2020-2021学年北师大版七年级数学下册第二章《相交线与平行线》竞赛题解析版

2020—2021学年北师大版七年级数学下册第二章《相交线与平行线》竞赛题

【答案】C

【分析】

根据同位角的定义可以判断对错.

【详解】

解：两条直线a、b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截直线a、b同一侧

的角称为同位角，根据这个定义，A选项的两角不在被截线的同侧，错误；B选项的两

角不是两条直线被第三条直线所截形成的角，错误；C选项的角符合同位角的定义，正

确：D选项的两角不是两条直线被第三条直线所截形成的角，错误.

故选C.

【点睛】

本题考查同位角的意义，通过同位角的意义进行灵活判断是解题关键.

2.图，C是直线A5上一点，CD_LAB,ECLCF,则图中互余的角的对数与互补的角

的对数分别是（）

A.3,4B.4,7C.4,4D.4,5

【答案】B

【分析】

根据垂直的定义、角互余与互补的定义即可得.

【详解】

•:CDLAB,

:.ZACD=/BCD=90°,

ZACE+ZDCE=90°,/BCF+/DCF=90°，

\EC±CF,

.•.NEb=90。，

:.NDCE+NDCF=90°,

:.ZACE=ZDCF,/BCF=/DCE,

:.ABCF+ZACE=9G°，

则图中互余的角的对数为4对；

ZACD=ZBCD=ZECF=90°,

ZACD+NBCD=ZACD+ZECF=/BCD+/ECF=180°，

•.•点C是直线AB上一点，

.-.ZAC5=180°.

:.ZACE+ZBCE^ISO°,ZACF+ZBCF=180°.

又•.•ZACE=NOCE,4BCF=4DCE,

.­.Z£>CF+ZBCE=180°,ZACF+ZDCE=180°,

则图中互补的角的对数为7对:

故选：B.

【点睛】

本题考查了垂直的定义、角互余与互补的定义，熟练掌握各定义是解题关键.

3.如图，ZAOB,以OB为边作NBOC,使ZBOC=2NAO8,那么下列说法正确

的是（）

A.ZAOC=3ZAOBB.NAOB=NAO。或

ZAOC=3ZAOB

试卷第2页，总21页

C.ZAOC>ZBOCD.ZAOC^ZAOB

【答案】B

【解析】

根据NBOC的位置，以O为顶点，OB为一边作NBOC=20。有两种情况：

①当/BOC的一边0A在/AOB内部时，则NAOB=NAOC;

②当NBOC的一边0B在NAOC内部时，则NAOC=NAOB+NBOC=3NAOB.

故选：B.

点睛：此题主要考查学生对角的计算这一知识点的理解和掌握，此题采用分类讨论的思

想，难度不大，属于基础题.

4.如下图，在下列条件中，能判定AB〃CD的是（）

A___________?

尸

A.Z1=Z3B.N2=N3C.Z1=Z4D.Z3=Z4

【答案】C

【解析】

根据平行线的判定，可由/2=/3,根据内错角相等，两直线平行，得到AD〃BC,由

Z1=Z4,得至I]AB〃CD.

故选C.

5.如图，BD是△ABC的角平分线，DE〃BC,DE交AB于E,若AB=BC,则下列

结论中错误的是（）

»AC

A.BD±ACB.ZA=ZEDAC.2AD=BCD.BE=ED

【答案】C

【解析】

试题分析：BD是△ABC的角平分线，AB=BC,则BD是AC边上的高及中线，所以

NABD=NDBC,BD_LAC,2AD=AC,/A=NBCA；因为DE〃BC,所以NEDA=

ZBCA,ZEDB=ZDBC,所以/A=NEDA,ZABD=ZEDB,所以BE=ED。所以A、

B,D正确，C错误。

6.如图，在四边形ABCD中，Z1=Z2,ZA=60°,则NADC=()

A.65°B.60°C.110°D.120°

【答案】D

【解析】试题分析：根据平行线的判定，内错角相等，两直线平行，由Nl=/2得到

AB〃CD,然后根据平行线的性质可知NA+NADC=I8O。，可求得NADC=120。.

故选：D.

