2023-2024学年重庆重点中学高二（上）月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年重庆重点中学高二（上）月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设直线l1，l2的斜率和倾斜角分别为k1，k2和θ1，θ2，则“kA.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知向量a=(−2,3,−1)，b=A.4 B.−4 C.2 D.3.已知空间向量a=(1,3,−2)A.1 B.52 C.12 4.已知点A(−2,−1)，B(3,A.(−∞,−12]∪[5.已知在空间单位正交基底下，{a,b,c}是空间的一组单位正交基底，{a+b,a−b,c}A.(4,0,3) B.(6.如图，正四棱锥P−ABCD中，已知PA=a，PB=A.12a−32b+127.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足B1P=A.36 B.66 C.8.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”(chumeng)是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如下图五面体ABCDEF是一个刍甍，其中四边形ABCD为矩形，其中AA.(2,14) B.(2,二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.在以下命题中，不正确的命题有(

)A.|a|−|b|=|a+b|是a，b共线的充要条件

B.若a//b，则存在唯一的实数λ，使a=λb

C.对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA10.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB=(2,A.AP⊥AB B.四边形ABCD为矩形

C.11.设{a,b,A.a，b，c可以为任意向量

B.对空间任一向量p，存在唯一有序实数组(x,y,z)，使p=xa+yb12.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M是边CD的中点，将△ADM沿AM翻折到△PAM，连结PBA.四棱锥P−ABCM的体积的最大值为255

B.当面PAM⊥平面ABCM时，二面角P−三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过点A(1,1)且与直线2x+14.直线l：(a+2)x15.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外一点O，给出下列表达式：2OM=xOA+yOB+13OC，其中16.在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=π2，沿对角线AC将△ACD折起，使A四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

直线l的方程为y=−(a+1)x+a−2(a∈R)18.(本小题12.0分)

如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，设AB=a，AD=b，19.(本小题12.0分)

如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD满足AD//B20.(本小题12.0分)

如图所示，直角梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥AB，BC=2AB=2AD=221.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥S−ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AB=1，P为棱AB的中点，四棱锥S−ABCD的体积为23322.(本小题12.0分)

如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在A1B1上，且满足A1

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：∵直线l1，l2的斜率和倾斜角分别为k1，k2和θ1，θ2，

当倾斜角均为锐角时，和均为钝角时，若“k1>k2”则“θ1>θ2”，若“θ1>θ2”则“k1>k2”，

当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“k1>2.【答案】B

【解析】解：∵向量a=(−2,3,−1)，b=(4,m,n)，且a/​/b，其中m，n∈R，

∴4−3.【答案】B

【解析】【分析】本题考查空间向量垂直的坐标表示，属于基础题．

由a⋅【解答】

解：因为a⊥b，

所以a⋅b=−44.【答案】A

【解析】解：设Q(−1,2)，则kQA=2−(−1)−1−(−2)=3，kQB=2−0−15.【答案】C

【解析】解：设p在基底{a+b,a−b,c}下的坐标为(x,y,z)，

则p=4a+26.【答案】A

【解析】解：连接AC，BD，设交点为O，连接PO，

∵O为AC的中点，O为BC的中点，

∴PO=12a+12c，PO=12PD+12b，7.【答案】D

【解析】【分析】本题考查空间角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．

设正方体中心为O1，先根据条件得P∈平面ACD1，作OQ⊥D1P于Q，连接Q【解答】

解：设正方体ABCD−A1B1C1D1中心为O1，

∵点P满足B1P=xB1A+yB1C+zB1D1，

且x+y+z=1，

∴P∈平面ACD1，

∵平面ACD1∩平面B1PD1=PD1，

由正方体性质得B1D⊥平面ACD1，

且8.【答案】A

【解析】解：等边三角形ADE边上的高为3tan60°=3.同理等边三角形BCF边上的高为3．

①二面角E−AD−B与F−BC−A相等，且为平角时，EF=6+8=14，因此EF<14．

②二面角E−AD−B与F−9.【答案】AB【解析】解：对于A，向量a，b同向时，|a|−|b|≠|a+b|，

∴只满足充分性，不满足必要性，故A错误；

对B，b应该为非零向量，故B错误；

对C，∵2−2−1=−1≠1，根据共面向量定理P、A、B、C四点不共面，故C错误；

对于D，(e1+e2)⋅e1=110.【答案】AC【解析】解：对于A，AB⋅AP=2×(−1)+(−1)×2+(−4)×(−1)=0，所以AB⊥AP，即AP⊥AB，故选项A正确；

