2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 直线与圆锥曲线的综合问题 学案

4.2直线与圆锥曲线的综合问题课标要求1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系；2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题.素养要求通过对直线与圆锥曲线的位置关系的讨论，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.1.思考已知直线l：y＝kx＋m上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的长度如何表示.提示|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|(x1≠x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2).2.填空圆锥曲线的弦长公式设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2).温馨提醒(1)对于斜率不确定时，需讨论斜率存在或不存在两种情况.(2)过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦AB，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.通径是过焦点的弦中最短的弦.3.做一做(1)设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A.eq\f(p,2) B.pC.2p D.无法确定答案C解析当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p.(2)若直线y＝x＋1和椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1交于A，B两点，则线段AB的长为________.答案eq\f(4\r(5),3)解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，,y＝x＋1))消y得3x2＋4x－2＝0.则x1x2＝－eq\f(2,3)，x1＋x2＝－eq\f(4,3)，所以|AB|＝eq\r(1＋12)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))\s\up12(2)－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))))＝eq\f(4\r(5),3).题型一求弦长例1过双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左焦点F1作倾斜角为eq\f(π,6)的弦AB，求|AB|的长.解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得双曲线的左焦点为F1(－2，0)，∴直线AB的方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x＋2)，与双曲线方程联立，消y得8x2－4x－13＝0.则x1＋x2＝eq\f(1,2)，x1x2＝－eq\f(13,8)，∴|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,3))×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,8))))＝3.思维升华求弦长的两种方法(1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解，(2)结合根与系数的关系，利用弦长公式求解.训练1已知斜率为1的直线l过椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求|AB|.解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由椭圆方程可知，右焦点F(eq\r(3)，0)，因为直线斜率为1，且过点F，则l：y＝x－eq\r(3)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－\r(3)，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y整理得，5x2－8eq\r(3)x＋8＝0，所以x1＋x2＝eq\f(8\r(3),5)，x1x2＝eq\f(8,5).所以|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(1＋1)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8\r(3),5)))\s\up12(2)－\f(32,5))＝eq\f(8,5).题型二已知弦长解决问题例2已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝eq\f(5,2)p，求AB所在直线的方程.解由题意知焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB⊥x轴，则|AB|＝2p<eq\f(5,2)p，所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，k≠0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px))消去y，整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋eq\f(k2p2,4)＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝p＋eq\f(2p,k2).所以|AB|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p＝2p＋eq\f(2p,k2)＝eq\f(5,2)p，解得k＝±2.所以AB所在直线的方程为y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))或y＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，即2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.思维升华(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.训练2已知动点P与平面上两定点A(－eq\r(2)，0)，B(eq\r(2)，0)连线的斜率的积为定值－eq\f(1,2).(1)试求动点P的轨迹方程C；(2)设直线l：y＝kx＋1与(1)中曲线C交于M，N两点，当|MN|＝eq\f(4\r(2),3)时，求直线l的方程.解(1)设动点P的坐标是(x，y)，由题意得kPA·kPB＝－eq\f(1,2).∴eq\f(y,x＋\r(2))·eq\f(y,x－\r(2))＝－eq\f(1,2)，化简整理得eq\f(x2,2)＋y2＝1.故点P的轨迹方程C是eq\f(x2,2)＋y2＝1(x≠±eq\r(2)).(2)设交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＋2y2＝2，))得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，当k＝0时，直线l与曲线C相切，故Δ＝16k2＞0，∴x1＋x2＝eq\f(－4k,1＋2k2)，x1x2＝0，|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－4k,1＋2k2)))\s\up12(2)－4×0)＝eq\f(4\r(2),3)，整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1，或k2＝－2(舍去).经检验k＝±1符合题意，∴直线l的方程是x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.题型三与弦长有关的最值问题例3已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，点M在椭圆上，且满足MF2⊥x轴，|MF1|＝eq\f(4\r(3),3).(1)求椭圆的方程；(2)若直线y＝kx＋2交椭圆于A，B两点，求△ABO(O为坐标原点)面积的最大值.解(1)由离心率为eq\f(\r(3),3)，得eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,3)，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2，即椭圆方程为eq\f(x2,3c2)＋eq\f(y2,2c2)＝1.