数学人教A版必修4互动课堂2.5.1平面几何中的向量方法

互动课堂疏导引导向量是数学中证明几何命题的有效工具之一.根据平面向量的基本定理,任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合,这样在证明几何命题时,可先把已知和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算就很容易得出结论.一般地,利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度问题.利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题.图2-5-1例如求证平行四边形对角线互相平分,如图2-5-1所示,已知ABCD的两条对角线相交于点M,设=x,=y,则=x=x+x.=+=+y=+y()=(1y)+y.于是我们得到关于基底{,}的的两个分解式.因为分解式是唯一的,所以解得x=,y=.故M是、的中点,即对角线、在交点处互相平分.通过上例可以看出用向量方法解决平面几何的步骤为:(1)建立平面几何与向量之间的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算,解决几何元素之间的关系.(3)把运算结果翻译成几何关系.疑难疏引(1)证明线段相等、平行,常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则,有时用到向量减法的定义.(2)证明线段平行、三角形相似,判断两直线是否平行,常运用向量共线的条件.(3)证明线段的垂直问题,常用向量垂直的条件a⊥ba·b=0.(4)求与夹角相关的问题,常用向量的夹角公式cosθ=.在平面直角坐标系中,有序实数对(x,y)既可表示一个固定的点,又可以表示一个向量.使向量与解析几何有了密切的联系.特别是有关直线的平行、垂直问题,可以用向量方法解决.例如:求通过点A(1,2),且平行于向量a=(3,2)的直线方程.解:过点A且平行于向量a的直线是唯一确定的,把这条直线记为l,在l上任取一点P(x,y),则∥a.如果P不与A重合,由向量平行,它们的坐标满足条件,整理得方程2x3y+8=0.反过来,所有以此方程的解(x,y)为坐标的点也一定在直线l上.所以这个方程就是所求的直线方程.活学巧用2-5-2,若D是△ABC内一点,且有AB2AC2=DB2DC2.求证:AD⊥BC.证明：欲证AD⊥BC,只需证明⊥即可.图2-5-2设=a,=b,=e,=c,=d,则a=e+c,b=e+d.∴a2b2=(e+c)2(e+d)2=c2+2e·c2e·dd2.由已知a2b2=c2d2,∴c2+2e·c2e·dd2=c2d2.故有e·(dc)=0.∴⊥,即⊥.2.平面内三点A、B、C在一条直线上,=(2,m)=(n,1),=(5,1),且⊥,求实数m、n的值.解析：因为A、B、C三点共线,所以=λ.因为==(7,1m),==(n+2,1m),所以(7,1m)=λ(n+2,1m).①所以m·n=5m+n+9=0.由·=0,得m2n=0.②由①②得或2-5-3所示是并列的三个大小相同的正方形,求证:∠1+∠2+∠3=90°.图2-5-3证明：以O为坐标原点,OC、OG所在的直线为x、y轴建系如上图,设正方形边长为1,则=(3,1),=(2,1),作向量=(3,1),则与的夹角等于∠2+∠3.∵||=5,||=10,·=2×3+1×(1)