输油管合理布置的优化问题

陕西师范大学2011年全国大学生数学建模竞赛二期培训第一题A题队别：27队

队员一：王伟

队员二：张月队员三：冯子朋输油管合理铺设的优化问题摘要本文讨论了合理铺设输油管道使得花费总费用最省的问题.针对问题一，在无共用管线情况下，建立花费总费用的优化模型一(文中公式1)，运用将军饮马模型进行分析，求得费用最省为P<12+(a+b)2.在有共用管线情况下，存在共用管线与非共用管线费用相同和不同的情况，建立花费总费用的优化模型二(文中公式2).运用MATLAB对其进行求解，得到费用最省的管线铺设方案如文中表二所示.针对问题二，在城区铺设输油管时需要多付附加费用，结合层次分析法对给定的三家咨询公司进行筛选，最终选择可行度最高的公司按其是否共用管线结合模型一、二及给定的附加费用建立模型三、四(文中公式3、4)，将题中数据代入公式(3)、(4)，运用LINGO软件对其进行求解，对得出的两种结果进行比较，选择总费用较少的方案，其最少费用为280.1771万元.针对问题三，在A、B两厂管线铺设费用不同的前提下，分无共用管线和有共用管线两种情况,建立花费总费用的优化模型(5)、(6)，运用LINGO软件对其进行求解，最终选择有共用管线的铺设方案，总费用最省为255.5037万元.关键词：共用管线；将军饮马；优化模型；总费用最省一、问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油.在将炼油厂的油运输到车站的过程中，存在输油管道的合理铺设问题•只有合理的铺设输油管道，才可以使运输路线简单可行，进而使得花费的费用最低.问题一，针对两炼油厂到铁路的距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，考虑在共用管线与非公用管线费用相同与费用不同的条件下，确定输油管铺设的具体方案，使得铺设的输油管线费用再少.问题二，两炼油厂的具体位置如图1所示，A厂位于郊区（图中的I区域）,B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示.图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a=5，b=8，c=15，d=20.铺设在城区的管线需要多付一定的附加费用，不同工程咨询公司对附加费用的估算结果如表一所示•根据所给出的条件确定管线铺设方案及相应的费用.11111IbA 11a/CD1二 C 7 1图一A、B厂与铁路线之间的关系图

