第二版自动控制原理第2章课件

自动控制原理

——第二章系统数学模型自动控制原理

——第二章系统数学模型第二章控制系统的数学模型2-1引言2-2微分方程（时域模型）2-3传递函数（复域模型）2-4结构图和信号流图（图形描述）2-5小结第二章控制系统的数学模型2-1引言§2-1引言1.数学模型的概念描述系统内部变量之间关系的表达式，自控系统分析与设计的基础。2.数学模型的研究意义能够比定性分析更加精细准确，从理论上对系统的系统的性能进行定量的分析和计算。许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示。以一个模型分析一类系统。§2-1引言1.数学模型的概念3.数学模型的种类静态模型：静态条件下各变量之间的关系动态模型：描述变量各阶导数关系的微分方程4.数学模型的建立方法分析法（白箱模型）对系统各部分的运动机理进行分析，根据物理、化学规律列写相应的运动方程，如基尔霍夫定律、牛顿定律、热力学关系等等实验法（黑箱模型）人为给系统施加某种测试信号，记录其响应，并用恰当的数学模型进行逼近，形成一个独立学科：系统辨识3.数学模型的种类

综合法（灰箱法）但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。

数学模型的形式时域(t):微分方程复数域(s)：传递函数频域(w)：频率特性三种数学模型之间的关系线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换数学模型的形式三种数学模型之间的关系线性系统传递函数微分方程§2-2控制系统时域模型1.微分方程的建立例1.RLC电路：研究在输入电压ur(t)作用下，电容上电压uc(t)的变化。RLCur(t)uc(t)i(t)§2-2控制系统时域模型1.微分方程的建立例1.RLC电路依据电学中的基尔霍夫定律(2)式两边求导消去中间变量i(t)RLCur(t)uc(t)i(t)整理成规范形式依据电学中的基尔霍夫定律例2-2.机械平移系统求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。kF(t)x(t)位移阻尼系数f阻尼器弹簧m例2-2.机械平移系统求在外力F(t)作用下，物体的运首先确定：输入F(t),输出x(t)其次：理论依据1.牛顿第二定律物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积2.牛顿第三定律作用力等于反作用力,现在我们单独取出m进行分析首先确定：输入F(t),输出x(t)写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由高到低排列。机械平移系统的微分方程为：写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟机械平移系统，这也证明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。（相似系统）讨论：这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟讨论：微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。列写微分方程的基本步骤：确定系统的输入量和输出量将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式，并且化为标准形式。微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列3.线性系统的性质1）定义如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。2）性质：满足叠加原理叠加性齐次性3.线性系统的性质1）定义设元件输入为r(t)、r1(t)、r2(t)，对应的输出为c(t)、c1(t)、c2(t)如果

r(t)=r1(t)+r2(t)时，c(t)=c1(t)+c2(t)满足迭加性如果

r(t)=a·r1(t)时，c(t)=a·c1(t)满足齐次性

a为任意实常数。

满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件设元件输入为r(t)、r1(t)、r2(t)，3）叠加原理的意义对线性系统可以应用迭加性和齐次性，对研究带来了极大的方便。迭加性：欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析——简化了问题3）叠加原理的意义4.非线性系统的线性化1）实际物理系统都是非线性的2）常见的非线性4.非线性系统的线性化1）实际物理系统都是非线性的3）线性化方法非线性微分方程的求解困难，一定条件下可以近似地转化为线性微分方程，使系统的动态特性分析大为简化，有很大的实际意义。方法一：忽略弱非线性环节如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略方法二：偏微法(小偏差法，切线法，增量线性化法)

假设控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化，而这段区域是线性的。符合许多控制系统实际工作情况的。3）线性化方法第二版自动控制原理第2章课件

A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成泰勒级数忽略二次以上的各项，上式可以写成

这就是非线性元件的线性化数学模型A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则方法三：平均斜率法如果一非线性元件输入输出关系如图所示此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为(死区)电机方法三：平均斜率法(死区)电机

注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如

不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，例4：水位自动控制系统，输入量为Q1,输出量为水位H，求水箱的微分方程，水箱的横截面积为C，R表示流阻。阀门水H(t)Q1Q2Q1单位时间进水量Q2单位时间出水量02010==QQ此时水位为H0例4：水位自动控制系统，输入量为Q1,输出量为水位H，求水箱解：dt时间中水箱内流体增加(或减少)CdH应与水总量

