2022年河北省唐山市天津铁路分局职工子弟中学高二数学理模拟试卷含解析

2022年河北省唐山市天津铁路分局职工子弟中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线上一点M(,4)到焦点F的距离|MF|＝，则直线MF的斜率

(

)A．2 B． C． D．参考答案：B2.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是（）A．∫acf（x）dx B．|∫acf（x）dx|C．∫abf（x）dx+∫bcf（x）dx D．∫bcf（x）dx﹣∫abf（x）dx参考答案：D【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】先将阴影部分的面积用定积分表示∫bcf（x）dx﹣∫abf（x）dx，然后根据定积分的意义进行选择即可．【解答】解析：由定积分的几何意义知区域内的曲线与X轴的面积代数和．即∫bcf（x）dx﹣∫abf（x）dx选项D正确．故选D．3.在平面直角坐标系中，满足不等式组的点的集合用阴影表示为下列图中的(

)参考答案：C4.若向量与的夹角为，，，则

（）A．

B．4 C．6

D．12参考答案：C5.设，则二项式的展开式的常数项是

A

160

B

－160

C

240

D

－240参考答案：B略6.已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是(

)A．21 B．20 C．19 D．18参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．【解答】解：设{an}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=﹣2，∴Sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故当n=20时，Sn达到最大值400．故选：B．【点评】求等差数列前n项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n取正整数这一条件．7.若函数（）有最大值－4，则a的值是（

）A．1

B．－1

C.4

D．－4参考答案：B由函数，则，要使得函数有最大值，则，则当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，即，解得，故选B．

8.用反证法证明命题：“至少有一个数大于25”时，假设正确的是A.假设都大于25B.假设都小于或等于25C.假设至多有一个数大于25D.假设至少有两个数大于25参考答案：B9.设椭圆的左右焦点分别为,点在椭圆上，若,则（

）

参考答案：C略10.对于R上可导的任意函数，若满足，则必有

（

）A．

B． C． D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，它满足第n行首尾两数均为n，则第7行第2个数是

．第n行（n≥2）第2个数是

．参考答案：22；。【考点】进行简单的合情推理．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】设第7行第2个数是x，由斜列：2，4，7，11，16，…，可知4﹣2=2，7﹣4=3，11﹣7=4，16﹣11=5，x﹣16=6，解得x．由a2=2，a3=4，a4=7，a5=11，…，可得：a3﹣a2=2，a4﹣a3=3，a5﹣a4=4，…，利用“累加求和”方法即可得出．【解答】解：①设第7行第2个数是x，由斜列：2，4，7，11，16，…，可知4﹣2=2，7﹣4=3，11﹣7=4，16﹣11=5，x﹣16=6，解得x=22．②由a2=2，a3=4，a4=7，a5=11，…，可得：a3﹣a2=4﹣2=2，a4﹣a3=7﹣4=3，a5﹣a4=11﹣7=4，…，∴an=a2+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（an﹣an﹣1）=2+2+3+…+（n﹣1）=1+=．故答案分别为：22；．【点评】本题考查了“累加求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.在中，内角所对的边分别为，已知，的面积，则角的大小为_________.

参考答案：或:试题分析：若的面积，则结合正弦定理，二倍角公式，即可求出角A的大小，在sinC=cosB时，可得到两个结论：B+C=,或C=B+,千万不要漏掉情况！考点：三角形面积的计算，二倍角公式的运用13.（5分）已知扇形OAB，点P为弧AB上异于A，B的任意一点，当P为弧AB的中点时，S△OAP+S△OBP的值最大．现有半径为R的半圆O，在圆弧MN上依次取点（异于M，N），则的最大值为

．

参考答案：=，设∠MOP1=θ1，∠P1OP2=θ2，…，．则．∵0＜θi＜π，∴sinθi＞0，猜想的最大值为．即?sinθ1+sinθ2+…+≤（）．下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由扇形OAB，点P为弧AB上异于A，B的任意一点，当P为弧AB的中点时，S△OAP+S△OBP的值最大，可知成立．（2）假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即sinθ1+sinθ2+…+≤．成立．（θ1+θ2+…+，θi＞0）则当n=k+1时，左边=即sinθ1+sinθ2+…+++…+∵，当且仅当θi=θi+1时取等号．∴左边++…+==右边，当且仅当θi=θi+1（i∈N*，且1≤i≤2k+1﹣1）时取等号．即不等式对于?n∈N*都成立．故答案为．利用三角形的面积计算公式和数学归纳法即可得出．14.椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为_____________参考答案：24略15.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作斜率为的直线与曲线C交于点P，若，则双曲线C的离心率为

▲

．参考答案：取双曲线的渐近线为，，∴过F2作斜率为的PF2的方程为，因为所以直线PF1的方程，联立方程组，可得点P的坐标为，∵点P在双曲线上，，即，，整理得，，故答案为.

16.已知双曲线的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率等于．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程，列出关系式，求解离心率即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是y=x，可得=，可得e==．故答案为．17.如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距灯塔60海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东偏南45°的N处，则该船航行的速度为海里/小时．参考答案：【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】根据正弦定理解出MN即可求得速度．【解答】解：N=45°，∠MPN=75°+45°=120°，在△PMN中，由正弦定理得，即，解得MN==30（海里）．∵轮船航行时间为4小时，∴轮船的速度为=海里/小时．故答案为．【点评】本题考查了正弦定理，解三角形的应用，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为.（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线：与双曲线交于、两点，问：当为何值时，以

为直径的圆过原点。参考答案：（14分）解：（Ⅰ）易知双曲线的方程是.

（Ⅱ）①由得，

由，得且.

设、，因为以为直径的圆过原点，所以，所以.

又，，所以，所以，解得.

略19.在二项式的展开式中（I）求展开式中含项的系数；（II）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值.参考答案：解：（I）展开式第项：

………………3分令，解得，

……………4分∴展开式中含项的系数为

……………6分（II）∵第项的二项式系数为，第项的二项式系数∴

……………9分故或

解得或

………………12分略20.已知，椭圆：（）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，为原点.（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线经过点A，与椭圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点O，求|MN|.参考答案：（I），，直线的斜率为，，故椭圆的方程：. ……4分（Ⅱ）与联立，，或，设，由韦达定理，得解得, ……10分 ……12分21.已知直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：2x+y+2=0的交点为P．（Ⅰ）求交点P的坐标；（Ⅱ）求过点P且平行于直线l3：x﹣2y﹣1=0的直线方程；（Ⅲ）求过点P且垂直于直线l3：x﹣2y﹣1=0直线方程．参考答案：【考点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）联立两直线的方程，得到一个关于x与y的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到交点P的坐标；（Ⅱ）根据两直线平行时，斜率相等，由直线l3的斜率设出所求直线的方程为x﹣2y+m=0，把第一问求出的P的坐标代入即可确定出m的值，进而确定出所求直线的方程；（Ⅲ）根据两直线垂直时，斜率的乘积为﹣1，由直线l3的斜率求出所求直线的斜率，设出所求直线的方程，把P的坐标代入即可确定出所求直线的方程．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由，解得，所以点P的坐标是（﹣2，2）；

…

（Ⅱ）因为所求直线与l3平行，所以设所求直线的方程为x﹣2y+m=0．把点P的坐标代入得﹣2﹣2×2+m=0，得m=6．故所求直线的方程为x﹣2y+6=0；

…

（Ⅲ）因为所求直线与l3垂直，所以设所求直线的方程为2x+y+n=0．把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+n=0，得n=2．故所求直线的方程为2x+y+2=0．