2022年湖南省邵阳市潭府乡中学高二数学理上学期期末试题含解析

2022年湖南省邵阳市潭府乡中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是任取两球的取法有10种，满足条件的事件是取到同色球的取法有两类共有3+1，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是任取两球的取法有10种，满足条件的事件是取到同色球的取法有两类共有3+1=4种，根据古典概型概率公式得到P=．故选C．【点评】本题主要考查古典概型，解决古典概型问题时最有效的工具是列举，大纲中要求能通过列举解决古典概型问题，也有一些题目需要借助于排列组合来计数．2.长、宽分别为a，b的矩形的外接圆的面积为，将此结论类比到空间中，正确的结论为（

）A.长、宽、高分别为a，b，c的长方体的外接球的半径为B.长、宽、高分别为a，b，c的长方体的外接球的表面积为C.长、宽、高分别为a，b，c的长方体的外接球的体积为D.长、宽、高分别为a，b，c的长方体的外接球的表面积为参考答案：D【分析】类比为求长、宽、高分别为，，的长方体的外接球的表面积即可.【详解】“矩形的外接圆的面积”在类比中对应的是“长方体的外接球的表面积”，长、宽、高分别为，，的长方体的外接球的半径为，故其表面积为,故选D.【点睛】本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.3.参考答案：D4.已知A，B分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点，直线y=kx（k＞0）与椭圆交于C，D两点，若四边形ABCD的面积最大值为2c2，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】联立直线方程和椭圆方程，求出C，D的坐标，得到|CD|，再由点到直线的距离公式求出A，B到直线的距离，把四边形的面积转化为两个三角形的面积和，由基本不等式求得最大值，结合最大值为2c2求得椭圆的离心率．【解答】解：如图，联立，得C（），D（），∴|CD|==．A（a，0）到直线kx﹣y=0的距离为=，B（0，b）到直线kx﹣y=0的距离为，∴四边形ABCD的面积S===．当且仅当ak=b，即k=时上式等号成立，∴，即2a2b2=4c4，∴a2b2=2c4，则a2（a2﹣c2）=2c4，解得：．故选：D．5.下列说法正确的是（

）（A），

（B）对则,（C），是的充分条件（D）的充要条件是参考答案：C6.函数与在同一坐标系中的图象可能是（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】由二次函数中一次项系数为0，我们易得函数的图象关于轴对称，然后分当时和时两种情况，讨论函数的图象与函数的图象位置、形状、顶点位置，可用排除法进行解答．【详解】由函数中一次项系数为0，我们易得函数的图象关于轴对称，可排除D；当时，函数的图象开口方向朝下，顶点点在轴下方，函数的图象位于第二、四象限，可排除B；时，函数的图象开口方向朝上，顶点点在轴上方，可排除A；故选：C．【点睛】本题考查的知识点是函数的表示方法(图象法)，熟练掌握二次函数及反比例函数图象形状与系数的关系是解答本题的关键．

7.“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C若复数在复平面内对应的点在第一象限，则解得，故“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件.

8.已知且，则实数的值等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.椭圆上一点到一个焦点的距离等于，则它到相应的准线的距离为A.

B.

C.

D.参考答案：C10.设X～N（1，δ2），其正态分布密度曲线如图所示，且P（X≥3）=0.0228，那么向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：（随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜ξ＜μ+δ）=68.26%，P（μ﹣2δ＜ξ＜μ+2δ）=95.44%A．6038 B．6587 C．7028 D．7539参考答案：B【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】求出P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587=6857，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值是______．参考答案：912.直线被圆所截得的弦长为______________.参考答案：∵圆的圆心为，半径为∴圆心到直线的距离∵半径为1∴弦长为故答案为点睛：弦长的两种求法①代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.②几何方法：若弦心距为，圆的半径长为，则弦长.13.已知复数z=，其中i是虚数单位，则z的模是．参考答案：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：∵z==，∴|z|=．故答案为：．14.._____参考答案：1【分析】根据微积分基本定理和定积分的计算公式，即可求解.【详解】由题意，可知，故答案为.【点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中熟记微积分基本定理，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.15.设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于则球O的表面积等于__________．

参考答案：8π略16.若内切圆半径为，三边长为，则的面积，根据类比思想，若四面体内切球半径为，四个面的面积为，，，，则四面体的体积为

．参考答案：略17.△ABC的顶点B(-4,0),C(4,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=1上,则顶点C的轨迹方程是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题12分）已知数列{an}的通项an=n2＋n,试问是否存在常数p，q，使等式并用数学归纳法证明，若不存在说明理由。

参考答案：令n=1，2，得方程组,即有p+q=8,4p+2q=22,解得p=3,q=5∴用数学归纳法证明如下：(2)当n=1时，左边=，右边=故等式成立；（2）假设当n=k时等式成立，即当n=k＋1时，＝＝即n=k+1时等式成立。由（1），（2）可知对一切自然数n，等式都成立。19.已知函数.（1）求证：函数有唯一零点；（2）若对任意，恒成立，求实数k的取值范围.参考答案：（1）见解析；（2）.试题分析：（1）求出，先证明在区间上为增函数，又，，所以在区间上恰有一个零点，而在上恒成立，在上无零点，从而可得结果；（2）设的零点为，即．原不等式可化为，令若，可得，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能，，即求所求．试题解析：（1），易知在上为正，因此在区间上为增函数，又，因此，即在区间上恰有一个零点，由题可知在上恒成立，即在上无零点，则在上存在唯一零点．（2）设的零点为，即．原不等式可化为，令，则，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，故只求，，设，下面分析，设，则，可得，即若，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能．因此，即求所求．【方法点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．20.（本小题满分14分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：房屋面积1109080100120销售价格（万元）3331283439（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程；（3）据（2）的结果估计当房屋面积为时的销售价格.（提示：，，，

）参考答案：解：（1）数据对应的散点图如图所示：

……………….……………….……………….2分（2）……………….……………….……………….3分……………….……………….…4分，……………….……………….……………….5分……………….……………….6分∴，……………….……………….……………….8分

……………….…….…….……10分∴回归直线方程为．

……………….……………….12分（3）据（2），当时，销售价格的估计值为：（万元）……………….……………….……………….14分

略21.已知的渐近线方程，与椭圆有相同的焦点．(I)求双曲线的方程；(Ⅱ)求双曲线的离心率． 参考答案：（Ⅰ）因为离心率，则，相同的焦点，即，，双曲线，得，双曲线方程（Ⅱ）因为离心率，所以.22.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx﹣与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆的焦半距为c，利用离心率为，椭圆C的长轴长为4．列出方程组求解c，推出b，即可得到椭圆的方程．（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程代入，化简，利用韦达定理，结合向量的数量积为0，转化为：x1x2+y1y