2023-2024学年上海市浦东新区进才中学高二（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海市浦东新区进才中学高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数z=3−iA.5π3 B.−π6 C.2.用数学归纳法证明：1+2+3+…+2A.4k+3 B.4k+23.已知tanα、tanβ是方程x2+3A.2π3 B.−2π3 C.π3或4.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O的半径2，点P是圆O内的定点，且OP=2，弦AC，BD均过点A.PA⋅PC为定值

B.OA⋅OC的取值范围是[−2二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知复数z=1−i2−i，i6.已知a、b为单位向量，且|2a−b|=3，则7.已知复数z满足|z|=1，则|z+38.函数y=tan(3x9.在△ABC中，sinAsin10.设平面向量a，b满足a=(2,5)，a⋅b11.若tanα=−co12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1<0，S6=13.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B是直线y=

14.如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD的长为半径作圆交BC边于F，连接E，F

15.对于函数f(x)=sin(cosx)+cos(s16.对于一个有穷正整数数列Q，设其各项为a1，a2，…，am，各项和为S(Q)，集合{(i,j)|ai>三、解答题（本大题共5小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题6.0分)

已知复数z=m+2i是方程x2−6x+13=0的一个虚根(i是虚数单位，m∈R)18.(本小题8.0分)

如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点(AF=13AD,BG=13BC).设AB19.(本小题10.0分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sin2B=sin2A+sin2C.

(1)若20.(本小题10.0分)

已知函数f(x)=2sin(ωx)，其中常数ω>0．

(1)若y=f(x)在[−π4,2π3]上单调递增，求ω的取值范围；

(21.(本小题14.0分)

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−2n+1，数列{bn}满足bn=log2ann+1，其中n∈N*答案和解析1.【答案】C

【解析】解：因为z=3−i=2(32−12.【答案】A

【解析】解：用数学归纳法证明：1+2+3+…+2n=n(2n+1)时，

从n=k推证n3.【答案】B

【解析】解：由题意知，tanα+tanβ=−33<0，tanαtanβ=4>0，

所以tan(α+β)=tanα+ta4.【答案】B

【解析】解：对于A：如图，

设直线PO与圆O相交于E，F，则PA⋅PC=−|PA|⋅|PC|=−|EP||PF|=−(|OE|−|PO|)(|OE|+|PO|)

=|PO|2−|EO|2=2，故A正确；

对于B：取AC的中点为M，连接OM，则OA⋅OC=(OM+MA)⋅(OM+MC)

=OM2−MC2=2OM2−4，又5.【答案】15【解析】解：因为z=1−i2−i=(1−i)(2+i)(6.【答案】π3【解析】解：由|2a−b|=3两边平方得4a2−4a⋅b+b2=3，

又|a|=7.【答案】6

【解析】解：设z=x+yi(x,y为实数)，

则复数z满足|z|=1的几何意义是以原点为圆心，以1为半径的圆上的点，

则|z+8.【答案】(kπ3【解析】解：对于函数y=tan(3x−π4)，令kπ−π2<3x−π4<kπ+π29.【答案】等边三角形

【解析】解：由正弦定理ac=sinAsinB=ab，所以c=b，

代入(b+c+10.【答案】6

【解析】解：b在a方向上的数量投影|b|cos〈a,b〉=11.【答案】79【解析】解：tanα=−cosα3+sinα，

则sinαcosα=−c12.【答案】13

【解析】解：由题意知a1<0，S6=S20，设等差数列{an}的公差为d，

则6a1+15d=20a1+190d，即175d=−14a1，

因为a1<0，故d>0，即等差数列{an}为首项是负值的递增数列，

又由S6=S20可得a7+a8+13.【答案】3【解析】解：由于函数f(x)=sin(ωx+φ)，A，B是直线y=12与曲线y=f(x)的两个交点，

则可设A(x1,12),B(x2,12)，

若|AB|=π6，则x2−x1=π6，

由sinx=12可知，x=π6+2kπ或x=5π6+2kπ，k∈Z，

由图可知，ωx214.【答案】π12【解析】解：过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，

因为等边三角形ABC的边长为2，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，

所以AM=32BC=32×2=3，

因为AD15.【答案】①②【解析】解：①f(x−2π)=sin(cos(x−2π))+cos (sin(x−2π))=sin(cosx)+cos (sinx)=f(x16.【答案】1250

【解析】解：①存在大于1的项，否则此时有T(Q)=0；

②am=1，否则将am拆分成am个1后T(Q)变大；

③当t=1，2，⋯，m−1时，有at≥at+1，否则交换at，at+1顺序后T(Q)变为T(Q)+1，

进一步有at−at+1∈{0,1}，否则有at≥at+1+2，此时将at改为at−1，并在数列末尾添加一项1，此时T(Q)变大；

④各项只能为2或1，否则由①②③可得数列Q中有存在相邻的两项at=3，at+1=2，

17.【答案】解：(1)z=m+2i是方程x2−6x+13=0的一个虚根，

则z−=m−2i也是方程x2−6x+13=0【解析】(1)根据已知条件，结合韦达定理，以及共轭复数的定义，求出m，再结合复数模公式，即可求解；

(218.【答案】解：(1)由题可得：EF=AF−AE=13AD−12AB=13b−12【解析】(1)由平面向量的线性运算直接计算即可；

(2)由题得到EF⋅E19.【答案】解：(1)由3sin2B=sin2A+sin2C及正弦定理得3b2=a2+c2，

因为△ABC的面积为13b2，

所以12acsinB=13b2，

因为b2=a2+c2−2acc【解析】(1)利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，结合三角形的面积公式求得tanB．

(2)20.【答案】解：(1)因为ω>0，y=f(x)=2sinωx在[−π4,2π3]上单调递增，

∴−π4ω≥−π22π3ω≤π2，解得0<ω≤34．

∴ω的取值范围为(0,34].

(2)令ω=2，将函数y=f(x)=2sin2x的图象向左平移π6个单位长度，可得函数y=2sin2(x+π6)=2sin(2x+π3)的图象；

【解析】(1)依题意可得−π4ω≥−π22π3ω≤π2，解之即可．

(2)由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得g21.【答案】解：(1)证明：由Sn=2an−2n+1，可得a1=S1=2a1−4，解得a1