专题07利用空间向量计算空间中距离的8种常见考法归类

专题07利用空间向量计算空间中距离的8种常见考法归类1、空间中距离的定义及分类（1）定义①点到点的距离，是指两点之间线段的长度.②点到直线的距离，是指点与直线之间垂线段的长度.③两条平行直线之间的距离，是指其中一条直线上任意一点与另一直线之间垂线段的长度.④点到平面的距离，是指点与平面之间垂线段的长度.⑤相互平行的直线与平面之间的距离，是指直线上任意一点与平面之间垂线段的长度.⑥两个平行平面之间的距离，是指其中一个平面上任意一点与另一平面之间垂线段的长度.⑦异面直线之间的距离，是指两条异面直线之间公垂线段的长度.注：①和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线;②公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段;③两条异面直线公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.④公垂线段是异面直线上任意两点的最小距离（2）分类情况①点到点的距离;②点到直线的距离，包括点到直线的距离、两条平行直线之间的距离;③点到平面的距离，包括点到平面的距离、相互平行的直线与平面之间的距离以及两个平行平面之间的距离;④异面直线之间的距离.2、利用空间向量计算空间中距离的四种类型及方法空间中距离的四种类型求法（1）点到点的距离方法：由已知两点分别作为起点和终点得出向量，计算该向量的模，即为点到点的距离具体步骤：①确定点A为起点，点B为终点，得出向量；②计算；③距离（2）点到直线的距离方法1：过点P向直线作垂线，垂足为点Q，计算即为点P到直线的距离具体步骤：①在直线上作点Q，使得；②作出；③计算；④距离方法2：作直线上的一个方向向量，计算在方向向量上的投影，在通过勾股定理计算出的长度，即为点到直线的距离具体步骤：①在直线上取定两点A，B，得出向量，；②计算在上的投影；③利用勾股定理计算；④距离点到平面的距离具体步骤：求平面外一点到该平面的距离，需先求得平面的法向量.由于平面的法向量与平面垂直，所以法向量垂直于平面内的任意一条直线，若在平面内，那么,,即,,据此求得法向量.在平面内任取一点,则到平面的距离为,即在法向量上投影的绝对值.异面直线之间的距离如图，设是异面直线，是的公垂线段的方向向量，又分别是上的任意两点，则在上投影的绝对值即为之间的距离.具体步骤：①在直线上取点A，C，在直线上取点B，D；②通过和计算公垂线段的方向向量；③计算在上的投影；④注：在立体几何中，求点到平面的距离、异面直线的距离、直线到平面的距离（此时直线与平面不相交）、两个平行平面的距离有一个统一的公式，其中两点A，B分别在两个图形上，指平面的一个法向量（求两条异面直线的距离时，与这两条异面直线的方向向量均垂直）.考点一点到点的距离考点二点到直线的距离考点三点到平面的距离考点四两个平行的直线与平面的距离考点五两个平行平面间的距离考点六异面直线之间的距离考点七空间距离的最值问题考点八已知空间距离求其他量考点一点到点的距离1．（2023秋·高二单元测试）在空间直角坐标系中，点到点的距离是．【答案】4【分析】利用空间两点间的距离公式即得．【详解】∵点和点，∴点到点间的距离是.故答案为：4.2．（2023秋·高二单元测试）已知，是空间直角坐标系中的两点，点关于轴对称的点为，则两点间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据对称性求出点的坐标，然后直接利用空间两点间距离公式求解即可.【详解】因为，所以点关于轴对称的点，所以.故选：D.3．（2023春·高二课时练习）已知点,，求：(1)线段MN的长度；(2)到M，N两点的距离相等的点的坐标满足的条件．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度；（2）点到M，N两点的距离相等,列出方程，求解坐标的关系.【详解】（1）已知点,，根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度.所以线段MN的长度为.（2）因为点到M，N两点的距离相等．所以有下面等式成立：，化简得.因此，到M，N两点的距离相等的点的坐标满足的条件是.4．（2023·全国·高二专题练习）设，则AB的中点M到点C的距离（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得点坐标，利用两点间距离公式计算得.【详解】因为的中点，所以故选：C．考点二点到直线的距离5．（2023秋·浙江·高二校联考期中）已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为．【答案】2【分析】利用空间中的点到直线的距离公式求解即可．【详解】设，，则，则点P到直线的距离．故答案为：2．6．（2023秋·高二课时练习）已知直三棱柱中，，，则点B到直线的距离为．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间点到直线距离公式进行计算.【详解】以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以直线的方向向量为，而，所以点B到直线的距离.故答案为：7．（2023秋·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）如图，正方体的棱长为1，正方形的中心为O，棱，的中点分别为E，F，则下列选项中不正确的是（

