2023年全国高考文科数学分类汇编解析几何

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1.（2023北京文科）已知双曲线2

221xya

-=（a＞0则a=

A.

B.4

C.2

D.

12

【答案】D【解析】【分析】

本题依据依据双曲线的离心率的定义，列关于a的方程求解.

【详解】∵双曲线的离心率c

ea

=

=，c=，

=，

解得12

a=，故选D.

【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等学问，意在考查同学的转化力量和计算求解力量.

2.（2023北京文科）设抛物线y2

=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．【答案】(x-1)2+y2

=4.

【解析】【分析】

由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.

【详解】抛物线y2

=4x中，2p=4，p=2，

焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，以F为圆心，

且与l相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2

=4.

【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等学问，意在考查同学的转化力量和计算求解力量.

3.（2023北京文科）已知椭圆22

22

:

1xyCab+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设O为原点，直线:(1)lykxtt=+≠±与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.

【答案】（Ⅰ）2

212

xy+=；

（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】

(Ⅰ)由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程；

(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON的表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直线恒过定点.

【详解】（Ⅰ）由于椭圆的右焦点为(1,0)，所以

12

25

；由于椭圆经过点(0,1)A,所以1b=，所以2

2

2

2abc=+=，故椭圆的方程为2

212

xy+=.

（Ⅱ）设1122(,),(,)PxyQxy

联立2

212(1)xyykxtt?+=???=+≠?

得222

(12k)4220xktxt+++-=，

2121222

422

0,,1212kttxxxxkk-?>+=-=++，121222212tyykxxtk+=++=+，22

2

2

1212122

212tkyykxxktxxtk

-=+++=+.直线111:1yAPyxx--=

，令0y=得111xxy-=-，即1

11

xOMy-=-；同理可得2

21

xONy-=

-.由于2OMON=,所以

1212

1212122111

xxxxyyyyyy--==++；

22

1

121

ttt-=-+，解之得0t=，所以直线方程为ykx=，所以直线l恒过定点(0,0).【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要留意：

(1)留意观看应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算力量，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

4.（2023全国1卷文科）双曲线C:22

221(0,0)xyabab

-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为

A.2sin40°

B.2cos40°

C.

1

sin50?

D.

1

cos50?

【答案】D【解析】分析】

由双曲线渐近线定义可得tan130,tan50bbaa-=?∴=?

，再利用cea==【详解】由已知可得tan130,tan50bb

aa

-

=?∴=?，

1cos50cea∴======?，故选D．【点睛】对于双曲线：222210,0xyabab-=>>，

有cea==对于椭圆222210xyabab+=>>，

有cea==

5.（2023全国1卷文科）已知椭圆C的焦点为121,01,0FF-，，过F2的直线与C交于A，B两点.若

222AFFB=││││，1ABBF=││││，则C的方程为

A.2

212

xy+=

B.22132xy+=

C.22

143

xy+=

D.22

154

xy+=【答案】B【解析】分析】

【

由已知可设2FBn=，则212,3AFnBFABn===，

得12AFn=，在1AFB△中求得11

cos3

FAB∠=，再在12AFF△

中，由余弦定理得2

n=

，从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设2FBn=，则212,3AFnBFABn===，由椭圆的定义有

121224,22aBFBFnAFaAFn=+=∴=-=．在1AFB△中，由余弦定理推论得22214991cos2233nnnFABnn+-∠==??．在12

AFF△中，由余弦定理得22

14422243nnnn+-???=，

解得2

n=．

2

2

2

24312,anabac∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22

132

xy+=，故选B．

法二：由已知可设2FBn=，则212,3AFnBFABn===，由椭圆的定义有

121224,22aBFBFnAFaAFn=+=∴=-=．在12AFF△和12BFF△中，由余弦定理得

222122

2144222cos4,

422cos9nnAFFnnnBFFn

?+-???∠=?+-???∠=?，又2121,AFFBFF∠∠互补，2121coscos0AFFBFF∴∠+∠=，两式消去2121coscosAFFBFF∠∠,，得223611nn+=

，解得

2

n=

．222

24,,312,anabac∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132xy+=，故选B．

【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简洁性质，考查数形结合思想、转化与化归的力量，很好的落实了直观想象、规律推理等数学素养．

6（2023全国1卷文科）.已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．

（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．

（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．

【答案】（1）2或6；（2）见解析.【解析】【分析】

（1）设,Att-，,Btt-，依据4AB=，可知t=

M必在直线yx=上，

可设圆心,Maa；利用圆心到20x+=的距离为半径和MAMBr==构造方程，从而解出r；（2）当直线AB斜率存在时，设AB方程为：ykx=，由圆的性质可知圆心M必在直线1

=-yxk

上；假设圆心

坐标，利用圆心到20x+=的距离为半径和rMA==

构造方程，解出M坐标，可知M

轨迹为抛物线；利用抛物线定义可知1,0P为抛物线焦点，且定值为1；当直线AB斜率不存在时，求解出M坐标，验证此时1,0P依旧满意定值，从而可得到结论.