因为点M在椭圆上，且MF2⊥x轴，故把x＝c代入椭圆方程，可得点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，±\f(2\r(3),3)c))，由|F1M|＝eq\r(|F1F2|2＋|F2M|2)＝eq\r(4c2＋\f(4,3)c2)＝eq\f(4\r(3),3)得c＝1，从而a2＝3，b2＝2，所以椭圆方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，由Δ>0，可得3k2－2>0，则有x1＋x2＝－eq\f(12k,2＋3k2)，x1x2＝eq\f(6,2＋3k2)，所以|x1－x2|＝eq\f(2\r(18k2－12),3k2＋2).点O到直线AB的距离d＝eq\f(2,\r(1＋k2))，所以△ABO的面积S＝eq\f(1,2)d·|AB|＝eq\f(1,2)×2×|x1－x2|＝eq\f(2\r(18k2－12),3k2＋2)＝eq\f(2\r(6×（3k2－2）),3k2＋2).令3k2－2＝t，则t∈(0，＋∞)，所以S＝eq\f(2\r(6t),t＋4)＝2eq\r(\f(6t,t2＋8t＋16))＝2eq\r(\f(6,t＋\f(16,t)＋8))≤eq\f(\r(6),2)，当且仅当t＝4时取等号.所以△ABO面积的最大值为eq\f(\r(6),2).思维升华在圆锥曲线中求与弦长有关的最值问题需注意：(1)分清是哪种圆锥曲线；(2)一般会得到关于参数的函数转化为函数的最值问题.利用函数的性质或者基本不等式的性质求解.训练3在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq\f(\r(2),2)，且点P(2，1)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|的最大值.解(1)由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(e＝\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,\f(4,a2)＋\f(1,b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\r(6)，,b＝\r(3)，))∴椭圆C的方程为eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)设直线AB的方程为y＝－x＋m，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋m，,\f(x2,6)＋\f(y2,3)＝1，))得3x2－4mx＋2m2－6＝0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,x1＋x2＝\f(4m,3)，,x1x2＝\f(2m2－6,3)，))∴|AB|＝eq\r(1＋（－1）2)|x1－x2|＝eq\r(2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4m,3)))\s\up12(2)－4×\f(2m2－6,3))＝eq\f(4,3)eq\r(9－m2)，当m＝0时，满足Δ＞0，|AB|max＝4.[课堂小结]1.牢记一个知识点：弦长公式.2.掌握两种方法：数形结合，分类讨论.3.辨清一个易错点：易忽略直线斜率不存在的情况.一、基础达标1.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，且|AB|＝8，那么抛物线方程为()A.y2＝2x B.y2＝4xC.y2＝8x D.y2＝6x答案B解析因为直线AB过焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋p＝8，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.2.如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(2\r(5),5)答案D解析∵x－2y＋2＝0，∴y＝eq\f(1,2)x＋1，从而eq\f(b,c)＝eq\f(1,2)，即eq\r(\f(a2－c2,c2))＝eq\f(1,2)，∴eq\f(a2,c2)＝eq\f(5,4)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(5),5).3.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－eq\r(5)，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点的坐标为(0，2)，则此双曲线的方程是()A.eq\f(x2,4)－y2＝1 B.x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1答案B解析由已知条件，得焦点在x轴上，设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝5.①∵线段PF1的中点的坐标为(0，2)，∴点P的坐标为(eq\r(5)，4)，将其代入双曲线的方程，得eq\f(5,a2)－eq\f(16,b2)＝1.②由①②解得a2＝1，b2＝4，∴双曲线的方程为x2－eq\f(y2,4)＝1.4.直线y＝x＋1被椭圆x2＋2y2＝4所截得的弦的中点坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,2)))答案B解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,x2＋2y2＝4，))得x2＋2(x＋1)2－4＝0，即3x2＋4x－2＝0，则弦的中点的横坐标为eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝－eq\f(2,3)，纵坐标为－eq\f(2,3)＋1＝eq\f(1,3)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,3)))，故选B.5.已知抛物线y2＝4eq\r(3)x的准线与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于A，B两点，若双曲线的离心率为eq\f(2\r(3),3)，那么|AB|＝()A.2 B.eq\f(4,3)C.eq\r(2) D.eq\f(2\r(3),3)答案A解析抛物线y2＝4eq\r(3)x的准线为x＝－eq\r(3)，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的两条渐近线为y＝±eq\f(b,a)x，可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(\r(3)b,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，－\f(\r(3)b,a)))，由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(2\r(3),3)，可得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，则|AB|＝2×eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝2，故选A.6.若双曲线C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B，则实数a的取值范围为________.答案(0，1)∪(1，eq\r(2))解析将y＝－x＋1代入双曲线方程eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.依题意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a2≠0，,Δ＝4a4＋8a2（1－a2）>0，))∴0<a<eq\r(2)且a≠1.7.直线x－2y＋3＝0与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，且P(－1，1)恰好为AB的中点，则椭圆的离心率为________.答案eq\f(\r(2),2)解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋3＝0，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))消去x，得(4b2＋a2)y2－12b2y＋9b2－a2b2＝0，Δ＝144b4－4(a2＋4b2)(9b2－a2b2)＞0，即a2＋4b2＞9.