函数的概念及其表示

3.1函数的概念及其表示1．理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则．2．掌握判定函数和函数相等的方法．3．学会求函数的定义域与函数值．4．明确函数的三种表示方法．5．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．知识点一函数的概念概念一般地，设A，B是非空的，如果对于集合A中的，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域的取值范围值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}【答案】实数集任意一个数x唯一x函数的四个特征：①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.知识点二区间设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示闭区间开区间左闭右开区间右闭左开区间其它区间的表示定义R符号知识点三同一个函数1．前提条件：(1)定义域；(2)对应关系．2．结论：这两个函数为同一个函数．【答案】相同相同知识点四函数的表示法表示函数的常用方法有解析式法、图象法和列表法．知识点五分段函数1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的；各段函数的定义域的交集是．3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．【答案】对应关系并集空集1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．考点一函数的概念例1（1）（2023·全国·高一假期作业）下列变量间为函数关系的是（）A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系D．生活质量与人的身体状况间的关系【解题思路】根据定义知BD是依赖关系，A是常量，C是确定的函数关系，得到答案.【解答过程】对选项A：匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程是常量，不满足；对选项B：某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系是依赖关系，不满足；对选项C：耗电量与时间t的关系是y=60t,0≤t≤7，是确定的函数关系；对选项D：生活质量与人的身体状况间的关系是依赖关系，不满足.故选：C.（2）下列图形能表示函数图象的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的定义，判断任意垂直于x轴的直线与函数的图象的交点个数，即可得答案.【解析】由函数的定义：任意垂直于x轴的直线与函数的图象至多有一个交点，所以A、B显然不符合，C在与函数图象有两个交点，不符合，只有D符合要求.故选：D【对点演练1】（2023·全国·高三对口高考）集合A={x|0≤x≤2},B={x|0≤x≤1}下列表示从A到B的函数是（

）A．f:x→y,y=13xC．f:x→y,y=2x 【解题思路】根据题意，结合选项和函数的定义，逐项判定，即可求解.【解答过程】由集合A={x|0≤x≤2},B={x|0≤x≤1}，对于A中，若f:x→y,y=13x，则集合A中任意元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，所以可构成集合A对于B中，若f:x→y,y=2x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意；对于C中，若f:x→y,y=2x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到对于D中，若f:x→y,y=x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意；故选：A.【对点演练2】（2023·河北·石家庄二中高二期中）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数的定义，数形结合即可对选项进行判断.【详解】选项A中，当时，，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.故选：B.【对点演练3】给出下列说法：①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；②函数的定义域和值域一定都是无限集；③若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素；④对于任意的一个函数，如果x不同，那么y的值也不同；⑤表示当时，函数的值，这是一个常量．其中说法正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用函数的定义域和值域定义判断①②③的真假，利用函数值的定义判断④⑤的真假.【解析】解：函数值域中的每一个数都有定义域中的一个或多个数与之对应，故①不正确；函数的定义域和值域不一定都是无限集，故②不正确；根据函数的定义，可知③正确；对于任意一个函数，如果x不同，那么y的值可能相同，也可能不同，故④不正确；由函数值的定义，可知⑤正确.故选：B．考点二函数的定义域角度1已知解析式求定义域例2（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）函数y=1x−1+A．xx≥−2且x≠1B．xx≥−2 C．xx<−2 D．【解题思路】根据函数定义域的求法求得正确答案.【解答过程】依题意，x−1≠0x+2≥0，解得x≥−2且x≠1所以函数y=1x−1+x+2的定义域为故选：A.【对点演练1】函数y＝eq\r(1－x)＋eq\r(x)的定义域为()A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}【答案】D【解析】由题意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,x≥0，))解得0≤x≤1.【对点演练2】函数的定义域为()A. B. C. D. 【答案】C角度2复合函数的定义域例3（1）若函数fx的定义域为0,4，则函数gx=fA．1,2 B．1,4 C．1,2 D．1,4【解题思路】根据题意可得出关于x的不等式组，由此可解得函数gx【解答过程】解：因为函数fx的定义域为0,4对于函数gx=fx+2+1即函数gx=fx+2故选：C.（2）若函数f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数f(x－1)的定义域为________．【答案】[2,4]【解析】∵f(x＋1)的定义域为[0,2]，∴0≤x≤2，∴1≤x＋1≤3，∴1≤x－1≤3，∴2≤x≤4，∴f(x－1)的定义域为[2,4]．【方法总结】求复合函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．【对点演练1】（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知函数y=fx的定义域为−8,1，则函数gx=A．−92,−2∪−2,0B．−8,−2【解题思路】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于x的不等式组，由此可解得函数gx【解答过程】因为函数y=fx的定义域为−8,1，对于函数g则有−8≤2x+1≤1x+2≠0，解得−92因此，函数gx的定义域为−故选：A.【对点演练2】（2023春·重庆江津·高二校联考期末）已知函数f(x+1)的定义域是−2,3，则函数f(2x−1)的定义域（

