新教材高中人教B版数学选择性学案第4章4-1-2第1课时乘法公式

4.第1课时乘法公式学习任务核心素养1．掌握乘法公式及其推广．(重点)2．会用乘法公式求相应事件的概率．(难点)1．通过乘法公式及其推广的学习，体会数学抽象的素养．2．借助乘法公式及其推广解题，提升数学运算素养．小明在登陆电子邮箱时，发现忘了密码的最后一位，只记得是数字0～9中的任意一个．问题：他在尝试登陆时，第一次失败，第二次成功的概率是多少？[提示]eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,10)．知识点乘法公式及其推广(1)乘法公式：P(BA)＝P(A)P(B|A)，其中P(A)＞0．(2)乘法公式的推广：设Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(Ai)＞0，P(A1A2)＞0则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，P(A1A2A3)表示A1，A2P(AB)，P(B)，P(A|B)(其中P(B)＞0)之间存在怎样的等量关系？[提示]P(AB)＝P(B)P(A|B)，其中P(B)＞0．1．已知P(B|A)＝eq\f(1,3)，P(A)＝eq\f(2,5)，则P(AB)等于()A．eq\f(5,6)B．eq\f(9,10)C．eq\f(2,15)D．eq\f(1,15)C[P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，故选C．]2．若P(B|A)＝eq\f(1,3)，则P(eq\o(B,\s\up7(－))|A)＝________．eq\f(2,3)[P(eq\o(B,\s\up7(－))|A)＝1－P(B|A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)．]类型1乘法公式及其应用利用乘法公式解决实际问题的一般步骤是什么？[提示](1)判断该应用题是否可应用乘法公式求解；(2)根据已知条件表示出各事件的概率；(3)代入乘法公式求出所要求的概率．【例1】一袋中装10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次从中随意各取一球(不放回),求两次取到的均为黑球的概率．[解]设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i＝1,2)，则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”．由题设知P(A1)＝eq\f(3,10)，P(A2|A1)＝eq\f(2,9)，于是根据乘法公式，有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝eq\f(3,10)×eq\f(2,9)＝eq\f(1,15)．1．(变结论)在本例条件不变的情况下，求第一次取得黑球，第二次取得白球的概率．[解]用A表示第一次取得黑球，则P(A)＝eq\f(3,10)，用B表示第二次取得白球，则P(B|A)＝eq\f(7,9)．故P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(3,10)×eq\f(7,9)＝eq\f(7,30)．2．(变结论)在本例条件不变的情况下，两次均取得白球的概率．[解]用Bi表示第i次取得白球，i＝1,2，则B1B2表示事件“两次取到的均是白球”．由题意得P(B1)＝eq\f(7,10)，P(B2|B1)＝eq\f(2,3)．∴P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝eq\f(7,10)×eq\f(2,3)＝eq\f(7,15)．乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法，即当直接计算PAB不好计算时，可先求出PA及PB|A或先求出PB及PA|B，再利用乘法公式PAB＝PAPB|A＝PBPA|B求解即可.eq\o([跟进训练])1．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为________．0.72[设A为“任取的一件是合格品”，B为“任取的一件是一等品”．因为P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up7(－)))＝96%，P(B|A)＝75%，且事件B发生时事件A一定发生，所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A×0.75＝0.72．]类型2乘法公式的推广及应用【例2】设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为eq\f(1,2)，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为eq\f(7,10)，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为eq\f(9,10)．试求透镜落下三次而未打破的概率．[解]以Ai(i＝1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，以B表示事件“透镜落下三次而未打破”，则B＝eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2eq\o(A,\s\up7(－))3，故有P(B)＝P(eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2eq\o(A,\s\up7(－))3)＝P(eq\o(A,\s\up7(－))1)P(eq\o(A,\s\up7(－))2|eq\o(A,\s\up7(－))1)P(eq\o(A,\s\up7(－))3|eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,10)))＝eq\f(3,200)．该类问题在概率中被称为“机遇问题”，求解的关键是分清事件之间的互相关系，充分利用P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2eq\o([跟进训练])2．在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率．(结果保留两位有效数字)[解]设Ai表示“第i次取得次品”(i＝1,2,3)，B表示“第三次才取到次品”，则B＝eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2A3，∴P(B)＝P(eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2A3)＝P(eq\o(A,\s\up7(－))1)P(eq\o(A,\s\up7(－))2|eq\o(A,\s\up7(－))1)P(A3|eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2)＝eq\f(95,100)×eq\f(94,99)×eq\f(5,98)≈0.046．