【详解】（1）

A在直线2

2gRr

上∴设,Att-，则,Btt-

又4AB=2816t∴=，解得：t=

M过点A，B∴圆心M必在直线yx=上

设,Maa，圆的半径为r

M与20x+=相切2ra∴=+

又MAMBr==，即((2

2

2

aar++=

((

2

2

2

2aaa∴+=+，解得：0a=或4a=

当0a=时，2r=；当4a=时，6r=

M∴的半径为：2或6

（2）存在定点1,0P，使得1MAMP-=说明如下：

A，

B关于原点对称且4AB=

∴直线AB必为过原点O的直线，且2OA=

①当直线AB斜率存在时，设AB方程为：ykx=

则

M的圆心M必在直线1

=-yxk

上

设,Mkmm-，

M的半径为r

M与20x+=相切2rkm∴=-+

又rMA==

=

2km∴-+=，整理可得：24mkm=-

即M点轨迹方程为：2

4yx=，准线方程为：1x=-，焦点1,0F

MAr=，即抛物线上点到2x=-的距离∴1MAMF=+1MAMF∴-=

∴当P与F重合，即P点坐标为1,0时，1MAMP-=

②当直线AB斜率不存在时，则直线AB方程为：0x=

M\在x轴上，设,0Mn

2n∴+=，解得：0n=，即0,0M

若1,0P，则211MAMP-=-=

综上所述，存在定点1,0P，使得MAMP-为定值.

【点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决本定点定值问题的关键是能够依据圆的性质得到动点所满意的轨迹方程，进而依据抛物线的定义得到定值，进而验证定值符合全部状况，使得问题得解.

7.（2023全国2卷文科）若x1=4π，x2=34

π

是函数f(x)=sinxω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A.2B.32

C.1

D.12

【答案】A【解析】【分析】

从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω.【详解】由题意知，sinfxxω=的周期232(

)44

Tω

π

ππ

=

=-=π，得2ω=．故选A．【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、规律推理和数学运算素养．实行公式法，利用方程思想解题．

8.（2023全国2卷文科）若抛物线y2

=2px（p>0）的焦点是椭圆2231xyp

p

+

=的一个焦点，则p=

A.2

B.3

C.4

D.8

【答案】D【解析】【分析】

利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p的方程，即可解出p，或者利用检验排解的方法，如2p=时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排解A，同样可排解B，C，故选D．

【详解】由于抛物线2

2(0)ypxp=>的焦点(,0)2p是椭圆

2231xypp+=的一个焦点，所以232

p

pp-=，解得8p=，故选D．

【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透规律推理、运算力量素养．

9.（2023全国2卷文科）设F为双曲线C：22

221xyab

-=（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为

直径的圆与圆x2+y2=a2

交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为

A.

B.

C.2

D.

【答案】A【解析】【分析】

精确     画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQx⊥轴，

又

||PQOFc==，||,2

c

PAPA∴=∴为以OF为直径的圆的半径，

A∴为圆心||2

c

OA=．

,22ccP??

∴???

，又P点在圆222xya+=上，

22244cca∴+=，即2222

2,22ccaea

=∴==．

e∴=A．

【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时留意半径还是直径，优先考虑几何法，避开代数法从头至尾，运算繁琐，精确     率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．

10.（2023全国2卷文科）已知12,FF是椭圆22

22:1(0)xyCabab

+=>>的两个焦点，P为C上一点，O为

坐标原点．

（1）若2POFV为等边三角形，求C的离心率；

（2)假如存在点P，使得12PFPF⊥，且12FPF△的面积等于16，求b的值和a的取值范围.

【答案】(1)1e=；（2）4b=，a的取值范围为)+∞.【解析】【分析】

（1）先连结1PF，由2POFV为等边三角形，得到1290FPF∠=，2PFc=，1

PF=；再由椭圆定义，即可求出结果；

（2）先由题意得到，满意条件的点(,)Pxy存在，当且仅当12162yc?=，

1yyxcxc?=-+-，22221xyab

+=，依据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果.

【详解】（1）连结1PF，由2POFV为等边三角形可知：在12FPF△中，1290FPF∠=，2PFc=，

1PF=，

于是122aPFPFc=+=，

故椭圆C的离心率为1

cea=

==；（2）由题意可知，满意条件的点(,)Pxy存在，当且仅当12162yc?=，

1yyxcxc?=-+-，22

221xyab

+=，即16cy=①

222xyc+=②

22

221xyab

+=③由②③以及2

2

2

abc=+得42

2byc=，又由①知22

216yc

=，故4b=；

由②③得22

2

22axcbc

=-，所以22cb≥，从而2222232abcb=+≥=，故a≥；

当4b=，a≥P.

故4b=，a的取值范围为)+∞.

【点睛】本题主要考查求椭圆的