）A．B．C．点F到直线的距离为D．异面直线与所成角的余弦值为【答案】D【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，计算可判定A选项；利用正弦定理计算三角形的面积判定B选项；利用空间向量的距离公式可判定C选项；利用直线方向向量可计算夹角余弦值，可判定D选项.【详解】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，，，,,,,,,则，故选项A正确；，所以，则，，故选项B正确；，,,点F到直线的距离,故选项C正确；,则,则令异面直线与所成角，可得.故选项D错误.故选：D.8．【多选】（2023春·福建莆田·高二统考期末）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）.把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则A．B．若为线段上的一个动点，则的最大值为2C．点到直线的距离是D．异面直线与所成角的正切值为【答案】BCD【分析】根据空间向量线性运算法则判断A，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B、C、D.【详解】因为，所以，故A错误；如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，对于B：因为为线段上的一个动点，设，，则，所以，所以当时，故B正确；对于C：，，所以点到直线的距离，故C正确；对于D：因为，所以，所以，即异面直线与所成角的正切值为，故D正确；故选：BCD9．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二校联考开学考试）如图所示，平行六面体中，，．(1)求直线与夹角的余弦值；(2)若空间一点P满足，求点P到直线AB的距离．【答案】(1)(2)3【分析】（1）【小问1详解】解：以为基底，分别求得，，，再利用夹角公式由求解；（2）先求得，再由点P到直线BD的距离求解.【详解】（1）解：以为基底，因为，所以，同理可得，，则，，，，，，，所以．∴直线与夹角的余弦值是；（2）因为，所以，所以，则点P到直线BD的距离．10．（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，，底面ABCD为菱形，边长为2，，，且，异面直线PB与CD所成的角为.(1)求证:平面ABCD;(2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）根据线面垂直的性质定理、判定定理证明；（2）利用空间向量的坐标运算，求点到直线的距离.【详解】（1）因为四边形为菱形，所以,因为，平面，所以平面，因为平面，所以,因为，为中点，所以，又因为平面，所以平面.（2）以为原点，方向为轴方向，建系如图，因为,所以为异面直线所成的角，所以，在菱形中，，因为，所以,设，则，在中，由余弦定理得，，所以，解得，所以,,所以,所以点E到直线BP的距离为.11．（2023·天津北辰·校考模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.(1)求证：平面；(2)求直线PB与平面所成角的正弦值；(3)求点到PD的距离.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）构造平面，由面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质可得线面平行；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）如图，取中点，连接因为为中点，，，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，因为为中点，为中点，则，又平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，又平面，故平面．（2）

根据题意，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，由条件可得，，则，设平面的法向量为，则，解得，取，则，所以平面的一个法向量为，设直线PB与平面所成角为，则.所以直线PB与平面所成角的正弦值为.（3）由（2）可知，，所以点到PD的距离为.考点三点到平面的距离12．（2023秋·高二课时练习）平面的法向量，点B在上且，则到的距离为．【答案】【分析】求出，根据空间向量求点到平面距离距离公式求解即可.【详解】因为，故到的距离.故答案为：13．（2023·全国·高二专题练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点．(1)求点到平面的距离为；(2)求到平面的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离为即可；（2）利用法向量的来证明线面平行，将到平面的距离进行转化为点到面的距离即可.【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系，则，所以，

