等式性质与不等式性质

２１等式性质与不等式性质第二课时思考与发现我们学习过等式的基本性质，你能说出来几个呢？等式有下面的基本性质：性质１如果a＝b，那么b＝a；性质２如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质３如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质４如果a＝b，那么ac＝bc；性质５如果a＝b，c≠０，那么＝．加减乘除运算中的不变性类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质吗？探究1：对称性性质１如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b．即a＞b⟺b＜a性质2如果a＞b，b＞c，那么a＞c．即a＞b，b＞c⟹a＞c蝴蝶效应思考能否用做差法证明传递性？探究2：传递性探究3：可加性性质3如果a＞b，那么a＋c＞b＋c．这就是说，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向．AaA1a+cBbB1b+c探究4：可乘性性质４如果a＞b，c＞０，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜０，那么ac＜bc．这就是说，不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向．思考能否用做差法证明可乘性？证：性质5：如果且，那么（加法法则2）两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向简称：同向不等式可相加如：证：性质6：如果且，那么（乘法法则2）两边都是正数的同向不等式相乘，所得的不等式和原不等式同向简称：正数同向不等式可相乘如：性质7：如果，那么性质8：如果，那么思考1．若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d，是否有a>b，c>d则a－c>b－d成立？反例：不一定，如3>1，－1>－10，则3－－1>1－－10不成立．2．两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？不可以．两个不同向不等式的两边不能分别相除，在需要商时，可利用不等式性质转化为同向不等式相乘．练习用不等号“＞”或“＜”填空：（１）如果a＞b，c＜d，那么a－cb－d；（２）如果a＞b＞０，c＜d＜０，那么acbd；（３）如果a＞b＞０，那么；（４）如果a＞b＞c＞０，那么例题讲解例1已知a＞b＞０，c＜０，求证＞．同号的两个不相等的实数，两边同时取倒数不等号改变方向证明:思考：还可以利用作差法证明吗？思考糖水加糖后变得更甜了已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞０），再添加m克糖（m＞０）（假设全部溶解），糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．例题讲解例2已知－6<a<8,2<b<3，分别求2a＋b，a－b，的取值范围．[分析]

解答本题可利用不等式的可加性和可乘性求解．1当0≤a<8时0≤<4；2当－6<a<0时－3<<0由12得－3<<4(1)已知12<a<30,15<b<48，则的范围是

.(2)已知0≤a≤1,2≤a－b≤3，则a－2b的取值范围是

.练习例题讲解例3．若a>b>0，c<d<0，则一定有(

)A.> B.<C.>

D.<D解析：方法1：∵c<d<0，∴－c>－d>0，∴>>0又a>b>0，∴>，∴<讨论：用赋值法解决问题方法2：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2.则＝－1，＝－1，排除选项AB.又＝－，＝－，∴<，排除选项C.例4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1例题讲解解析：∵－1<α<β<1，∴