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝eq\f(12b2,a2＋4b2).∵线段AB的中点为(－1，1)，∴eq\f(12b2,a2＋4b2)＝2，于是得a2＝2b2.又a2＝b2＋c2，∴a2＝2c2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).8.已知抛物线x2＝4y的焦点为F，经过F的直线与抛物线相交于A，B两点，则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是________.答案2eq\r(3)解析由题意知满足题意的AB所在直线的斜率存在，故AB所在的直线方程可设为y＝kx＋1，代入x2＝4y，整理得x2－4kx－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，由y＝kx＋1可得y1＋y2＝kx1＋1＋kx2＋1＝4k2＋2，|AB|＝y1＋y2＋p＝4k2＋4，故所截弦长为2eq\r(（2k2＋2）2－（2k2＋1）2)＝2eq\r(4k2＋3)≥2eq\r(3)，当k＝0时弦长取最小值.9.已知直线l：x＋y＝1与双曲线C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0).(1)若a＝eq\f(1,2)，求l与C相交所得的弦长；(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围.解(1)当a＝eq\f(1,2)时，双曲线C的方程为4x2－y2＝1，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,4x2－y2＝1，))消去y，得3x2＋2x－2＝0.设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(2,3)，x1x2＝－eq\f(2,3)，于是|AB|＝eq\r(2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(2)×eq\r(\f(28,9))＝eq\f(2\r(14),3).(2)将y＝－x＋1代入双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a2≠0，,4a4＋8a2（1－a2）＞0，,a>0，))解得0＜a＜eq\r(2)且a≠1.又双曲线的离心率e＝eq\f(\r(1＋a2),a)＝eq\r(\f(1,a2)＋1)，所以e＞eq\f(\r(6),2)且e≠eq\r(2)，即离心率e的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))∪(eq\r(2)，＋∞).10.经过椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点的直线x＋y－eq\r(3)＝0交椭圆M于A，B两点，P为AB的中点，且直线OP的斜率为eq\f(1,2).(1)求椭圆M的方程；(2)C，D为椭圆M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD的面积的最大值.解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(xP，yP)，易知右焦点为(eq\r(3)，0).联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b2x2＋a2y2－a2b2＝0，,x＝\r(3)－y，))消去x得(a2＋b2)y2－2eq\r(3)b2y＋b2(3－a2)＝0，①则y1＋y2＝eq\f(2\r(3)b2,a2＋b2)，x1＋x2＝2eq\r(3)－(y1＋y2)，即kOP＝eq\f(yP,xP)＝eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq\f(y1＋y2,2\r(3)－（y1＋y2）)＝eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)⇒a2＝2b2.因为a2－b2＝3，所以a2＝6，b2＝3.所以椭圆M的方程为eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由(1)知方程①3y2－2eq\r(3)y－3＝0.由弦长公式得：|AB|＝eq\r(2)·|y1－y2|＝eq\r(2)eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq\r(2)eq\r(\f(4,3)＋4)＝eq\f(4\r(6),3).设CD的方程为：x＝y＋m，C(x3，y3)，D(x4，y4)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,6)＋\f(y2,3)＝1，,x＝y＋m，))得3y2＋2my＋m2－6＝0，则y3＋y4＝－eq\f(2m,3)，y3y4＝eq\f(m2－6,3).由弦长公式得|CD|＝eq\r(2)·eq\r(（y3＋y4）2－4y3y4)＝eq\r(2)·eq\f(\r(72－8m2),3)≤4.所以S四边形ACBD＝eq\f(1,2)|AB|·|CD|≤eq\f(8\r(6),3)(当且仅当m＝0时取最大值).故四边形ACBD的面积的最大值为eq\f(8\r(6),3).二、能力提升11.已知双曲线y2－eq\f(x2,2)＝1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于()A.eq\f(1,2) B.－eq\f(1,2)C.2 D.－2答案A解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则yeq\o\al(2,1)－eq\f(xeq\o\al(2,1),2)＝1，yeq\o\al(2,2)－eq\f(xeq\o\al(2,2),2)＝1，两式相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝eq\f(（x1－x2）（x1＋x2）,2)，所以直线l的斜率为k1＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,2（y1＋y2）)＝eq\f(x0,2y0)，直线OP的斜率为k2＝eq\f(y0,x0)，k1k2＝eq\f(x0,2y0)·eq\f(y0,x0)＝eq\f(1,2)，故选A.12.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，若直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是__________.答案eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1解析∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线，∴椭圆的右焦点为(1，0)，即c＝1.设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，则kOP＝eq\f(1,2).∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0，2)，∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1.13.设A，B分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4eq\r(3)，焦点到渐近线的距离为eq\r(3).(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝eq\f(\r(3),3)x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝teq\o(OD,\s\up6(→))(O为坐标原点).求t的值及点D的坐标.解(1)由题意，知a＝2eq\r(3)，所以一条渐近线方程为y＝eq\f(b,2\r(3))x，即bx－2eq\r(3)y＝0，所以eq\f(|bc|,\r(b2＋12))＝eq\r(3)，又c2＝a2＋b2＝12＋b2，所以b2(12＋b2)＝3(b2＋12)，所以b2＝3，所以双曲线的方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)(x0>0)，则由eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝teq\o(OD,\s\up6(→))，得(x1，y1)＋(x2，y2)＝t(x0，y0)，所以x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.将直