7.定义：平面内的直线h与12相交于点O,对于该平面内任意一点M,点M到直线

h、L的距离分别为a、b,则称有序非负实数对（a,b）是点M的“距离坐标”，根据

上述定义，距离坐标为（2,1）的点的个数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】

首先根据题意，可得距离坐标为（2,1）的点是到h的距离为2,到12的距离为1的点；

然后根据到h的距离为2的点是两条平行直线，到h的距离为1的点也是两条平行直线，

可得所求的点是以上两组直线的交点，一共有4个，据此解答即可.

【详解】

解：如图1,

到h的距离为2的点是两条平行直线13、14,到12的距离为1的点也是两条平行直线15、

16,

•••两组直线的交点一共有4个：A、B、C、D,

距离坐标为（2,1）的点的个数有4个.

故选C.

试卷第4页，总21页

【点睛】

此题主要考查了点的坐标，以及对“距离坐标”的含义的理解和掌握，解答此题的关键是

要明确:到h的距离为2的点是两条平行直线，到12的距离为1的点也是两条平行直线.

8.①如图1,AB〃CD,则NA+NE+NC=180。；②如图2,AB〃CD,则NE=NA+NC;③

如图3,AB〃CD,则NA+NE-N1=18O。；④如图4,AB〃CD,则NA=NC+NP.以上结

论正确的个数是（)

cEDC

图2图3

B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【详解】

①如图1,过点E作EF〃AB,

因为AB〃CD,所以AB〃EF〃CD,

所以NA+NAEF=180°,ZC+ZCEF=180°,

所以NA+NAEC+ZC=ZA+ZAEF+ZC+ZCEF=180°+180°=360°,则①错误；

②如图2,过点E作EF〃AB,

因为AB〃CD,所以AB〃EF〃CD,

所以NA=NAEF,NC=NCEF,

所以NA+NC=NAEC+NAEF=NAEC,则②正确:

③如图3,过点E作EF〃AB,

因为AB〃CD,所以AB〃EF〃CD,

所以NA+NAEF=180°,ZI=ZCEF,所以

ZA+ZAEC-Z1=ZA+ZAEC-ZCEF=ZA+ZAEF=180°,则③正确;

④如图4,过点P作PF〃AB,因为AB〃CD,所以AB〃PF〃CD,

所以/A=NAPF,NC=/CPF,所以/A=/CPF+/APC=/C+/APC,则④正确;

故选C.

E

D

C

C图ID图2

二、填空题(本大题共6小题)

9.如图，已知AB//CF,CF//DE,ZBC£>=90°,贝!|ND—NB=

【答案】90°

【分析】

根据AB〃CF,可得出NB和/BCF的关系，根据CF〃DE,可得出/FED和/D的关

系，合并即可得出ND—NB的大小

【详解】

：AB〃CF,AZB=ZBCF

；CF〃DE

.\ZFCD+ZD=180°

.*.ZFCD+ZD-ZB=180°-ZBCF,化简得：ZD-ZB=180°-(ZBCF+ZFCD)

ZBCD=90°,ZBCF+ZFCD=90°

；.ND—NB=90。

故答案为：90°

【点睛】

本题考查平行线的性质，解题关键是将NBCD分为/BCF和/FCD,然后利用平行线

的性质进行角度转换.

10.一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点重合，若固定三角形AQB,将三

角形ACD绕点A顺时针旋转一周，共有次出现三角形AC。的一边与三

角形AOB的某一边平行.

试卷第6页，总21页

A

【答案】8

【分析】

要分类讨论，不要漏掉任何一种情况,也可实际用三角板操作找到它们之间的关系，再

计算.

【详解】

解：分8种情况讨论:

(1)如图1,AD边与边平行时,ZBAD=45°；

(2)如图2,当AC边与08平行时,NBAD=900+45°=135°；

(3)如图3,DC边与48边平行时,ZBAD=600+90°=\50°,

(4)如图4,DC边与0B边平行时,NBAQ=135°+30°=165°,

如图5,DC边与08边平行时,ZBAD=45°-30°=15°；

(6)如图6,0c边与A0边平行时,/BA£)=15°+90°=105°

(7)如图7,0c边与A8边平行时,ZBAD=3>0°,

(8)如图8,0c边与A。边平行时,NBAO=300+45°=75°；

综上所述:/BAQ的所有可能的值为：15。，30°,45°,75°,105°,135°,150°,165°.