(Q1-Q2)dt相等。即：

CdH=(Q1-Q2)dt据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比，则有其中为比例系数。解：dt时间中水箱内流体增加(或减少)CdH据托里拆利定理显然上式为非线性关系，在工作点(Q10,H10)

附近进行台劳级数展开。取一次项得：为流阻。则于是水箱的线性化微分方程为记显然上式为非线性关系，在工作点(Q10,H10)附近进行台§2-2复域数学模型：传递函数时域数学模型：微分方程优点：直观，易于分析系统响应缺点:结构改变或者参数变化时，必须重新列写微分方程，不便于系统分析和设计复数域数学模型：传递函数经典控制理论中最基本最重要的概念补充内容：拉普拉斯变换（拉氏变换）§2-2复域数学模型：传递函数时域数学模型：微分方程1.拉氏变换的定义设函数f(t)当t>=0时有定义，而且积分存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。 记法

f(t)称为F(s)的拉氏反变换记为1.拉氏变换的定义设函数f(t)当t>=0时有定义，而且积分2.常用函数的拉氏变换(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为。(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=d(t)

的拉氏变换。2.常用函数的拉氏变换

（3）例3.求指数函数f(t)=e-at的拉氏变换几个重要的拉氏变换f(t)F(s)f(t)F(s)d(t)1sinwt1(t)1/scoswtt(t)1/s2e-atsinwte-at1/(s+a)e-atcoswt（3）例3.求指数函数f(t)=e-at的拉氏变换f3.拉氏变换的基本性质

(1)线性性质原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。

(2)微分性质若，则有

f(0)为原函数f(t)在t=0时的初始值。3.拉氏变换的基本性质

证：根据拉氏变换的定义有

原函数二阶导数的拉氏变换依次类推，可得到原函数n阶导数的拉氏变换证：根据拉氏变换的定义有(3)积分性质若则式中为积分当t=0时的值。证：设则有由上述微分定理(3)积分性质即：同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0则有即原函数f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象函数除以。即：（4）.终值定理原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。证：由微分定理，有等式两边对s趋向于0取极限（4）.终值定理注：若时f(t)极限不存在，则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。(5)初值定理：证明方法同上。只是要将取极限。(6)位移定理：a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟，则其象函数应乘以注：若时f(t)极限b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以即：(7)时间比例尺定理(相似定理)原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。即：证：b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以(8)卷积定理两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。即证明：(8)卷积定理

4.拉氏反变换

1）定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记。由F(s)可按下式求出

式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。

4.拉氏反变换

若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。例1：例2：求的逆变换。解：若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展例3.例3.2）.拉式反变换——部分分式展开式的求法情况一:F(s)有不同极点,这时,F(s)总能展开成如下简单的部分分式之和2）.拉式反变换——部分分式展开式的求法第二版自动控制原理第2章课件第二版自动控制原理第2章课件情况2:F(s)有共轭极点例2：求解微分方程情况2:F(s)有共轭极点情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点,而其余极点均不相同。那么情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点,第二版自动控制原理第2章课件第二版自动控制原理第2章课件第二版自动控制原理第2章课件如果不记公式,可用以下方法求解也可得解。如果不记公式,可用以下方法求解也可得解。1.传递函数定义定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用G(s)表示。设线性定常系统（元件）的微分方程是其中c(t)为系统的输出，r(t)为系统输入1.传递函数定义定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输

零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：(2)分母中s的最高阶次n即为系统的阶次。零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为(4)物理可实现系统：因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以G(s)的分母次数大于等于分子次数，即,若m>n,我们就说这是物理不可实现的系统。(4)物理可实现系统：因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，例1：RC电路如图所示依据：基尔霍夫定律消去中间变量，则微分方程为：例1：RC电路如图所示则微分方程为：可用方框图表示对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：可用方框图表示对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：2.传递函数性质(1)传递函数与线性定常微分方程一一对应。

(2)传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函数取决于系统本身的结构参数，而与输入无关，可见传递函数有效地描述了系统的固有特性。）

(3)只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，且内部许多中间变量的变化情况无法反映。

2.传递函数性质(1)传递函数与线性定常微分方程一一对应。(4)如果存在零极点对消情况，传递函数就不能正确反映系统的动态特性了。

(5)只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。例2.双T网络(4)如果存在零极点对消情况，传递函数就不能正确反映系统的动解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组：方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组：方程组两边取第二版自动控制原理第2章课件方法二：用复阻抗比（电容1/sC,电感Ls）方法二：用复阻抗比（电容1/sC,电感Ls）