对于B，题中没有相关条件可以判断四边形ABCD11.【答案】BD【解析】解：对于A，{a,b,c}是空间的一组基底，则a，b，c是不共面的一组向量，不是任意向量，所以A错误；

对于B，根据空间向量的基本定理知，对空间任一向量p，存在唯一有序实数组(x,y,z)，使p=xa+yb+zc，所以B正确；

对于C，由a⊥b，b⊥c，能得出b垂直于a与c所确定的平面，但a与c不一定垂直，所以C错误；

对于D，设x12.【答案】AB【解析】解：对于A，过D作DO⊥AM，交AM于O，延长交BC于R，

因为底面不变，所以当平面PAM⊥底面ABCM时，

体积最大，其体积为13⋅12⋅(1+2)⋅2⋅1⋅212+22=255，所以A对；

对于B，过O作OQ⊥AB交AB于Q，连接PQ，

因为平面PAM⊥平面ABCM时，PO⊥AM，所以PO⊥平面ABCM，

于是AB⊥PQ，二面角P−AB−C的平面角为∠PQO，

其正切值为2⋅sinθ2⋅cosθ⋅cosθ=tan13.【答案】2x【解析】解：设经过点A(1,1)，且与直线2x+3y−1=0平行的直线方程为2x+3y+c=0，

把点A(1,1)代入，得：

214.【答案】(1【解析】解：直线l：(a+2)x+y−a−4=0，即a(x−1)+2x+y−4=0，

令x−115.【答案】53【解析】解：∵2OM=xOA+yOB+13OC，∴OM=12xOA+12y16.【答案】2

【解析】解：连接AC，连接DO、BO，则D′、O和B共线，

因为ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=π2，所以ABCD是边长为2的正方形(如图1)，

沿对角线AC将△ACD折起(如图2)，

因为AB//D′C，又因为AB与CD成π3角，所以∠D′CD=π3，

因为D17.【答案】解：(1)当l过坐标原点时，2−a=0，解得：a=2，满足题意，

当l不过坐标原点时，即a≠2时，

若a+1=0，即a=−1时，y=−3，不符合题意，

若a+1≠0，即a≠−1时，方程可整理为：xa−2a+1+ya−2=1，

∴a−2【解析】(1)根据已知条件，分直线l过坐标原点，不过坐标原点两种情况讨论，即可求解．

(2)根据已知条件，分a+18.【答案】解：(1)AC=a+b，BD1=AD1−AB=b+c−a．

(2)由题意得：AC⋅B【解析】(1)根据向量的加法或减法很容易求解．

(2)要求直线AC与BD1所成的角，我们来求向量AC与BD1所成的角．设这两个向量夹角为θ，则19.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，

底面ABCD满足AD//BC，且AB=AD=AA1=2，BD=DC=22．

∴AB⊥AA1，AB2+AD2=BD2，∴AB⊥AD，

∵AA1∩AD=A，∴【解析】(Ⅰ)推导出AB⊥AA1，AB⊥AD，由此能证明AB⊥平面ADD1A1．

(Ⅱ)以A为原点，AB20.【答案】(1)证明：连接BD，依题可得BD=2，CD=2，

∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD，

又四边形EDCF为矩形，平面EDCF⊥平面ABCD，

∴CF⊥平面ABCD，∴CF⊥BD，

∵CF∩DC=C，∴BD⊥平面CDF，

∴平面BDF⊥平面DCF．

(2)解：取BC中点G，连接DG．

如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DG所在直线为y轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则A(1,0,【解析】(1)连接BD，推出BD⊥CD，CF⊥BD，然后证明BD⊥平面CDF，推出平面BDF⊥平面DCF．

(2)取BC中点G，连接D21.【答案】解：(1)取SC中点F，连EF、DF．

∵E，F为棱SB，SC的中点，∴EF/​/BC，且EF=12BC，

∵四边形ABCD是矩形，P为棱AD的中点，

∴PD/​/BC，PD=12BC，

∴EF/​/PD，EF=PD，∴四边形PEFD是平行四边形，

∴PE//FD，

又∵FD⊂平面SCD，PE⊄平面SCD，

∴PE//平面SCD；

(2)假设在棱SA上存在点M满足题意，

在等边三角形SAD中，P为AD的中点，所以SP⊥AD，

又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SP⊂平面SAD【解析】(1)取SC中点F，连EF、DF.可证四边形PEFD是平行四边形，从而可证PE/​/平面SCD；

(2)假设在棱SA上存在点M满足题意，利用体积先求得A22.【答案】解：(1)证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A