表一各工程咨询公司对附加费的估算结果工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用（万兀/千米）212420问题三，A厂与B厂成品油的管线铺设费用不同，共用管线的费用相同，城区的管线铺设仍需要付附加费用，在这种情况下，给出管线最佳铺设方案，算出此时的费用是多少.二、问题分析合理的铺设输油管路线，不仅需要输油路线方便可行，而且需要在铺设输油管道时所花费的费用最小，所以应建立花费最小的优化模型•由于A、B两个炼油厂在铁路的同一侧，故根据A厂与B厂的位置来分情况讨论并给出管线最佳铺设方案及相应的费用.对于问题一，在共用管道和非共用管道两种情况下，加上输油管费用相同与不同的两个条件下，建立两个炼油厂间的距离、两个炼油厂与铁路间距离与输油管长度之间关系的数学模型.在非共用管线的情况下，不存在共用管道和非共用管道费用不同的问题，所以要求出铺设输油管道的费用最少，就是将问题转化为求输油管道路线最短的问题.对于问题二，因为考虑到A厂在郊区，B厂城区，铺设在城区的管线需要多付附加费用，所以花费的总费用=管线的费用+附加的费用•建立花费总费用的数学模型，求得在花费总费用最小时管线的具体铺设情况.对于问题三，考虑到A厂与B厂各自的管线铺设费用的不同，及外加附加费用等因素，建立花费总费用的数学模型，求得管线最佳铺设方案及相应的费用.三、基本假设1•假设铁路线是直线；2•假设两个炼油厂和火车站均为同一平面上的质点；3•假设在将非共用管道合并成共用管道时，接口所需费用忽略不计.四、符号说明符号表示含义aA厂离铁路线的距离，图中AC长度（单位:千米）bB厂离铁路线的距离，图中BD长度（单位:千米）cA厂离郊区与城区分界线的距离（单位:千米）lA厂与B厂间在铁路线上的投影距离，图中CD的长度（单位:千米）xA厂与非共用管线接口处的投影距离，0<x<l（单位:千米）yA厂与B厂共用管线的长度，图三、五EF、E"F的长度（单位:千米）h图四中GH的长度（单位:千米）P非共用管线的费用（单位:万元/千米）q共用管线的费用（单位:万元/千米）r拆迁和工程补偿等附加费用（单位:万元/千米）L输油管线的总长度（单位：千米）S管线总费用与拆迁和工程补偿等附加费用的和（单位:万元）五、模型的建立与求解考虑在不同情况下，A厂与B厂的距离、A厂与B厂离铁路线的距离与铺设情况之间的关系，用形象的模型图来具体反映各个距离之间的平面关系，从而建立不同的数学模型，通过对模型的求解，最终得到铺设费用最省时的铺设方案.因为城区与郊区的铺设情况存在在城区需要多交一部分的附加费用，所以应该将各方面的因素都考虑到，使得最终花费最少，进而得出输油管的铺设方案.5.1在两个炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种情形下，管线的铺设方案管线的铺设存在两种情况，无共用管线和有共用管线•在无共用管线情况下,就是各自拥有一条运输管线，最终两条共用管线将在铁路线上合并；在有共用该管线情况下，一般认为，各自的非共用管线线相交于一点，然后再共用一段管线,最终到达铁路线上.(1)在无共用管线的情况下，建立铺设管线总费用与两个炼油厂间的距离、两个炼油厂与铁路间距离的数学模型图二无共用管线模型图如图二所示，其中CD所在直线为铁路线的位置，A点为A厂所在位置，B点为B厂所在位置，E为车站应建的位置•根据图中各点的平面位置关系，运用勾股定理建立铺设管道长度的数学模型L(x)=弋x2+a2+J(l—x)2+b2铺设管线总费用为;1S=p(\：X2+a2+、j(l-x)2+b2) (1)因为不存在共用管线与非共用管线费用不同的情况，铺设管线总费用最小的问题就等价于求铺设管线的总长度最小.由将军饮马模型可知，只要找到A点关于铁路线的对称点A'，连接AB，与CD的交点为E，此时L(x)最小，ax= l.L(x)=,l2+(a+b)2a+b minIS=px：'l2+(a+b)2min(2)在有共用管线的情况下，建立管线费用与两个炼油厂间的距离、两个炼油厂与铁路间距离的数学模型在非共用管线的情况下(模型图如图三所示)，因为考虑到实际问题，所以共用管线为A、B两厂各自输油管线的结点到铁路线上的距离，即EF、E〃F.当0<y<b，根据图中各点的平面位置关系，运用勾股定理建立铺设管线总长度的数学模型为

L(x,y)=、x2+(a-y)2+p(l-x)2+(b-y)2+y当存在非共用管线与共用管线费用相同，即p二q时，则铺设管线总费用S(x,y)二pgx2+(a-y)2+*(l-x)2+(b-y)2+y]当存在非共用管线与共用管线费用不同，即pHq时，则铺设管线总费用S(x,y)二p[yx2+(a-y)2+J(l-x)2+(b-y)2]+qy综上，当0<y<b时，铺设管线的总费用为V( )_Ip[Jx2+(a-y)2+J(l-x)2+(b-y)2+y] (p=q)S(x，y)_]； ,■ 、p&x2+(a-y)2+J(l-x)2+(b-y)2]+qy(p丰q)运用MATLAB软件计算得S(x,y)min2q(a+bS(x,y)min2q(a+b+qj2+(b-a)2)\：q2-4p2(p_q)(p丰q)准则层方案层由题目中给出的数据可知，公司的资质最高，公司二与公司三的资质相同,而公司三与公司一的预测值接近且小于公司二的预测值，因此可以不考虑公司准则层方案层由题目中给出的数据可知，公司的资质最高，公司二与公司三的资质相同,而公司三与公司一的预测值接近且小于公司二的预测值，因此可以不考虑公司5.2由于城区与郊区的铺设问题中，存在在城区需要多交一部分的附加费用，建立在共用管道与非共用管道两种情况下，花费总费用的数学模型(1)铺设在城区的管线除了要付铺设费每千米7.2万元外，还需多付拆迁和工程补偿等附加费用，有三家工程咨询公司对其进行了估算，建立层次模型，对三家工程咨询公司进行筛选.首先，建立层次结构目标层