故答案为：8.

本题考查了平行线的性质及判定，画出所有符合题意的示意图是解决本题的关键.

11.如图，AB//CD,CF平分NZ>CG,GE平分NCGB交FC的延长线于点E,若NE

=34。，则N8的度数为.

【答案】68°

【分析】

如图，延长DC交BG于M.由题意可以假设NDCF=NGCF=x,ZCGE=ZMGE=y.构

建方程组证明NGMC=2NE即可解决问题.

【详解】

解：如图，延长DC交BG于M.由题意可以假设NDCF=NGCF=x,NCGE=/MGE=y.

'2x=2y+ZGMC®

则有《

x=y+ZE®

①-2x②得：ZGMC=2ZE,

试卷第8页，总21页

；NE=34°,

.,.ZGMC=68°,

；AB〃CD,

.,.ZGMC=ZB=68°,

故答案为：68。.

【点睛】

本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟悉基本图形，学会添

加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的能力题.

12.如果Z1的两边分别平行于Z2的两边,且N1比N2的2倍少30°,则Zl=

【答案】30。或110。

【分析】

由两个角的两边分别平行，画出图形可得这两个角相等或互补，依此列出方程，解方程

即可得出结果.

【详解】

解：比N2的2倍少30°,21=2/2-30。.

根据/I的两边与/2的两边分别平行，分两种情况：

如图①，根据平行可得，Z1=Z3,Z2=Z3,/.Z1=Z2,则

2Z2-30°=Z2,解得N2=30°,：.N1=3O°；

图①图②

如图②，根据平行可知，Z1=Z3,Z2+Z3=180°f.-.Z1+Z2=18O°,则

2N2-3O°+N2=I8O°,解得N2=70°,AZl=HO0.

综上所述，Z1的度数为30。或110。.

故答案为：30。或110。.

【点睛】

此题考查了平行线的性质.解题的关键是注意由两个角的两边分别平行，可得这两个角

相等或互补，注意分类讨论思想的应用.

13.某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ//MN.如图所示，

灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯8射线从BP开始顺时针旋转

至8。便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度，灯5转

动的速度是每秒1度.若灯8射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线

到达例2之前，A灯转动________秒，两灯的光束互相平行.

【答案】30或no

【分析】

分两种情况讨论：两束光平行；两束光重合之后（在灯B射线到达BQ之前）平行，然

后利用平行线的性质求解即可.

【详解】

解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC〃BD,

①当0＜乜90时，如图1所示：

VPQ//MN,则/PBD=NBDA,

VAC/7BD,则/CAM=/BDA,

.*.ZPBD=ZCAM

有题意可知：2t=30+t

解得：t=30,

②当90ct<150时,如图2所示：

：PQ〃MN,则NPBD+NBDA=18O°,

VAC/7BD,则NCAN=NBDA,

...NPBD+/CAN=180°,

；.30+t+(2t-180)=180

解得：t=110

试卷第10页，总21页

QBP

MDAN

（图2）

综上所述，当t=30秒或t=110秒时，两灯的光束互相平行.

故答案为：30或11（）

【点睛】

本题主要考查补角、角的运算、平行线的性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的

性质，注意分两种情况谈论.

14.如图，已知，NABG为锐角，AH/7BG,点C从点B（C不与B重合）出发，沿

射线BG的方向移动，CD/7AB交直线AH于点D,CE±CD交AB于点E,CF±AD,

垂足为F（F不与A重合），若NECF=n。，则NBAF的度数为____度.（用n来表示）

【答案】n或180-n

【分析】

分两种情况讨论：当点M在线段BC上；点C在延长线上，根据平行线的性质,

即可得到结论.

【详解】

解：过A作AMJ_BC于M,如图1,

当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，

图1

；AD〃BC,CF1AD,

ACFIBG,

AZBCF=90°,

・・・NBCE+NECF=90。，

VCE1AB,

・・・NBEC=90。，

.\ZB+ZBCE=90°,

AZB=ZECF=n°,

VAD/7BC,

，NBAF=180。-ZB=180°-n°,

过A作AMLBC于M,如图2,当点C在线段BM上时，点F在DA延长线上,

VAD/7BC,CF_LAD,

ACF1BG,

.♦・NBCF=90。，

.*.ZBCE+ZECF=90°,

VCE1AB,

・・・NBEC=90。，

・・・NB+NBCE=90。，

/.ZB=ZECF=n°,

•・・AD〃BC,

・・・NBAF=NB=n。，

综上所述，NBAF的度数为n。或18()o-n。，

故答案为：n或180-n.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直

线平行，内错角相等.

