回归分析的基本思想及其初步应用(课时)

第三章统计案例31回归分析的基本思想及其初步应用第一课时（回归直线方程及相关性检验）问题提出1两个随机变量之间具有线性相关关系是如何直观理解的？两个变量的样本数据的散点图大致分布在一条直线附近2什么叫回归直线？回归直线方程的一般形式是什么？散点图的分布从整体上最接近的一条直线，其方程是：.3函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法在必修3中，我们采用的方法是：画散点图→求回归直线方程→用回归直线方程进行预报在理论上，这种研究方法是不全面、不深刻的，因此，对回归分析的理论和方法，我们还得作进一步的研究教材自学教材内容：P80～P821对于一组具有线性相关关系的数据：1，y1，2，y2，…，n，yn，其回归直线y＝b＋a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别是什么？2.推导回归直线的斜率和截距的估计值，的方法称为最小二乘法，其基本思想是什么？求当α，β取何值时，取最小值.拓展探究1为什么回归直线经过样本点中心？回归直线的斜率估值公式可作什么变形？2.称为相关系数，它有何统计意义？当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关；当|r|→1时，表明两个变量的线性相关性越强；当|r|→0时，表明两个变量的线性相关性越弱，几乎不存在线性相关关系当|r|∈075，1]时，表明两个变量有很强的线性相关关系当|r|＝1时，所有样本点都在一条直线上知能检测1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示:试判断女大学生的身高与体重是否具有线性相关关系，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重5943616454505748体重kg170155165175170157165165身高cm1编号2345678010203040506070150155160165170175180r＝0798单位：万元之间有如下5组样本数据：若宣传费支出为10万元，预测销售额约为多少万元？7050604030y86542xr＝092若宣传费支出10万元，预计销售额约为825万元小结作业1对于一组样本数据，一般先作散点图，由此判断两个变量是否具有线性相关关系，若是，则进一步求回归直线方程，否则，采取其它方式进行研究2.若两个变量具有线性相关关系，在其回归直线方程中，当＞0时，回归直线的斜率为正数，两个变量呈正相关；当＜0时，回归直线的斜率为负数，两个变量呈负相关.3.对变量x，由回归方程求得的对应的值只是一个估计值，它与样本数据的真实值y不一定相等，但一般认为真实值y在估计值左右.作业：《自主学习册》P88～P93第1课时部分试题第三章统计案例31回归分析的基本思想及其初步应用第二课时（随机误差与残差分析）问题提出1.回归直线方程中，参数，的计算公式分别是什么？回归直线一定经过哪个点？回归直线一定经过样本点中心.，y，当自变量取某个值时，由回归方程得到的y值只是一个预报值或估计值，它与实际问题中真实的y值往往有一定的误差如何从理论上认识和分析这种误差，我们有必要进一步了解教材自学教材内容：P83～P86例2前1随机误差的含义是什么？2残差，残差图的含义分别是什么？3.称为相关指数，它有何统计意义？1随机误差的含义是什么？对具有线性相关关系的两个变量，y，可以用线性回归模型y＝b＋a＋e来表示，其中e是y与b＋a之间的误差，称为随机误差（1）在回归模型y＝bx＋a＋e中，a，b为未知参数，在回归方程中，，为可求参数，是真实值y的估计量.点评：（2）在回归模型y＝bx＋a＋e中，y的值由x和随机因素e共同确定，x只能解释部分y的变化（如身高只能解释部分体重的变化），称为解释变量，y称为预报变量.e是用预报真实值y的误差，它是一个不可观测的随机变量.（3）女大学生的身高x与体重y的关系可以用线性回归模型y＝0.849x－85.712＋e来表示，其中e是真实体重y与预报体重＝0.849x－85.712之间的误差.（4）随机误差的均值E(e)＝0，这是因为（5）随机误差的方差D(e)＝σ2＞0，这是因为所有的样本点不共线.D(e)越小，通过回归直线 预报真实值y的精度越高，统计中常用作为D(e)的估计值.2残差，残差图的含义分别是什么？（1）称为相应于点(xi，yi)的残差，（2）以残差为纵坐标，样本编号或样本中其它数据为横坐标，所得的图形称为残差图点评：（1）残差是随机误差的估计值.（2）若某样本点的残差比较大，则该样本点的原始数据可疑（3）在残差图中，如果残差点较均匀地散布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，且带状区域宽度越窄，模型拟合精度越高3.称为相关指数，它有何统计意义？（1）R2取值越大，残差平方和越小，模型拟合的精度越高（2）在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，它能说明解释变量对预报变量产生影响的百分比相关指数是检验、评价回归模型拟合精度的一个重要指标，其取值范围是特别地，当所有样本点共线时R2＝1拓展探究1建立回归模型的基本步骤是什么？（1）确定研究对象，明确解释变量和预报变量；（2）画出散点图，观察两个变量之间的关系；（3）由经验确定回归方程的类型；（4）按一定规则估计回归方程中的参数；（5）分析残差图是否有异常，并作适当处理2利用回归模型进行预报时需要注意些什么问题（1）回归方程只适用于所研究的样本的总体；（2）所得回归方程一般都有时间性；（3）样本取值的范围会影响回归方程的取值范围（4）由回归方程得到的预报值是预报变量的可能取值的平均值知能检测例从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示:试计算各组数据的残差，并画出残差图5943616454505748体重kg170155165175170157165165身高cm1编号2345678残差表：0.382－2.8836.6271.137－4.6182.4102.627－6.373

