关于导数及其教学研究 论文

关于导数及其教学研究导数的产生背景对导数产生的时间和地点以及牛顿和菜布尼茨等对导数创立的过程和贡献等方面做了学和应用进行了探索，重点强调导数的实用价值和文化价值。【关键词】微积分、连续、极限、导数引言导数是高等数学中的一门学科，起源于17世纪欧洲，到清朝末年才被引入到我国。新课改把导数教学纳入高中数学教学，以促进学生的数学素养。它的引入，使得许多关于函数、不等式等的认识更加清晰，联系更加紧密，从而丰富了人们运用数学知识解决问题的能力和方法，同时也促进了人们的辨证思维和文化价值观的发展。最初，这一点引起了广泛的怀疑。究其原因，这是一门由大学教授的课程，如果被编入高中课本，学生很难理解导数的完整结构，而导数的本质就是解决极限问题，所以就必须要解决这个问题。如何导数的定义，导数的几何含义，导数的概念，导数的几何意义，以及导数与切线的关系，方程的根，不等式的综合，恒成立问题，优化问题，为高中的教与学提供一些新的思考。1函数导数的产生背景1.1导数思想的萌芽微积分是17世纪后半叶在英国发生的一个重要的数学分支。这是一场惊心动魄的智慧斗争，是继欧式几何后数学历史上的第二个转折点。一切都是为了满足生产和生活的需求而诞生的，而导数也是一样。在那个时代，人们主要是为了解决一些问题，比如速度，斜率，面积和最优值，还有在军事上怎样把炮弹射到最远。从古至今，有数百位数学家对此进行过研究，最早的一位是毕达哥拉斯，他在“穷尽法”上作出了巨大的贡献，这是一种微积分的概念，之后又有安帝、平巴罗、中国刘徽等数学家对微积分的研究。[1]1.2牛顿和莱布尼茨创立导数分的基础。1736年牛顿的《流数法与无限序列1》（1671年所著）的出版，开创了一个新做出了重要贡献。[2]2导数的概念导数是新一轮高中数学新课改后的一个新内容。在中学阶段，通过研究微积分，可以体积、最值、边际成本（收益）等问题。能使人具有动态的思考能力，能正确地认识有限与无穷、接近与精确、直、曲等的对立统一，从而增强思想的开放与发展。高中数学课程标准》规定，导数的学习应包括以下几个方面：(1)微分的概念与几何意义(2)微分的计算(3)关于研究函数的微分（单元性、极值）(4)优化生产和生活。根据《普通高中数学课程标准》的要求，本文拟就以下几点内容进行探讨。再通过微分的几何意义来求得曲线的切线坡度，这是高考的热门话题。在微积分的运用中，我们可以理解两个数的单调性和微分之间的关系，并且可以通过微分来研究函数的单调性，从而掌握函数的单调区间。在此基础上，我们必须知道函数在某个时刻获得极值和极值的必要条件和充分条件，并运用微分求出函数的极值和极值，以并将其与最大值相结合，从而得到了一个热门的命题。[3]3解题方法与技巧3.1导数的概念、几何性质及运算y函数f(x)在x处瞬时变化率是limy

=lim

f(x0-

f(x0)函数y=f(x)在x处的导数,记作f)或y

00．要点诠释：①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．®0的意义：与0之间距离要多近有多近，即|-0|可以小于给定的任意小的正数；②当®0时，在变化中都趋于一个常数与=f(x0-

f(x0)无限接近；③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即f)=lim=lim

f(x0-

f(x0)．0 （2）几何意义函数y=f(x)在x处的导数f)的几何意义即为函数y=f(x)在点P(x0)k=f)=tana(a表示倾斜角，注意a等于900的特殊情况)．（3）物理意义函数sst)在点t0处的导数st0)是物体在t0时刻的瞬时速度v，即vst0)；vvt)在点t0的导数vt0)是物体在t0时刻的瞬时加速度a，即avt0)．（4）导数的运算①求导的基本公式基本初等函数导函数f(x)（c为常数）ff(x)=xa(aÎQ)f=axa-1f(x)=ax(a¹f=axlnaf(x)=logax(a¹f=1xlnaf(x)=exf=exf(x)xf=1xf(x)xfxf(x)xfsinx②导数的四则运算法则函数和差求导法则：[f(x)±g(x)]¢=f；函数积的求导法则：[f(x)g(x)]¢=f¢(x)g(x)+f(x)g¢(x)；函数商的求导法则：g(x)¹0，则[f(x)]=f¢(x)g(x)-

f(x)g¢(x)．③复合函数求导数

g(x)

g2(x)