三、解答题(本大题共4小题)

15.(1)如图1,已知直线”〃2,且4和4，4分别交于A,B两点，点P在A3上,

则Nl,N2,N3之间的等量关系是；如图2,点A在8处北偏东40。方向，在

C处的北偏西45。方向，则=。.

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(2)如图3,NA3O和N8DC的平分线交于E,BE交CD于息F,Nl+N2=90。,

试在说明：AB//CD；并探究N2与N3的数量关系.

h

【答案】(1)Z1+Z2=Z3,85°；(2)证明见解析，Z2+Z3=90°

【分析】

(1)在图1中，作PM〃AC,利用平行线性质即可证明；利用①结论即可求得NBAC

的度数.

(2)根据BE、DE平分NABD、ZBDC,且Nl+N2=90°,可得/ABD+NBDC=180°,

根据同旁内角互补，可得两直线平行.根据/l+N2=90。，即/BED=90。；那么

N3+NFDE=90。，将等角代换，即可得出/3与/2的数量关系.

【详解】

解：(1)如图1中，作PM〃AC,

mi

：AC〃BD,

二PM〃BD,

，N1=NCPM,Z2=ZMPD,

/.Z1+Z2=ZCPM+ZMPD=ZCPD=Z3.

由题可知：ZBAC=ZB+ZC,

VZB=40°,ZC=45°,

，/BAC=400+45°=85°.

故答案为:Z1+Z2=Z3,85°.

(2)证明：；BE、DE平分/ABD、ZBDC,

=—ZABD,Z2=—ZBDC,

22

；N1+N2=9O°,

.,.ZABD+ZBDC=180°：

...AB〃CD；(同旁内角互补，两直线平行)

DE平分/BDC,

：.N2=/FDE：

VZ1+Z2=9O°,

，NBED=NDEF=90°；

.,.N3+/FDE=90°；

AZ2+Z3=90°.

【点睛】

此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，正确添加辅助线是解决问题的关键.

16.已知a//b,直角□ABC的边与直线”分别相交于0、G两点，与直线6分别交

于E、尸点，ZACB=90°.

(1)将直角口46c如图1位置摆放，如果4OG=46°，则NCM=

(2)将直角DABC如图2位置摆放，N为AC上一点，NNEF+NCEF=180°，请

写出NNEF与NAOG之间的等量关系，并说明理由.

(3)将直角□A5c如图3位置摆放，若/GOC=140°，延长AC交直线占于点2,

点P是射线GF上一动点，探究NPOQ,NOPQ与NPQF的数量关系，请直接写出

结论.

【答案】(1)136°；(2)NAOG+NNEF=90°,理由见解析：(3)当点P在GF上时,

NOPQ=140。-NPOQ+/PQF；当点尸在线段GF的延长线上时，140°-ZPOQ=

ZOPQ+ZPQF.

【分析】

(1)如图1,作CP〃a,Ki]CP//a//b,根据平行线的性质可得N40G=NACP,

试卷第14页，总21页

N8CP+NCE尸=180。，然后利用NACP+/8CP=90唧可求得答案；

(2)如图2,作C尸〃。，则C尸〃。〃从根据平行线的性质可得NAOG=NACP,

ZBCP+ZCEF=180°,然后结合已知条件可得NBCP=/NEF,然后利用/ACP+N3CP

=90。即可得到结论；

(3)分两种情况，如图3,当点P在G尸上时，过点P作PN〃OG,则NP〃OG〃EF,

根据平行线的性质可推出NOPQ=NGOP+/PQF,进一步可得结论；如图4,当点P

在线段GF的延长线上时，同上面方法利用平行线的性质解答即可.