设平面的一个法向量为，则，令，所以平面所的法向量为，又所以点到平面的距离.（2）由（1）可得平面的法向量为，∵，∴，，，∴平面，

所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离，由，所以到平面的距离为.14．【多选】（2023秋·河南·高二长葛市第二高级中学校联考开学考试）如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则（

）．A．B．点D到直线的距离为C．点D到平面的距离为D．平面与平面夹角的余弦值为【答案】ACD【分析】根据给定条件，求出图1中点的坐标，建立空间直角坐标系，求出图2中点的坐标，再逐项判断作答.【详解】在图1中，由，得，，，，在图2中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，得，A正确．取，，则，，所以点D到直线的距离为，B错误．设平面的法向量为，，则，即，取，则，，所以平面的一个法向量，所以点D到平面的距离为，C正确．平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为，D正确.故选：ACD15．（2023秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）若，则三棱锥的体积为．【答案】【分析】运用空间向量夹角公式可求得，进而可求得，再运用点到面的距离公式可求得点C到平面的距离，结合锥体体积公式即可求得结果.【详解】因为，，，所以，，，所以，所以，所以，设平面的一个法向量为，则，取，则，所以，所以点C到平面的距离为，所以三棱锥的体积为.故答案为：.16．（2023秋·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，.(1)求证：平行四边形为矩形；(2)若为侧棱的中点，且点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）首先取中点，连接，根据面面垂直的性质得到面，从而得到，再结合已知条件利用线面垂直的判定得到面，即可得到，即可证明.（2）以为原点，为轴，为，轴建立坐标系，再利用空间向量法求解即可.【详解】（1）取中点，连接，如图所示：因为为正三角形，则.面面，面面，面，则面.面，故，又，，面，，所以面，面，故，则平行四边形为矩形.（2）如下图所示：以为原点，为轴，为轴建立坐标系，设，则，，，，，所以，，，，设面的法向量为，则，令，则，设点到平面的距离为，则，解得.所以.设面的法向量为，则，令，则，则.因为平面与平面所成角为锐角，所以平面与平面所成角的余弦值为.17．（2023秋·全国·高二随堂练习）在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解法一：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．解法二：根据三棱锥等体积转换求解点到平面的距离.【详解】解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则，．设平面的法向量为，则即，令，则，，∴点到平面的距离为．故选：A.解法二

底面，，又，且平面，平面，平面，，，，在中，，令点到平面的距离为，，，．故选：A.18．（2023秋·浙江嘉兴·高二浙江省海盐高级中学校考开学考试）如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为的等边三角形，，．(1)求点B到平面ECD的距离；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）推导出，，，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解点面距离（2）利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．【详解】（1）取中点，连接，，，，，平面，平面平面，平面平面，平面，平面，，又，，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则,,,,0,,,0,,,,，,设平面的一个法向量为，，，，,则，取，得，又,所以点B到平面ECD的距离为（2）由题意可知：平面的一个法向量为,0,，设平面的一个法向量为，,0,，,,，则，取，得,0,，设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则．平面与平面所成锐二面角的余弦值为．19．（2023秋·湖北襄阳·高二襄阳五中校考开学考试）已知四棱锥，底面是边长为2的菱形，平面，且，，，分别是，的中点.(1)求与平面所成角的正弦值；(2)求二面角的正切值；(3)求点到平面的距离.【答案】(1)(2)2(3)【分析】（1）先证，，两两垂直，构建空间直角坐标系，再应用向量法求线面角的正弦值；（2）取的中点，连接，易证平面，过作于，结合二面角定义找到对应的平面角，进而求其正切值；（3）根据（1）所得坐标系，应用向量法求点面距离即可.【详解】（1）由四边形为菱形，，可得为正三角形.因为为的中点，所以，，因此.由于平面，平面，所以，，故，，两两垂直，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又，分别为，的中点，则，，，，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，设与平面所成角为，则.（2）取的中点，连接，又为中点，所以且，又平面，则平面.过作于，则就是二面角的平面角，由图及题意得，，得.（3）设点到平面的距离为，，由（1）知：面的一个法向量为，所以.20．（2023·江苏·高二专题练习）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.(1)证明：平面平面；(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）过作，交底面弧于，连接，有为平行四边形，根据题设可得，即，再由线面垂直的性质可得，最后根据线面、面面垂直的判定即可证结论.（2）构建如下图示空间直角坐标系，令半圆柱半径为，高为，确定相关点坐标，进而求平面、平面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知条件可得，即可求出点到直线的距离.【详解】（1）过作，交底面弧于，连接，易知：为平行四边形，所以，又为弧的中点，则是弧的中点，所以，而由题设知：，则，所以，即，由底面，平面，则，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由题意，构建如下图示空间直角坐标系，令半圆柱半径为，高为，则，，，，所以，，，，若是面的一个法向量，则，令，则，若是面的一个法向量，则，令，则，所以，整理可得，则，又，由题设可知，此时点，，，则，，所以点到直线的距离.

