2022-2023学年湖北省荆门市四0五学校高三数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年湖北省荆门市四0五学校高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若双曲线C:(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角是直线l：x﹣2y+1=0倾斜角的两倍，则双曲线的离心率为（）A． B．C．D．参考答案：A【考点】直线与双曲线的位置关系．【分析】由题意，tanα=，tan2α==，得出=，利用e=得出结论．【解答】解：由题意，tanα=，tan2α==，∴=，∴e==，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查二倍角公式的运用，属于中档题．2.定义在上的单调函数,对于任意的,恒成立,则方程的解所在的区间是A.

B.

C.

D.参考答案：A3.若函数（0且）在（）上既是奇函数又是增函数，则的图象是（

）参考答案：C4.某公司班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站坐车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（

）A． B． C． D．参考答案：B考点：几何概型试题解析：要使等车时间不超过10分钟，则到达时间为：7:50至8:00或8:20至8:30．所以故答案为：B5.已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（

）（A）

（B）2

（C）

（D）3参考答案：B6.关于的方程，给出下列四个命题：①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A7.如果实数满足不等式组，目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（

）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B试题分析：不等式组表示的可行域如图，∵目标函数的最小值为0，∴目标函数的最小值可能在或时取得；∴①若在上取得，则，则，此时，在点有最大值，，成立；②若在上取得，则，则，此时，，在点取得的应是最大值，故不成立，，故答案为B.

考点：线性规划的应用.8.已知，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.已知方程有两个不同的解，则实数k的取值范围（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B由题意得，半圆与直线有两个交点，又直线过定点，如图所示，又点，当直线在位置时，斜率.当直线和半圆相切时，由半径解得，故实数的取值范围为故选B．10.已知函数的部分图象如图所示，则下面结论错误的是(

)A.函数的最小正周期为B.函数的图象可由的图象向左平移个单位得到C.函数的图象关于直线对称D.函数在区间上单调递增参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数z=（1﹣2i）2+i的实部为．参考答案：﹣3考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简，则复数的实部可求．解答：解：z=（1﹣2i）2+i=12﹣4i+（2i）2+i=﹣3﹣3i，∴复数z=（1﹣2i）2+i的实部为﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．12.设，则的大小关系是

。参考答案：略13.已知的最小正周期为，且的值为_________.

参考答案：14.已知圆：，则圆心的坐标为

；若直线与圆相切，且切点在第四象限，则

．参考答案：

圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径为1.要使直线与圆相切，且切点在第四象限，所以有。圆心到直线的距离为，即，所以。15.在极坐标系中，点到直线的距离是______________。参考答案：略16.设，则方向上的投影为

。参考答案：17.（14）已知等比数列

.参考答案：63三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，已知中，AB=2OB=4，D为AB的中点，若是绕直线AO旋转而成的，记二面角B—AO—C的大小为（I）若，求证：平面平面AOB；（II）若时，求二面角C—OD—B的余弦值的最小值。参考答案：解法一：（I）如图所示，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，

OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，

则A（0，0，2），B（0，2，0），D（0，1，），C（2sinθ，2cosθ，0）．

设＝（x，y，z）为平面COD的一个法向量，由，得，……3分

取z＝sinθ，则＝（cosθ，－sinθ，sinθ）＝（0，－，1）

因为平面AOB的一个法向量为＝（1，0，0），得·＝0，

因此平面COD⊥平面AOB．

……6分

（II）设二面角C－OD－B的大小为α，由（1）得

当θ＝时，cosα＝0；当θ∈（，］时，tanθ≤－，

cosα＝＝＝－，……10分

故－≤cosα＜0．因此cosα的最小值为－，综上，二面角C－OD－B的余弦值的最小值为－．

……12分

解法二：（I）因为AO⊥OB，二面角B－AO－C为，

……3分

所以OB⊥OC，又OC⊥OA，所以OC⊥平面AOB

所以平面AOB⊥平面CO

D．

……6分

（II）当θ＝时，二面角C－OD－B的余弦值为0；……7分当θ∈（，］时，过B作OD的垂线，垂足为E，过C作OB的垂线，垂足为F，过F作OD的垂线，垂足为G，连结CG，则∠CGF的补角为二面角C－OD－B的平面角．在Rt△OCF中，CF＝2sinθ，OF＝－2cosθ，在Rt△CGF中，GF＝OFsin＝－cosθ，CG＝，所以cos∠CGF＝＝－．因为θ∈（，］，tanθ≤－，故0＜cos∠CGF＝≤．所以二面角C－OD－B的余弦值的最小值为－．

……12分19.(本题满分13分)等比数列{an}中的前三项a1、a2、a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．(1)求此数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝3an－lgan，求数列{bn}的前n项和Sn.参考答案：(1)经检验，当a1＝5或4时，不可能得到符合题中要求的等比数列；故有a1＝3，a2＝6，a3＝12，等比数列公比q＝2，所以an＝3·2n－1.(5分)n为偶数时，Sn＝9×－lg2＝9(2n－1)－lg2.20.已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=1，且，，成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式（2）设数列{}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（1）设数列{an}的公差d≠0，a1=1，且，，成等比数列．可得=×，解得d，即可得出．（2）==．利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．【解答】（1）解：设数列{an}的公差d≠0，a1=1，且，，成等比数列．∴=×，解得：=a1?a9，∴（1+2d）2=1×（1+8d），d≠0，解得d=1．∴an=1+n﹣1=n．（2）证明：==．∴数列{}的前n项和Tn=+++…++=＜．∴Tn＜．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（本小题满分18分）如图，将圆分成个扇形区域，用3种不同颜色给每一个扇形区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为。求（Ⅰ）；（Ⅱ）与的关系式；（Ⅲ）数列的通项公式，并证明。

参考答案：解析：（Ⅰ）当时，不同的染色方法种数

，……1分当时，不同的染色方法种数

，……………2分当时，不同的染色方法种数

，……………3分当时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形∴不同的染色方法种数

。…4分（Ⅱ）依次对扇形区域染色，不同的染色方法种数为，其中扇形区域1与不同色的有种，扇形区域1与同色的有种∴…………………8分（Ⅲ）∵

∴………………将上述个等式两边分别乘以，再相加，得，∴，…