）A．−1,4 B．−7,3 C．−3,7 D．0,【解题思路】根据抽象函数的定义域计算规则计算可得.【解答过程】因为函数f(x+1)的定义域是−2,3，所以−1≤x+1≤4，令−1≤2x−1≤4，解得0≤x≤52，所以函数f(2x−1)的定义域为故选：D.角度3已知函数的定义域求参数例4（2023·高一课时练习）已知函数f(x)=32−xax2+ax+2的定义域为A．0≤a≤2 B．0≤a<8C．0<a≤8 D．0<a<8【解题思路】根据题意得ax2+ax+2≠0在x∈R上恒成立，考虑a=0【解答过程】因为函数定义域为R，所以ax2+ax+2≠0当a=0时，ax当a≠0时，要满足Δ=a2综上：0≤a<8.故选：B.【对点演练1】已知函数在上有意义，则实数m的范围是____________．【答案】【详解】要使函数有意义，则（），解得，所以函数的定义域为，所以，所以，解得，所以实数m的范围是.故答案为：考点三求函数的函数值例5已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为()A．3 B．2C．1 D．0【答案】B【解析】由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.【对点演练1】（2023·高一课时练习）下表给出了x与f(x)和g(x)的对应关系，根据表格可知f[g(1)]的值为（

）x1234x1234f(x)3142g(x)4321A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据表中数据即可先求g1=4，再求解【解答过程】由表中数据可知g1=4，所以故选：B.【对点演练2】（2023·重庆·高二统考学业考试）已知函数f(x)=x3−2x+3，那么f(2)A．3 B．5 C．7【解题思路】把x=2代入解析式即可求解.【解答过程】f(2)=2故选：C.考点四求函数的值域例6（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x)=|x|+1的定义域为{−1,0,1}，则其值域为（

）A．{1,2} B．[1,2] C．{0,1} D．[1,+【解题思路】根据定义域，代入解析式，求出值域.【解答过程】当x=±1时，f(x)=1+1=2，当x=0时，f(x)=1，故值域为{1,2}.故选：A.【对点演练1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中与函数y=x2值域相同的是（

A．y=x B．y=1x C．y=−x2【解题思路】先得出函数y=x2【解答过程】函数y=x2=x对于A，函数y=x的值域为R，故A错误；对于B，函数y=1x的值域为y对于C，函数y=−x2≤0对于D，y=x2−2x+1=故选：D.考点五相同函数的判断例7（2023秋·云南昆明·高一统考期末）下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（）A．y＝|x| B．y=x2x C．y=【解题思路】利用函数概念，分析函数的三要素是否相同即可求解.【解答过程】对于选项A,值域与函数y=x不同，所以不是同一个函数，故排除A；对于选项B，函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故排除B；对于选项C，函数定义域不同，所以不是同一个函数，故排除C；对于选项D，因为函数y=3x3=x与函数故选：D.【对点演练1】下面各组函数中是同一函数的是（

）A．与B．与C．与D．与【答案】C【分析】分别分析各个选项中函数的定义域，值域和对应关系，即可得出答案.【详解】A．函数的定义域为，，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，B．，定义域为，函数的定义域不相同，不是同一函数C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数D．由得得，由得或，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，故选：C．【对点演练2】（2023秋·高一单元测试）下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．fx=x+1与gx=xC．fx=1，gx=x【解题思路】由相同函数有相同定义域及相同解析式判断各选项即可.【解答过程】相同函数有相同定义域及相同解析式.对于选项A：fx=x+1的定义域为R，gx对于选项B：函数fx=x⋅xx与函数又fx对于选项C：fx的定义域为R，gx的定义域为对于选项D：fx=x2的定义域为R，故选：B.【对点演练3】（2023春·湖南衡阳·高一校考开学考试）下列各组函数表示同一个函数的是（