.考点四两个平行的直线与平面的距离21．（2023秋·高二课时练习）已知正方形的边长为1，平面，且分别为的中点，求直线到平面的距离．【答案】【分析】由平面得出直线到平面的距离即为点到平面的距离，以点D为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离.【详解】连结，因为分别为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离.依题意，以点D为原点，分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系，如图，则，因为，，设平面PEF的一个法向量为，则，令，得,所以，又，所以点到平面的距离为，所以到平面的距离为．22．（2023秋·高二课时练习）如图所示，在长方体中，，则直线到平面的距离是（

）A．5 B．8 C． D．【答案】C【分析】以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可》【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系．则．设．设平面的法向量为，由，得，∴可取．又，∴点到平面的距离为,∥，平面，平面，∴∥平面，到平面的距离为．故选：C23．（2023·全国·高二专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，F为线段的中点．(1)求直线\到直线的距离；(2)求直线到平面的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线到直线的距离；（2）转化为到平面的距离,利用点到平面的距离向量法可得答案.【详解】（1）建立如下图所示的空间直角坐标系，，，因为，所以，即，所以点到直线的距离即为直线到直线的距离，，，，，所以直线到直线的距离为；（2）因为，平面，平面，所以平面，所以直线到平面的距离等于到平面的距离，,，设平面的一个法向量为，则，即，取，可得，所以到平面的距离为，所以直线到平面的距离为.24．（2023秋·广东佛山·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，平面平面ABCD，，底面ABCD的面积为，E为PD的中点．(1)证明：平面PAB；(2)求点A到直线CE的距离；(3)求直线CE与平面PAB间的距离．【答案】(1)证明见详解(2)(3)【分析】（1）转化为平面平面问题，利用三角形中位线和平行四边形性质可证；（2）（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到直线的距离公式和点到平面距离即可.【详解】（1）记的中点为O，连接，因为，所以底面ABCD为直角梯形，又底面ABCD的面积为，，所以，得，所以，所以，所以为平行四边形，故，因为平面，平面，所以平面，因为O，E分别为AD，PD的中点，所以，同理平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面PAB.（2）因为是以AD为斜边的等腰直角三角形，，所以，，由（1）可知，，所以又因为平面平面ABCD，所以，故两两垂直，以所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，则，得，因为，，所以，所以点A到直线CE的距离.（3）由（2）可得，设为平面的法向量，则，令得，所以点C到平面的距离为，由（1）知，平面PAB，所以直线CE与平面PAB间的距离即为.25．（2023秋·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点．(1)证明：平面；(2)求直线与平面间的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连，可证四边形为平行四边形，，再根据线面平行的判定定理可得平面；（2）根据平面，转化为求点到平面的距离，取的中点，连，可证平面，以为原点，分别为轴，在平面内，作平面，建立空间直角坐标系，根据点面距的向量公式可求出结果.【详解】（1）取的中点，连，因为为的中点，所以，，又，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.