【详解】

解:(1)如图I,作CP//a,

-：a//b,

：.CP//a//b,

：.ZAOG=ZACP,ZBCP+ZCEF=\S00,

：.ZBCP=}S00-ZCEF,

,：N4CP+NBCP=90°,

AZAOG+1800-ZC£F=90°,

VZAOG=46°,

/.ZCEF=136°,

故答案为136°；

(2)NAOG+NNEF=90°.

理由如下：如图2,作CP〃小

则CP//a//b,

：.ZAOG=ZACP,ZBCP+ZCEF=\S009

而ZNEF+ZCEF=180°,

：・NBCP=/NEF,

:ZACP+ZBCP=90°,

，NAOG+NNEQ90。；

(3)如图3,当点尸在Gb上时，过点尸作PN〃OG,

：.NP//OG//EF,

：.ZGOP=ZOPNf4PQF=4NPQ,

：.ZOPQ=NGOP+/PQF,

JZOPQ=140°-ZPOQ+ZPQF；

如图4,当点P在线段G/的延长线上时，过点尸作PN〃OG,

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.'.NP//OG//EF,

：.ZGOP=ZOPN,ZPQF=ZNPQ,

,/ZOPN=ZOPQ+ZQPN,

ZGOP=ZOPQ+ZPQF,

：.140°-ZPOQ=ZOPQ+ZPQF.

【点睛】

本题考查了平行线的性质以及平行公理的推论等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、

灵活应用平行线的判定和性质是解题的关键.

17.问题情境

(1)如图1,已知AB//CD,ZPBA=125,ZPCD=i55\求NBPC的度数.佩

佩同学的思路：过点P作PG〃4B,进而PG〃CO,由平行线的性质来求ZBPC,求

得=.

问题迁移

(2)图2.图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺

的两边重合，ZACB=9O\DF//CG,A8与尸。相交于点E,有一动点P在边BC

上运动，连接PE,PA,记/PED=Na,4PAC=413.

①如图2,当点p在C,。两点之间运动时，请直接写出乙4。£与Na,4?之间的

数量关系；

②如图3,当点P在B,。两点之间运动时，TAPE与Na,之间有何数量关系？

请判断并说明理由；拓展延伸

(3)当点p在C,。两点之间运动时，若NPED，NPAC的角平分线EN,AN相

交于点N,请直接写出N/WE与Ne,N/之间的数量关系.

【答案】(1)80°；(2)①NAPE=Na+N/?,②5E=4(3—4a,理由见解析;

(3)ZANE=；(Na+/0)

【分析】

(1)过点P作尸G//AB,则PG//CD,由平行线的性质可得NBPC的度数；

(2)①过点尸作中的平行线，依据平行线的性质可得“町与Na,夕之间的数

量关系；

②过尸作尸0//。/，依据平行线的性质可得N笈=NQPA，Na=NQPE,即可得

到NAPE=ZAPQ-ZEPQ=N/7—Na；

(3)过尸和N分别作ED的平行线，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得

到ZANE4Na,N夕之间的数量关系为AANE=；(2□+")-

【详解】

解：(1)如图1,过点尸作PG//AB，则PG//C。，

由平行线的性质可得NB+NBPG=180°，ZC+NCPG=180°,

又•:NPBA=125°，NPCD=155°,

二NBPC=360°-125°-155°=80°，

故答案为：80°：

(2)①如图2,ZAPE与Na，/£之间的数量关系为NAPE=Na+N£：

过点P作PM〃FD,则PM〃FD〃CG,

VPM/7FD,

Zl=Za,

PM〃CG,

・・・N2=N0,

/.Zl+Z2=Za+Zp,

即：ZAPE=Na+N/?,

试卷第18页，总21页

B

GA

②如图，NAPE与Na，//?之间的数量关系为NAPE=N£—Na；理由:

过P作尸。//。/，

,?DF//CG,

：.PQ//CG,

：.Z/7=ZQPA,Za=ZQPE,

：.NAPE=ZAPQ-ZEPQ=N1-Na；

(3)如图，

由①可知，ZN=Z3+Z4,

；EN平分NDEP,AN平分/PAC,

Z3=—Za.Z4=—Zp.

22

ZANE与乙a,N,之间的数量关系为4ANE=1(Za+/4).

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质

得出结论.

18.如图，已知A"〃BN,NA=64。.点尸是射线A