注意：双T网络不可看成两个RC网络的串联，即：R1R2urC1C2ucu2注意：双T网络不可看成两个RC网络的串联，即：R1

与双T网络相比少一个交叉项R1C2S，这就是负载效应，因此双T网络不能孤立地分开，必须作为一个整体来求传递函数。当后一个RC网络接到C1两端时，u2已不再是原来的u2，也就是说R1中的电流=C1中的电流+R2中电流，不再等于C1中的电流。只有当第一个RC网络的负载阻抗为无穷大时，双T网络的传递函数才等于两个RC网络的串联。与双T网络相比少一个交叉项R1C2S，这就是负载效应RC网络与单容水槽水H(t)Q1Q2RC网络与单容水槽水H(t)Q1Q2双T网络与双容水槽双T网络与双容水槽第二版自动控制原理第2章课件第二版自动控制原理第2章课件双容水槽双T网络双容水槽双T网络§2-4结构图和信号流图1.结构图的概念和基本组成（1）概念：将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这时方框图就变成了结构图。（2）基本组成：方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信号处处相同。G(s)X(s)Y(s)§2-4结构图和信号流图1.结构图的概念和基本组成G(s)比较点：综合点，相加点加号常省略，负号必须标出

引出点一条传递线上的信号处处相等，引出点的信号与原信号相等2.结构图的绘制绘制双T网络的结构图比较点：综合点，相加点画图时G(s)R(s)C(s)从左向右列方程组画图时G(s)R(s)C(s)从左向右列方程组将上页方程改写如下相乘的形式：将上页方程改写如下相乘的形式：绘图：ur(s)为输入，画在最左边。1/R11/sC11/R21/sC2uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)--u1(s)-uC(s)这个例子直接列写s域中的代数方程，画出了结构图。绘图：ur(s)为输入，画在最左边。1/R11/sC11/R若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？(刚才中间变量为i1,u1,i2，现在改为I,I1,I2)从右到左列方程：若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？从右到左列方程：

这个结构与前一个不一样，选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。绘图这个结构与前一个不一样，选择不同的中间变量，结构图3.结构图的等效变换（1）串联G(s)X(s)Y(s)X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)＝3.结构图的等效变换G(s)X(s)Y(s)X1(s)G1((2)并联G(s)X(s)Y(s)＝X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)(2)并联G(s)X(s)Y(s)＝X(s)G2(s)G1((3)反馈这是个单回路的闭环形式，反馈可能是负，可能是正，我们用消去中间法来证明。R(s)C(s)C(s)G(s)H(s)E(s)R(s)＝(3)反馈R(s)C(s)C(s)G(s)H(s)E(s)R以后我们均采用Ф(s)表示闭环传递函数，负反馈时，Ф(s)的分母为1＋回路传递函数，分子是前向通路传递函数。正反馈时，Ф(s)的分母为1－回路传递函数，分子为前向通路传递函数。单位负反馈时，以后我们均采用Ф(s)表示闭环传递函数，（4）比较点和分支点（引出点）的移动有关移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。

（4）比较点和分支点（引出点）的移动第二版自动控制原理第2章课件第二版自动控制原理第2章课件结构图三种基本形式G1G2G2G1G1G2G1G2G1G2G1G1G21+串联并联反馈结构图三种基本形式G1G2G2G1G1G2G1G2G1G2G2相邻综合点可互换位置、可合并…结构图等效变换方法1三种典型结构可直接用公式3相邻引出点可互换位置、可合并…

注意事项：1不是典型结构不可直接用公式2引出点综合点相邻，不可互换位置2相邻综合点可互换位置、可合并…结构图等效变换方法1G1G2G3G4H3H2H1G1G2G3G4H3H2H1abG41引出点移动G1G2G3G4H3H2H1G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3H1无用功向同类移动G2H1G1G3错！G2G1G1G2G3H1无用功向同类移动G2H1G1G3错！G2G1作用分解G1G4H3G2G3H1G1G4H3G2G3H1H3H1作用分解G1G4H3G2G3H1G1G4H3G2G3H1H34.1信号流图的组成及性质信号流图也是控制系统的一种表示法信号流图的简化可以直接采用梅森增益公式abGGab方框图表示信号流图表示a,b为节点，G为增益，表示关系4.信号流图4.1信号流图的组成及性质信号流图也是控制系统的一种表示法信号流图中的术语输入节点(源节点)：只有输出支路，而没有输入支路的节点，一般代表系统的输入变量。abcdefg1信号流图中的术语输入节点(源节点)：只有输出支路，而没有输入输出节点(阱节点)：只有输入支路，而没有输出支路的节点，一般代表系统的输出变量。abcdefg1输出节点(阱节点)：只有输入支路，而没有输出支路的节点，一般混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点。abcdefg1混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点。abcdefg1前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经过一次，最终到达输出节点的通路前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益用表示