.（2）因为平面，所以点到平面的距离即为所求.因为，取的中点，连，则四边形为矩形，，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，，因为，，平面，所以平面，因为，所以平面，因为，所以平面平面，以为原点，分别为轴，在平面内，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，因为平面，平面，所以，在中，，，所以，因为，所以，因为是三角形内角，所以，所以，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，，，所以点到平面的距离为.故直线与平面间的距离为.考点五两个平行平面间的距离26．（2023·全国·高二假期作业）两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由空间向量求解【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，∴两平面间的距离．故选：A27．（2023·全国·高二假期作业）已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离．【答案】【分析】建立适当空间直角坐标系，求出平面EFBD的法向量，并证明平面平面EFBD.于是两平面的距离转化为点到平面的距离．利用向量距离公式求出即可.【详解】以D为坐标原点，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴．则，.设是平面EFBD的一个法向量，则，即，解得，所以．又因为，所以，从而，所以平面，所以平面平面EFBD，所以两平面的距离即是点A到平面BDEF的距离．从而两平面间距离为．28．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省太和中学校考阶段练习）在棱长为2的正方体中，下列说法不正确的是（

）A．直线与平面所成的角为B．C．三棱锥外接球的表面积为D．平面与平面的距离为【答案】A【分析】根据线面角的定义即可判断A，建立空间直角坐标系，通过空间向量的坐标运算即可判断BD，由三棱锥外接球与正方体的外接球相同即可判断C.【详解】连接，与相交于点，因为平面，且平面，所以，又因为，，所以平面，即直线与平面所成的角为，且，故A错误；连接，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，则设平面的法向量为，则，解得，取，则所以，则，所以平面，且平面，则，故B正确；因为三棱锥外接球就是正方体的外接球，设其外接球的半径为，则，即，所以，故C正确；因为平面平面所以平面同理平面又平面,所以平面平面，由B选项可知，平面的法向量为，且，则两平面间的距离，故D正确.故选:A29．【多选】（2023·全国·高二专题练习）已知正方体的棱长为1，点分别是的中点，满足，则下列说法正确的是（

）A．点到直线的距离是B．点到平面的距离为C．平面与平面间的距离为D．点到直线的距离为【答案】AB【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空间向量数量积求得各个选项的距离，得出结论.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，所以.设，则，.故到直线的距离，故A对.易知，平面的一个法向量，则点到平面的距离，故B对..设平面的法向量为，则，所以令，得，所以.所以点到平面的距离.因为平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，所以平面与平面间的距离为，故C错.因为，所以又，则，所以点到的距离，故D错.故选：AB.30．【多选】（2023秋·高二单元测试）如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论正确的是（