）A．y=xx与y=1 B．y=C．y=x2−1x−1与y=x+1 【解题思路】分别分析每个选项中函数的定义域和对应关系式是否相同即可.【解答过程】选项A函数y=xx的定义域为x|x≠0，而y=1的定义域为故A错误；选项B函数y=x3+xx2+1的定义域为且，y=x选项C函数y=x2−1x−1的定义域为x|x≠1，而故C错误；选项D函数y=x2−2x+1的定义域为R，而y=x−1但是y=x故选：B.考点六求函数的解析式例8．求下列函数的解析式(1)已知f＝x，求f(x)的解析式．(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．【答案】(1)f(x)＝eq\f(2,x－1)，x1(2)f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x，x∈R(3)f(x)＝2x，x∈R【解析】(1)令eq\f(2,x)＋1＝t，得x＝eq\f(2,t－1)，代入得f(t)＝eq\f(2,t－1)，t1，故f(x)的解析式是f(x)＝eq\f(2,x－1)，x1．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得a＝b＝eq\f(1,2).所以f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x，x∈R.(3)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝－2x，②①×2－②，得3f(x)＝6x，即f(x)＝2x.故f(x)的解析式是f(x)＝2x，x∈R.【方法总结】求函数解析式的3种方法待定系数法当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式换元法如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式解方程组法如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式【对点演练1】已知，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为，所以，则，.综上：只有B正确.故选：B【对点演练2】已知函数是一次函数，且恒成立，则DA．1 B．3 C．5 D．7【答案】D【解析】设，，则因为恒成立，所以且，解得，所以，即有.故选：D.【对点演练3】若二次函数满足，，求.【答案】.【详解】因为二次函数满足；所以设，则：；因为，所以；∴；∴；∴，；∴.故答案为：.【对点演练4】已知，求的解析式.【答案】，.考点六分段函数角度1分段函数求值问题例9．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,x2＋1，x<1.))则f(f(－1))＝________．【答案】02eq\r(2)－3【解析】∵f(－1)＝2，∴f(f(－1))＝f(2)＝2＋eq\f(2,2)－3＝0，【对点演练1】（2023·全国·高一专题练习）已知f(x)=−x,x≤0x2,x>0，则A．−3 B．3 C．−9 D．9【解题思路】根据分段函数的定义域，代入计算即可.【解答过程】由f(x)=−x,x≤0x2故选：B.【对点演练2】已知f(x)＝，则f(7)＝_________.【答案】6【解析】∵7＜9，∴f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)．又∵8＜9，∴f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6，即f(7)＝6.角度2分段函数求参数或自变量的值(范围)例10．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝_________.【答案】－3【解析】当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，无实数解；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件．【对点演练1】已知f(x)＝，若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是__________．【答案】1或－3[－eq\r(5)，－1]【解析】①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1；当a≤0时，a2－4＝5，解得a＝－3或a＝3(舍)．综上，a＝1或－3.②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1.由－3≤f(a)≤1，解得－eq\r(5)≤a≤－1.【对点演练2】（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期末）已知函数fx=x−1,x>0,4x,x≤0,若faA．12 B．18 C．18或−12【解题思路】分a>0和a<0讨论即可.【解答过程】当a>0时，fa=a−1=−1当a≤0时，fa=4a=−1故选：D.【对点演练3】（2023秋·江西赣州·高一统考期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：每户每月用水量水价不超过10m/超过10m3但不超过5元/超过15m/若某户居民本月交纳的水费为65元，则此户居民本月用水量为（

）A．17m3 B．15m3 C．【解题思路】设用户的用水量为xm3，缴纳的水费为y元，求出y关于x的函数解析式，再令y=65，解出【解答过程】设用户的用水量为xm3，缴纳的水费为当0≤x≤10时，y=2.5x∈0,25当10<x≤15时，y=25+5x−10当x>15时，y=50+7.5x−15令7.5x−62.5=65，解得x=17.则此户居民本月用水量为17m故选：A.1．函数中，自变量x的取值范围是（

）A． B． C．且 D．【答案】B【分析】根据二次根式的意义和分式的意义可得，解之即可.【详解】由题意知，，解得，即函数的定义域为.故选：B2．下列变量与的关系式中，不能构成是的函数关系的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的定义判断即可.【详解】对A，由得是函数关系；对B，由，得是函数关系；对C，由，得，此时值不唯一，不是函数关系；对D，由，得是函数关系，故选：C3．函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的定义域为且在定义域内是增函数可得答案.【详解】函数的定义域为且在定义域内是增函数.所以故选：D4．函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，以及零次幂的底数不等于0，建立不等式组，求解即可.【解析】解：由已知得，解得且，所以函数的定义域为，故选：B.5．由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于（

）x12345y45321A．1 B．2C．4 D．5【答案】B【分析】根据表格提供数据计算出正确答案.【解析】由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2.故选：B6、函数的定义域为，则的定义域为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：由题意得解得且.故选：D7．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝9x＋8B．f(x)＝3x＋2C．f(x)＝－3x－4D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4【答案】B【解析】令t＝3x＋2，则x＝eq\f(t－2,3)，所以f(t)＝9×eq\f(t－2,3)＋8＝3tf(x)＝3x＋2.8．设x∈R，定义符号函数sgnx＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))则()A．|x|＝x|sgnx| B．|x|＝xsgn|x|C．|x|＝|x|sgnx D．|x|＝xsgnx【答案】D【解析】当x＜0时，|x|＝－x，x|sgnx|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgnx＝(－x)·(－1)＝x，排除A、B、C．多选题9．（2023·山西·河津市第二中学高一阶段练习）下列各组函数是同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】CD【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A：函数的定义域为，函数定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；对于B：函数定义域为R，化简可得，与解析式不同，故不是同一函数；对于C：函数定义域为，化简可得，函数定义域为，化简可得，故为同一函数；对于D：函数定义域为R，化简可得，与为同一函数.故选：CD10．函数，，则下列等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用函数解析式直接验证可得出合适的选项.【详解】因为，则，，AD选项正确，BC选项错误.故选：AD.11．具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】对各选项中的函数逐个检验后可得正确的选项.【详解】对于A选项，x＝0在定义域内，不满足“倒负”变换；对于B选项，，满足“倒