abcdefg1前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经过一各前向通道及其通道增益①②abcdefg1各前向通道及其通道增益①②abcdefg1回路:起点和终点在同一节点，且信号经过每一个节点不多于一次的闭合通道称为回路回路中所有支路增益的乘积称为回路增益，用表示abcdefg1回路:起点和终点在同一节点，且信号经过每一个节点不多于一次的部分回路及其回路增益①②③abcdefg1部分回路及其回路增益①②③abcdefg1abcdefg不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路1abcdefg不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫图中的不接触回路abcdefg1图中的不接触回路abcdefg1信号流图的性质信号流图适用于线性系统节点表示系统的变量支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递，相当于乘法器节点的输出信号等于所有输入支路信号的叠加信号流图的不唯一性信号流图的性质信号流图适用于线性系统4.2梅森(Mason)增益公式

任一结构图中，某个输入对某个输出的传输增益（传递函数）为系统总增益（总传递函数）前向通路个数第k条前向通路总增益信号流图特征式第k

条前向通路的特征余子式

4.2梅森(Mason)增益公式任一结构图中，某个输入对信号流图特征式的计算公式为所有不同回路增益之和

所有任意两个互不接触回路增益乘积之和所有任意3个互不接触回路增益乘积之和

为除去与第k条前向通路相接触的回路增益项（即令接触的回路增益全置为零）以后的余项式

信号流图特征式的计算公式为所有不同回路增益之和所有任意两个【例2】求图所示信号流图的传函解：（1）列出各回路增益①②③L1L2L3还有回路？【例2】求图所示信号流图的传函解：（1）列出各回路增益①②③⑤④L5L4⑤④L5L4两两互不接触的回路为特征式为L5L4L1L2L3两两互不接触的回路为特征式为L5L4L1L2L3（2）列出各前向通道增益及其余子式①②P1P2（2）列出各前向通道增益及其余子式①②P1P2（3）根据梅森公式写出总的传函（3）根据梅森公式写出总的传函【例】求图所示信号流图的闭环传递函数解：（1）列出各回路增益①②③④L1L3L2L4【例】求图所示信号流图的闭环传递函数解：（1）列出各回路增益互不接触的回路是所以，特征式为L1L2L3L4互不接触的回路是所以，特征式为L1L2L3L4（2）各前向通道①②③P1P2P3（2）各前向通道①②③P1P2P3（2）闭环传函为（2）闭环传函为4.3信号流图的绘制⑴由微分方程绘制（仅作了解）1）将各环节转化为传递函数，再画信号流图2）对系统每个变量指定一个节点3）按照系统中的变量的因果关系，从左至右顺序排列4）根据数学关系将各节点变量正确连接，标明支路增益4.3信号流图的绘制⑴由微分方程绘制（仅作了解）1）将各在结构图上用小圆圈标出传递函数的信号，即得到节点用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，便得到支路⑵由系统方块图绘制（需要掌握）

⑵由系统方块图绘制（需要掌握）由结构图转化为信号流图时，节点数量要尽量精简支路传输增益为1的相邻两个节点可以合并比较点与其之后的引出点可以合并比较点与其之前的引出点不能合并G1G2G4-H2G3RCABCD由结构图转化为信号流图时，节点数量要尽量精简G1G2G4-H【例】画出所示系统方块图的信号流图HRBC1G2G3G4G1A2A【例】画出所示系统方块图的信号流图HRBC1G2G3G4G1解：①用小圆圈表示各变量对应的节点②在比较点之后的引出点A1,A2

可以与引出点合并C解：①用小圆圈表示各变量对应的节点CC(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)R(s)

G1(s)

G2(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

H1(s)H3(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G4(s)

G3(s)

H1(s)

G1(s)H3(s)

G3(s)

H1(s)H3(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G4(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

G3(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1P2=G4G3P1=G1G2G3△1=1△2=1+G1H1

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

G3(s)C(s)G4(s)H1(s)H3(s)G1(s)G2N(s)G1(s)H1(s)H2(s)C(s)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)E(s)=1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2-

G1H1(–G2H3)R(s)[