，只需公司一与公司三作比较.其次，构造准则层对目标函数及方案层对准则层各因素的成对比较阵判断矩阵9-v9v1v2W0v1150.8333v21/510.1667九二2 C.I.=0C.R.=(k 0.1max判断矩阵v-卩1v1P1P3W11p130.7511/310.253九二2 C.I.=0C.R.=0max判断矩阵v-P2v2P1P3W12p150.166711/510.83333九二2 C.I=0C.R=0max因此最终排序向量为0.750.1667II0.83330.250.83330.750.1667II0.83330.250.8333II0.1667二(0.65280.3472)Tl在区分城区与郊区时管线铺设模式图a=l在区分城区与郊区时管线铺设模式图a=5；c=15；l=20；由以上分析可知，公司一可信度为65.28%，公司三的可信度为34.72%，因此选择公司一的附加费用估算值21万元/千米.(2)在非共用管线情况下，输油管线铺设情况如图四所示，因为花费的总费用=铺设管线的总费用+附加费用，所以建立花费总费用的数学模型为图四目标函数minS二ph■-a2+x:+fh2+(c一2]+(p+r)*(b—h)2+l一c)20<x<l；a<h<b；p=7.2；r=21在共用管线情况下，输油管线铺设情况如图五所示，建立花费总费用的数学模型为图五在区分城区与郊区时管线铺设模式图目标函数 minS= p[y：x2+(a- y)2 + (c一x)2 + (h-y)2 +y]+ (p+r)、：(b— h)2 +(l一c)2s.t.0<x<l；0<y<b；a<h<b；<a=5；b=&c=15； (4)l=20；p=7.2；r=215・3A厂与B厂运送成品油的价格不同时，花费总费用的优化模型在无共用管线情况下，因为A厂与B厂输油管的费用不同，花费总费用的优化模型目标函数minS=5.6x、：25+x2+6.0x&h2+(15-x)2+、：(8-h)2+25]+21xy(8-h)2+25JO<x<15；[o<h<8在有共用管线情况下，建立花费总费用的优化模型为目标函数minS=5.6x*x2+(5-y)2+6.0x[{(15-x)2+(h-y)2+丫'(8-h)2+25]+7.2xy+21x*(8-h)2+25s't.J0<x<15；<0<h<& (6)0<y<h六、模型的结果与分析对不同的问题运用不同的数学方法与软件对其进行求解，最终使得费用最省，并得出此时管线的铺设方案.6.1对于问题一的结果分析在无共用管线的情况下，运用将军饮马模型对问题进行分析，得到管线铺设费用最小值•此时x=—l，铺设管线的费用最小值为p.-l2+(a+b)2.a+b在有共用管线的情况下，运用MATLAB软件对公式(2)的费用最省值进行计算，得到结果如表二所示.表二有共用管线时花费费用最省与铺设管线情况xyM.minp二ql晶/I_+—(a-b)22a+b^'37-l26八''3ta+b,p(l+ )22p丰q(b-a)匚先4p2-q22qj q2 丄1丄1 — qi )La十b-； ]2 \4p2-q2pl\\ +1+q(a+b 1 )f4p2-q2 2 U4p2-q26.2对于问题二的结果分析在无共用管线和有共用管线两种情况下，将题目中的数据代入公式(3)、(4)，运用LINGO软件对其进行最小值计算得到数据如表二所示.通过表二可知，在有共用管线情况下花费的费用最省，所以应选择有共用管线情况下的管线铺设方案.表三城郊区花费费用最省与铺设管线情况x/千米h/千米y/千米S/万元无共用管线6.1553757.184472/282.0043有共用管线5.4952667.3564371.848091280.17716.3对问题三的结果分析在无共用管线和有共用管线两张情况下，将题目中的数据代入公式（5）、（6）,运用LINGO软件对其进行最小值计算得到数据如表三所示.通过表三可知，在有共用管线情况下花费的费用最省，所以应选择有共用管线情况下的管线铺设方案.表四城郊区花费费用最省与铺设管线情况x/千米h/千米y/千米S/万元无共用管线6.7427217.28897/255.516有共用管线6.722287.29770.1472255.5037七、模型评价模型优点：本文将现实生活中炼油厂铺设输油管线所用总费用与管线长度之间的关系划归为一般的数学模型，用优化的思想及函数求最小值的方法准确地对目标函数进行求解，使原本复杂的实际问题变得简单化、模型化，在代入实际数据后，运用LINGO软件对其进行求解，得到较为理想的结果，具有很强的参考价值.缺点：在实际的管线铺设中，通常要考虑到地质的不同，铺设的管线不可能都是直线，这就需要更多的费用•在本文的模型中，为了便于计算，忽略了一些实际因素，故所得数据及结论可能与实际情况有些偏差.