）A．B．异面直线、所成的角为C．几何体的体积为D．平面与平面间的距离为【答案】ABD【分析】过点作使得，过点作，分析可知几何体为正方体，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BD选项；证明出四边形为平行四边形，可判断A选项；计算出几何体的体积，可判断C选项.【详解】过点作使得，过点作，如图所示：因为四边形为矩形，则，又因为，则，所以，四边形为平行四边形，则，，因为平面平面，则与、共面，即与、共面，所以，、、、四点共面，同理可知，、、、四点共面，故几何体为四棱柱，因为四边形为矩形，则，又因为，，、平面，所以，平面，因为，则，，所以，在底面中，，，故四边形为平行四边形，因为，则，所以，，即，所以，平行四边形为正方形，又因为，故几何体为正方体，对于A选项，在正方体中，且，故四边形为平行四边形，所以，，A对；对于B选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，，，，所以，异面直线、所成的角为，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，因为，平面，平面，所以，平面，因为，平面，平面，所以，平面，又因为，、平面，所以，平面平面，设平面的法向量为，，，则，取，可得，又因为，所以，平面与平面间的距离为，D对.故选：ABD.31．（2023·全国·高二专题练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）法一：由面面平行的判定定理即可证明；法二：如图所示，建立空间直角坐标系，通过证明，再由面面平行的判定定理即可证明.（2）法一:平面与平面的距离到平面的距离,再由等体积法即可求出答案.法二:求出平面的法向量,，平面与平面的距离等于到平面的距离，由点到平面的距离公式即可求出答案.【详解】（1）法一:证明：连接分别为的中点，分别是的中点，，平面，平面，平面，平行且等于，是平行四边形，，平面，平面，平面，，平面平面；法二:如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又，平面平面，（2）法一:平面与平面的距离到平面的距离．中，，，，由等体积可得，．法二:设平面的一个法向量为，则，则可取，，平面与平面的距离为32．（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：(1)直线与平面的距离；(2)平面与平面的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）证明出平面平面，可得出平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面的距离；（2）利用空间向量法可求得平面与平面的距离．【详解】（1）解：因为平面，四边形为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，因为、分别为、的中点，则，平面，平面，平面，因为且，、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，，、平面，平面平面，平面，平面，设平面的法向量为，，，则，取，可得，，所以，直线与平面的距离为.（2）解：因为平面平面，则平面与平面的距离为.考点六异面直线之间的距离33．【多选】（2023春·广西·高二校联考期中）如图，为正方体，边长为1，下列说法正确的是（

）A．平面 B．到面的距离为C．异面直线与的距离为 D．异面直线与的夹角为【答案】ABC【分析】先建立空间直角坐标系，然后利用向量法分别判断4个选项即可.【详解】