残差87654321编号残差图：小结作业1随机误差是引起预报值与真实值之间的误差原因之一，其大小取决于随机误差的方差2产生随机误差的原因是多方面的，如一个人的体重除了受身高的影响外，还受饮食习惯，运动量，家族遗传等因素的影响3在回归模型中，残差变量是一个不能被观测的量，但可以估计预报变量观测值中所包含的残差变量，这种估计对于查找样本数据中的错误和模型的评价极为有效作业：《自主学习册》P88～P93第1课时部分试题第三章统计案例31回归分析的基本思想及其初步应用第三课时（非线性回归方程）问题提出1随机误差是什么概念？对具有线性相关关系的两个变量，y，可以用线性回归模型y＝b＋a＋e来表示，其中e是y与b＋a之间的误差，称为随机误差2相应于点i，yi的残差的估计值如何计算？3.相关指数有何统计意义？R2取值越大，残差平方和越小，模型拟合的精度越高；在线性回归模型中，它表示解释变量对于预报变量变化的贡献率4残差分析是统计学中的一个基础内容，根据残差图或相关指数，可以反映回归模型拟合的精度或回归方程的预报精度对于不具有线性相关关系的随机变量，如何建立相应的回归方程，也是需要解决的问题教材自学教材内容：P86例2～P891.指数回归模型如何转化为线性回归模型？2.由例2的样本数据得线性回归方程＝0.272x－3.849，如何转换为红铃虫的产卵数y对温度x的非线性回归方程？3.二次回归模型如何转化为线性回归模型？4.由例2的样本数据得线性回归方程＝0.367t－202.543，，如何转换为红铃虫的产卵数y对温度x的非线性回归方程？5对例2的样本数据，如何比较指数回归模型与二次回归模型的拟合效果？1.指数回归模型如何转化为线性回归模型？两边取对数，得.令＝lny，a＝lnc1，b＝c2，则＝b＋a2.由例2的样本数据得线性回归方程＝0.272x－3.849，如何转换为红铃虫的产卵数y对温度x的非线性回归方程？

由，得012345670510152025303540=-38493.二次回归模型如何转化为线性回归模型？令t＝2，b＝c3，a＝c4，则y＝bt＋a4.由例2的样本数据得线性回归方程＝0.367t－202.543，如何转换为红铃虫的产卵数y对温度x的非线性回归方程？＝0.367x2－202.543-100-5005010015020025030035002004006008001000120014005.对例2的样本数据，如何比较指数回归模型与二次回归模型＝0.367x2－202.543的拟合效果？（1）比较样本点残差的绝对值大小：绝对值小的回归模型的拟合效果较好（2）比较相关指数的大小：相关指数大的回归模型的拟合效果较好R12＝098，R22＝08，R12＞R22，指数回归模型的拟合效果较好拓展探究对于给定的样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个含有未知参数的模型：，，如何比较它们的拟合效果？（1）分别建立对应于两个模型的回归方程与；（2）分别计算两个回归模型的相关指数R12和R22；（3）比校R12和R22的大小，较大的相关指数所对应的回归模型的拟合效果较好知能检测例（P89～组第1题）1993年到2002年中国的国内生产总值（GDP）的数据（单位：亿元）如下：104790.6200274462.6199797314.8200167884.6199689468.1200058478.1199582067.5199946759.4199478345.2199834634.41993GDP年份GDP年份（1）作GDP和年份的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么？（2）建立年份为解释变量GDP为预报变量的回归模型，并计算残差（3）根据你得到的模型，预报2003年的GDP，看看你的预报与实际的GDP（1172519亿元）的误差是多少？（4）你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗？请说明理由（1）散点图0200004000060000800001000001200001992199419961998200020022004GDP与年份近似地呈线性关系（2）线性回归方程，各年残差表－993.79120024638.0551997－1277.62220015252.0241996－1932.35320003037.4931995－2140.9841999－1489.23819941328.6851998