八、模型的改进及推广模型改进：在建立模型的过程中，可以在模型中考虑各种现实情况而对模型进行改进•例如，在管线与管线的接口处需增加费用，管线在郊区与城区的边界线上铺设时拆迁和工程补偿等费用可以减少一定数额等•条件越具体，通过改进，原有模型就越完善，所得结果就越符合实际.推广：该模型的思想和方法可以推广到多种领域，如解决汽车、飞机等补充燃料地点的选择问题；优化火车、轮船等交通工具选择的最经济运输路线问题；处理水、电厂铺设最经济的输水输电线路给不同用户的问题；制定电话线、暖气管线等一系列的线路问题.参考文献［1］ 姜启源，谢金星，数学模型（第三版）［M］，北京：高等教育出版社，2003.［2］ 华东师大数学系编，数学分析（第三版）［M］，北京：高等教育出版社，2007.⑶赵静，数学建模与数学实验（第2版）［M］，北京：高等教育出版社，2003.附录针对问题一的程序symsxyablf=sqrt(x^2+(a-y)人2)+sqrt((l-x)人2+(b-y)人2)+y;m=diff(f,x);n=diff(f,y);[rt]=solve(m,n)r=-l/2*(3*aA2-6*a*b+3*Z2-l人2-3*(a-b+l/3*3人(l/2)*l)*a+3*(a-b+l/3*3人(l/2)*l)*b)/l-l/2*(3*aA2-6*a*b+3*Z2-l人2-3*(a-b-l/3*3人(l/2)*l)*a+3*(a-b-l/3*3人(l/2)*l)*b)/lt=l/2*a+l/2*b-l/6*3A(l/2)*ll/2*a+l/2*b+l/6*3A(l/2)*lsymsxyabpqlf=(sqrt(xA2+(a-y)A2)+sqrt((l-x)A2+(b-y)A2))*p+y*q;m=diff(f,x);n=diff(f,y);[rt]=solve(m,n)r=-l/4/(-4*pA2+qA2)*(2*qA2*a-8*pA2*a-2*qA2*b+8*pA2*b+2*(-lA2*qA4+4*pA2*lA2*qA2)A(l/2))*l/Gl/2/(-4*pA2+qA2)*(2*qA2*a-8*pA2*a-2*qA2*b+8*pA2*b+2*(-lA2*qA4+4*pA2*lA2*qA2)A(l/2))+a-b)-l/4/(-4*pA2+qA2)*(2*qA2*a-8*pA2*a-2*qA2*b+8*pA2*b-2*(-lA2*qA4+4*pA2*lA2*qA2)A(l/2))*l/Gl/2/(-4*pA2+qA2)*(2*qA2*a-8*pA2*a-2*qA2*b+8*pA2*b-2*(-lA2*qA4+4*pA2*lA2*qA2)A(l/2))+a-b)t=a-l/4/(-4*pA2+qA2)*(2*qA2*a-8*pA2*a-2*qA2*b+8*pA2*b+2*(-lA2*qA4+4*pA2*lA2*qA2)A(l/2))a-l/4/(-4*pA2+qA2)*(2*qA2*a-8*pA2*a-2*qA2*b+8*pA2*b-2*(-lA2*qA4+4*pA2*lA2*qA2)A(l/2))

问题二中无共用管线总铺设费用的求解min=7.2*((xA2+25)A(1/2)+((15-x)A2+hA2)A(1/2))+28.2*((8-h)人2+25)人(1/2);x<=15;h<=8;Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue: 282.0043Infeasibilities: 0.000000561561Totalsolveriterations:VariableValueReducedCostX6.1553750.000000H7.1844720.000000RowSlackorSurplusDualPrice1282.0043-1.00000028.8446250.00000030.81552750.000000、_» ii■，‘ r > »tt i~i~t rrx 、问题二中有共用管线总铺设费用的求解min=7.2*((xA2+(5-y)A2)A(1/2)+((15-x)A2+(h-y)A2)A(1/2)+y)+28.2*((8-h)A2+25)A(1/2);x<=15;y<=8;h<=8;Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:280.1771Infeasibilities:0.000000Extendedsolversteps:5Totalsolveriterations:77

VariableValueReducedCost0.000000X5.4