类型3乘法公式的综合应用1．P(B|A)与P(eq\o(B,\s\up7(－))|A)存在怎样的等量关系？[提示]P(B|A)＋P(eq\o(B,\s\up7(－))|A)＝1．2．若A1，A2，A3是互斥事件，且A1∪A2∪A3＝Ω，则A1∪A2∪A3的对立事件与eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2eq\o(A,\s\up7(－))3相同吗？[提示]相同．【例3】已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废品．但采购员不知有几件废品，为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品，则他拒绝购买这一批产品．求采购员拒绝购买这批产品的概率．[思路点拨]本题可借助对立事件及乘法公式的推广进行求解．[解]设Ai＝{被抽查的第i件产品是废品}，i＝1,2,3,4,5．设A＝{采购员拒绝购买}，则A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5，从而eq\o(A,\s\up7(－))＝eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2eq\o(A,\s\up7(－))3eq\o(A,\s\up7(－))4eq\o(A,\s\up7(－))5，由题意，得P(eq\o(A,\s\up7(－))1)＝eq\f(95,100)，P(eq\o(A,\s\up7(－))2|eq\o(A,\s\up7(－))1)＝eq\f(94,99)，P(eq\o(A,\s\up7(－))3|eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2)＝eq\f(93,98)，P(eq\o(A,\s\up7(－))4|eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2eq\o(A,\s\up7(－))3)＝eq\f(92,97)，P(eq\o(A,\s\up7(－))5|eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2eq\o(A,\s\up7(－))3eq\o(A,\s\up7(－))4)＝eq\f(91,96)．∴P(eq\o(A,\s\up7(－)))＝P(eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2eq\o(A,\s\up7(－))3eq\o(A,\s\up7(－))4eq\o(A,\s\up7(－))5)＝P(eq\o(A,\s\up7(－))5|eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2eq\o(A,\s\up7(－))3eq\o(A,\s\up7(－))4)P(eq\o(A,\s\up7(－))4|eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2eq\o(A,\s\up7(－))3)P(eq\o(A,\s\up7(－))3|eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2)P(eq\o(A,\s\up7(－))2|eq\o(A,\s\up7(－))1)P(eq\o(A,\s\up7(－))1)＝eq\f(95×94×93×92×91,100×99×98×97×96)≈0.7696．故P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up7(－)))≈0.2304．分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个或若干个互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率.eq\o([跟进训练])3．某种疾病能导致心肌受损害，若第一次患该病，，第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时，，试求某人患病两次心肌未受损害的概率．[解]设A1＝“第一次患病心肌受损害”，A2＝“第二次患病心肌受损害”，则所求概率为P(eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2)．由题意可知：P(A1)＝0.3，P(A2|eq\o(A,\s\up7(－))1)＝0.6．又P(eq\o(A,\s\up7(－))1)＝1－P(A1)＝0.7，P(eq\o(A,\s\up7(－))2|eq\o(A,\s\up7(－))1)＝1－P(A2|eq\o(A,\s\up7(－))1)＝0.4，所以P(eq\o(A,\s\up7(－))1eq\o(A,\s\up7(－))2)＝P(eq\o(A,\s\up7(－))1)P(eq\o(A,\s\up7(－))2|eq\o(A,\s\up7(－))1)＝0.7×0.4＝0.28．1．在市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个甲厂的合格灯泡的概率是()A．0.665B．0.564CA[记事件A为“甲厂产品”，事件B为“甲厂的合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，所以P(AB)＝P(A)·P(B|A×0.95＝0.665．]2．，，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是________．0.72[设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件A∩B，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝0.72．]3．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取，若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率为________．[答案]eq\f(1,3)4．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次取1个，不放回地取两次，则两次均取到不合格球的概率为________．eq\f(1,15)[法一：所求事件的概率P＝eq\f(2×1,6×5)＝eq\f(1,15)．