选项A：如图建立空间直角坐标系，由题意，，，，，，，，，，，，所以，又因平面，平面，，所以平面，A正确；B选项：由A知为平面的法向量，，所以到面的距离为，故B正确，C选项：，，，设异面直线与的公共法向量为，则，，令，则，，,则异面直线与的距离为，故C正确，D选项：，，，所以异面直线与的夹角的余弦值为，夹角为故D错误，故选：ABC34．（2023·全国·高二专题练习）如图，在长方体中，，，求：(1)点到直线BD的距离；(2)点到平面的距离；(3)异面直线之间的距离.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】(1)建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和向量的坐标，再求在上的投影向量的大小，结合勾股定理求点到直线BD的距离；(2)求平面的法向量，再求向量在向量上的投影的大小即可；(3)证明平面，利用向量方法求点到平面的距离即可.【详解】（1）以点为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，，则，，，，，所以，，所以在上的投影向量的大小为，又，所以点到直线BD的距离；（2）由(1)，，，设平面的法向量，则，所以，取，可得，，所以是平面的一个法向量，向量在法向量上的投影为，所以点到平面的距离为；（3）由(1)，，所以，所以，又平面，平面，所以平面，所以异面直线之间的距离与点到平面的距离相等，设平面的法向量，因为，则，所以，取，可得，，所以是平面的一个法向量，向量在法向量上的投影为，所以点到平面的距离为；故异面直线之间的距离为.35．（2023·全国·高二专题练习）如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示．(1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)求异面直线与之间的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据折叠前后的几何性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算得异面直线与所成的角的余弦值；（2）根据空间向量求直线与公垂线的方向向量，再结合空间向量坐标运算即可得异面直线与之间的距离．【详解】（1）图①菱形，，由余弦定理得，所以，所以，即，又，所以，在图②中，，即，又平面所以平面，即平面，又平面，所以，如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，故，则异面直线与所成的角的余弦值为；（2）由（1）得，设是异面直线与公垂线的方向向量，所以，令，则所以异面直线与之间的距离为.36．（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥中，，平面平面.(1)求异面直线与间的距离；(2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2).【分析】（1）法一：根据等腰三角形性质得PO垂直AC，，根据线面垂直的判定定理得面，在面中，作，知为异面直线与间的距离可得答案；法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，且可得，由异面直线与间的距离向量求法可得答案；（2）方法一：在平面内作，则平面，在平面内作，则，得为二面角的平面角，法一：设点到平面的距离为，利用得可得答案；法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量求法可得答案.【详解】（1）法一：取中点，连接，由知，又平面平面，平面平面，故平面，连接，则，又因为为中点，故，面，故面，在面中，作，则由知为异面直线与间的距离，由，知，即异面直线与间的距离为；法二：取中点，连接，由知，又平面平面，平面平面，故平面以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，则，设，且，则，令，则，又，则异面直线与间的距离为；（2）由（1）知平面，可得平面平面，如图，在平面内作，垂足为，则平面，在平面内作，垂足为，联结，平面，所以，且，平面，所以平面，平面，所以故为二面角的平面角，即，设，则，在Rt中，，在Rt中，由知，得，法一：设点到平面的距离为，由，得，即，又，解得，则与平面所成角的正弦值为；法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图，则，，设平面的法向量为，则由，知，令，则，则与所成角的余弦值为，则与平面所成角的正弦值.考点七空间距离的最值问题37．（2023·全国·高二专题练习）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值为（）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】以D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线距离可得.【详解】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，以D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），设P（2﹣t，2，t），（0≤t≤2），，设异面直线的公共法向量为，则，取x＝1，得，∴点P到直线AC的距离为：，点P到直线AC的距离的最小值为.故选：C.38．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】设是底面正的中心，平面，，以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离用空间向量法求异面直线的距离．【详解】如图，是底面正的中心，平面，平面，则，，则，又，，，直线交于点，，以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，，设与和都垂直，则，取，则，，P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离等于．故选：D．39．【多选】（2023春·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点M，N分别为侧棱CC1，DA上的动点，AM⊥平面α.则下列正确的有（）A．异面直线AM与B1C可能垂直B．∠AMD1恒为锐角C．AB与平面α所成角的正弦值范围为D．点N到直线BD1距离的最小值为【答案】ACD平面，结合平面，可得，，等同于与所成角的余弦值的范围,进而可判断；设，0，，，，，，，，利用距离公式，结合二次函数性质判断.【详解】在平面内作，交于点在正四棱柱中，因为平面，平面，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以．故说法正确；以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则,0,，,1,，,0,，则,,，,,，，当时，，故错误；如图：连接，，等同于与所成角的余弦值的范围，在直角三角形中，，当点由点向移动时，逐渐增大，在直角三角形中，，在直角三角形中，，，则,，则,，故正确，设,0,0)，,,，,,，，，所以点到直线的距离为，当时，．故正确．故选：．40．（2023春·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，是棱上两点（在的上方），且.(1)若，求证：平面；(2)当点到平面的距离取得最大值时，求的长.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接交于，连接，证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）根据三棱锥的等体积法判断要使点到平面的距离最大，则需的面积最小，即到的距离最小；建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间距离的向量求法，即可求得答案.【详解】（1）连接交于，连接，因为为的中点，是正方形，所以；因为，所以，所以，因为平面平面，所以平面；（2）在四棱锥中，因为，所以的面积为定值，又点A到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值；要使点到平面的距离最大，则需的面积最小，即到的距离最小；由题知，以A为坐标原点，为轴建立如图空间直角坐标系，则，由于平面，平面，故,而，故为等腰直角三角形，即；设到的距离为，则，，故到的距离为，对于二次函数，其图象对称轴为，当时，取到最小值，此时到的距离最小，此时点到平面的距离最大，所以.41．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）在平行四边形中，，，，分别为直线上的动点，记两点之间的最小距离为，将沿折叠，直到三棱锥的体积最大时，不再继续折叠.在折叠过程中，的最小值为.【答案】【分析】根据平行四边形的边长即角度可得，再由两点的位置关系以及的几何意义，确定出沿折叠过程中三棱锥的体积最大时平面，建立空间直角坐标系利用两异面直线间的距离公式即可计算出结果.【详解】根据题意可知，如下图所示；由，，利用余弦定理可