¢ ¢¢复合函数y=f[g(x)]的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间关系为

yx=yuux：y-

ìy=u2íu-1如 我们将分三步：①将复合函数分解为基本初等函数î ；②将y对u的导数记为u对x的导数记为-．注意区分在点的切线方程和过点的切线方程y-

f(x0)=f)(x-)y=f(x)在点A(x0，f(x0))处的切线方程为y-

ìy0=f(x0)0 0 0 î 0f(x)=f)(x-x)，抓住关键ík=f0 0 0 î 0过点的切线方程：设切点为P(x0)，则斜率k=f)，过切点的切线方程为：y-y0=f)(x-)，又因为切线方程过点A(mn-

y0=f)(m-)然后解出有几个值，就有几条切线）同时要注意在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．3.2八大同构函数y=xex

y=x

exy= y=xlnx

y=x

y=lnxx八大同构函数分别是： ， e，x

x， ，

lnx， x，yexx1，yxlnx1区间及极值，以及它们之间的本质联系． 图1-2-1 图1-2-3 图1-2-5 图1-2-7 图1-2-2 图1-2-4 图1-2-6 图1-2-8y=xex

f=(x

f(x)

(-¥对于 ：如图1-2-1，求导后知： ， 在区间 递减，在区间(-)递增，

f(x)

=f(-1e；对于y=xlnx：如图1-2-2，求导后知：fx，f(x)在区间

1)(0，)e

递减，在区间(1)e

递增，

f(x)

=f(1)1e e；y=xex

x lnx关于图1-2-1和图换成 即可得到y=xlnx．xy=xx

f

1-x=x=

f(x)

(-¥对于 e

：如图1-2-3，求导后知：

e ， 在区间 递减，在区间)递增，

f(x)

=f1=e；=y=lnx

f

1-lnx=

f(x)

(0对于 x

：如图1-2-4，求导后知：

x2 ， 在区间 递增，在区间(e)递减，

f(x)

=f1=e；=关于图1-2-3和图1-2-4，我们仔细观察会发现对于

y=xex

x换成lnx即可y=lnx得到 x．exy=对于 x：如图1-2-5，当x时，

ex(x-f= x2

，在区间(-¥递减；当x时，

ex(x-f=x2

)

递增，f(x)min=f；y=x对于 lnx：如图1-2-6，当x时，

f=lnx-1(lnx)2

，在区间当x时，

f=lnx-1(lnx)2

，在区间)递增，f(x)min=f(e)；关于图1-2-5和图1-2-6，我们仔细观察会发现对于

exy=xx换成lnx即可y=xx得到 lnx．x对于yex

x1：如图1-2-7，求导后知：f

-1，f(x)在区间(-¥递减，在区间(0)递增，f(x)min=f(0)；对于yxlnx1：如图1-2-8，求导后知：

f-1x，f(x)在区间(0递减，在区间)递增，f(x)min=f；x关于图1-2-7和图yex得到yxlnx1．3.3三次函数的图像和性质

x1x换成lnx即可f(x)=ax3

a b c

dÎR

a¹0设三次函数为： (、、、 且 ),其基本性质有：性质1：①定义域为R．②值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：aa图像D>0D£0D>0D£0图1-6-1图1-6-2图1-6-3图1-6-4性质2：三次方程f(x)的实根个数f(x)=ax3

a b c

dÎR

a¹0对于三次函数 (、 、 、 且 ),其导数为fb2-3ac

f当 ，其导数 有两个解 ， ，原方程有两个极值 ，-b±-b±b2-ac．当f(x1)(x2)时,原方程有且只有一个实根；当f(x1)(x2)时,原方程有两个实数根；当f(x1)(x2)时,原方程三个实数根；性质3：对称性

(-b (-，f(- ))（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是； ；[4]3.4抽象函数导函数构造（1）导数和差，构造和差型函数：ff(x)ff(x)f-f(x)-和与积联系，构造乘积型函数；差与商联系，构造分式型函数：fx)g(x)-f(x)gx)f(x)]¢f¢(x)g(x)+f(x)g¢(x)f(x)g(x)]¢；

g2(x)

g(x)．（2）幂函数及其抽象构造

xf-

f(x)Û

[f(xf+f(x)Û

[xf；

xxfx)-f(x)f(x)]¢证明：因为xf+f(x)x2

x ，所以xf+f(x)，则函数y=xf(x)单调递增；xf-

f(x)，则

y=f(x)x

单调递增．n当x时，xf(x)Ûn

[xnf；

xf-nf(x)Û

[f(xnxnf+nxn-1f(x)=[xnf(x)]¢

xnf-nxn-1f(x)2nf(x)]¢

xf(x)证明因为 ；

x x ，所以 ，则函数 单调递增； ，则y=xnf(x) xf-nf(x)则函数 单调递增； ，则

y=f(x)xn

单调递减．（3）指数函数与抽象构造f+f(x)Û

[exf；f+f(x)Û

[exff-

f(x)Û

[f(ex ；

f-

f(x)Û

[f(ex[]f(x)¢[]

