，t使∥？若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由．【巩固练习】1若平面四边形ABCD满足,则该四

边形一定是()A．正方形B．矩形C．菱形D．直角梯形2.设向量,,满足++=，⊥，||＝1，||＝2，则||2＝()A.1B.2C．4D．53已知||＝1，||＝6，·(－)＝2，则向量与向量的夹角是()4定义运算|⊗|＝||||sinθ,其中θ是向量,的夹角．若||＝2，||＝5，＝－6，则|⊗|＝5若向量＝(2,1)，＝(3，x)，若(2－)⊥，则x的值为6若非零向量,满足||＝||,(2＋)·＝0,则与的夹角为7.已知平面向量,,,则的值是________．8.设是夹角为60°的两个单位向量,且＝＋2,＝2＋,则|＋|=．9.已知向量||＝10，||＝8，与的夹角θ＝120°，则向量在方向上的投影为()A．4B．－4C．5D．510.已知向量与的夹角为,则等于（）A.5B.4C.3D.111．在△ABC中，若，且·＝·＝·,则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形12.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的＝(m,n),＝(p,q),令

⊙＝mq－np，下面说法错误的是()A．若与共线，则⊙＝B．⊙＝⊙C．对任意的λ∈R，有(λ)⊙＝λ(⊙)D．(⊙)2＋(·)2＝||2||213.已知点O是△ABC所在平面上的一点，CA＝CB，设＝eq\o(OA,\s\up6(→))，＝eq\o(OB,\s\up6(→))，＝eq\o(OC,\s\up6(→))，若||＝4，

||＝2，求·(－)．14.已知△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求的坐标．15.设＝(cosα，sinα),＝(cosβ,sinβ),且与具有关系|k＋|＝eq\r(3)|－k|(k＞0)．(1)求证：(＋)⊥(－)；(2)求将与的数量积表示为关于k的函数f(k)；(3)求函数f(k)的最小值及取最小值时与的夹角θ.作业一、选择题1.已知：||＝1，||＝2，＝＋，且⊥，则向量与的夹角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°2.在中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足：，则（）A. B. C. D.3.在中，O是坐标原点，若A. B. C. D.4.在ΔABC中,若,则ΔABC为（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．无法确定5.若||=||=|－|,则与+的夹角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°6.已知||=1,||=，且(－)与垂直，则与的夹角为（）A．60°B．30°C．135°D．45°7.若,则ΔABC为（） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形D．等腰直角三角形8.设||=4，||=3，夹角为60°，则|+|等于（）A．37 B．13 C． D．9.若||=1，||=2，与的夹角为60，=3+，=λ－，若⊥，则实数λ的值为（）A．B．C．D． 10.设a,b,c是平面内任意的非零向量且相互不共线，则下列结论正确的是（）①(a·b)·c－(c·a)·b=0②|a|－|b|<|a－b|③(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直④(3a+2b)·(3a－2b)=9|a|2－4|b|2A．①②B．②③C．③④D．②④11.在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PM,\s\up6(→))，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))等于（）A．－eq\f(4,9)B．－eq\f(4,3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(4,9)12.已知向量＝(1,2)，＝(－2，－4)，||＝eq\r(5)，若(＋)·＝eq\f(5,2)，则与