f(x)-f(x)x¢ x ¢

x = x

f+f(x)

y=f(x)ex因为(x)e[f(x)+f(x)]， e

e xy=f(x)ex

单调递减；f-

f(x)，则

y=f(x)ex

y=f(x)ex单调递减．f+f(x)Û

[ex(f(x)-；

f-

f(x)Û

[(f(x)ex ．f+f(x)-a

[ex(f(x)-a)]¢=

f-

f(x)-ax[(f(x)+a)]¢证明： 因为

ex ；

ex ，所以f+f(x)，则y=ex(f(x)-a)单调递增；f+f(x)，y=ex(f(x)-a)单调递减；若f-

f(x)，则

y=f(x)ex

单调递增，若f-

f(x)，则

y=f(x)ex

单调递减．（4）正弦同号，余弦反号定理

，xÎ(-p p)，fsinx+f(x)cosxÛ

[f(x)sin， 当

2 2，ftanx+f(x)Û

[f(x)sin；fsinx-

f(x)cosxÛ

[f(xÎsinx ， 当

(-p p)，2 2，，

ftanx-

f(x)Û

[f(sinx ；cosxf-

f(x)sinxÛ

[f(x)cos，当xÎ

(-p,p)22，f-

f(x)tanxÛ

[f(x)cos；fcosx+f(x)sinxÛ

[f(x)xÎcosx ， 当

(-p p)，2 2，，

f+f(x)tanxÛ

[f(x)cosx ．3.5单调性基础问题（1）函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f，则y=f(x)为增函数；如果f，则y=f(x)为减函数。[5]已知函数的单调性问题①若f(x)f³0要满足f，才能得出f(x)在某个区间上单调递增；②若f(x)f£0要满足f，才能得出f(x)在某个区间上单调递减。[6]（2）讨论单调区间问题①不含参数单调性讨论能得到导函的根，并且能画出导函数和x轴之间的关系，则导函数的正负区间段都是已知②对参量的单纯性的探讨3.6极值与最值（1）函数的极值函数f(x)在点附近有定义，如果对附近的所有点都有f(x)<f(x0)f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)．如果对附近的所有点都有f(x)>f(x0)，则称f(x0)是函数的一个极小值，记作y极小值=f(x0)．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求函数的极值的三个基本步骤①求导数f；②求方程f的所有实数根；③检验f在方程f则f(x)在这个根处取得极大（小）值．（2）最值的判断法则函数y=f(x)f(x)最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．2间隔最值定理导函数为f(x)2=a(x-)(x-x2)(m<x2①当a时，最大值是f(x1)与f(n)中的最大者；最小值是f(x2)与f(m)中的最小者．②当a时，最大值是f(x2)与f(m)中的最大者；最小值是f(x1)与f(n)中的最小者．y=f(x)是定义在[m上的函数，y=f(x)在(my=f(x)在[m上的最大值与最小值可分为两步进行：①求y=f(x)在(m②将y=f(x)的各极值与f(m)和f(n)值．3.7函数综合（1）零点存在性隐零点代换隐零点道具简介：隐形零点，设而不求。，并与之相结合。求出零点的区间；第二个步骤：用零点作为边界，对导函数的正、负进行解释，并求出最优解；第三个步骤：解决这个问题，我们把它叫做“隐形三段”.当我们用导函数去求解原始函数的极值时，我们发现了导函的零点，或者说是唯一的，但却不能解出零点，所以我们必须将零点虚设为0，然后用0，我们就可以得到一个隐零程，这个方程可以简化我们下一次对的数值和性质。（2）指数找朋友对数独行侠①对数：乘除变加减

×(f(x)flnx+f(x)1×

f(x)设f(x)为可导函数，则有

x，若 为非常数函数，求导式子中含有lnx，这类问题需要多次求导．处理这类函数的秒杀技巧是将lnx留下lnx这个单身狗，然后研究剩余部分，这类方法技巧叫对数单身狗．②指数：加减变乘除设f(x)为可导函数，则有(ex-

f-

ff(x)为非常数函数，求导式子中还是[f(f-

f(x)ex ex ex含有 和求最值的目的，ex总在找属于它的基友，此类方法技巧俗称指数找基友．（3）指对三角放缩应用指数切线放缩①exx1(切点横坐标是x0)；②exx21(切点横坐标是x0)；ex1x2x1③ 2 (切点横坐标是x0).④ex1x（切点横坐标是x1⑤exex（切点横坐标是x1exex(x1)2

x1⑥ (切点横坐标是 ).对数切线放缩lnxx1（也可以记为lnexx，切点为引起的放缩）lnx11 1x（用x替换x，切点横坐标x1xlnxx1.lnxx2－xlnxx2－x切点横坐标是x1x（由lnxx1向左平移一个单位来理解）