《和角公式与旋转对称》教学设计(辽宁省市级优课)-数学教案

和角公式与旋转对称教案一、基本信息学校沈阳市同泽高级中学课名和角公式与旋转对称教师姓名闫晗学科（版本）数学（人民教育出版社B版）必修4章节阅读与欣赏年级高一年级二、教学目标（一）知识与技能目标（1）通过本节课的学习，使学生了解旋转对称图形的定义和相关定理；（2）使学生能从旋转对称的角度理解和角公式，并且会应用和角公式证明点的旋转公式；（3）使学生理清旋转对称、和角公式、点的旋转公式与向量的内积存在着的深刻联系。（二）过程与方法目标（1）通过多媒体的演示与探究的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力；（2）通过不同层次问题的设置，打破学生原有的思维定式，从而培养学生从多角度考虑问题的思维习惯。（三）情感、态度与价值观目标（1）通过本节课的学习，使学生能够理清知识脉络；（2）激发学生学习数学的兴趣；（3）培养学生的辩证思维以及灵活应用的数学思维。三、学习者分析学习者是高中一年级理科学生，之前已经学习必修4整本教材了，学生已经学习了证明诱导公式的方法，会推导和角公式，但是对整体知识之间的内在联系并没有了解。通过拓展旋转对称的知识，能大破学生原有的思维定式，能引起学生学习数学的兴趣，更拓宽了学生的视野。四、教学重难分析1.教学重点：探究旋转对称定理，了解和角公式与旋转对称的联系，了解知识之间深刻的联系。教学难点：对旋转对称定理的理解。五、教学方法及教学工具教学方法启发式、探究式教学工具黑板、粉笔、多媒体（PPT），三角尺，电容笔六、教学设计教学环节及时间活动目标教学内容活动设计创设情境回顾教材复习诱导公式的证明过程，为本节课的内容做好充分的准备，起到承上启下的作用。求证：，证明：设的终边与单位圆相交于点，则点关于直线的轴对称点的坐标为，点关于y轴对称的点的坐标为，点经过以上两次轴对称变换到达点，等同于点沿单位圆旋转到点，而且旋转角的大小为，因此点的坐标又为，所以.教科书中诱导公式的证明实际上应用了轴对称与旋转对称的性质，让学生课下复习好诱导公式的证明过程，请学生在大屏幕上书写证明过程，可以为后续探究做好铺垫。拓展发散探究新知这个内容是本节课的重点拓展内容，更是本节课的教学难点，新课比较注重知识形成的过程，有了之前诱导公式的证明过程，学生理解起来就容易的多，这样就能使学生充分的参与到课堂活动中来，这样就达到了教学目标，突破了教学难点。角旋转对称图形定义如果一个平面图形绕定点旋转角，仍与自身重合，则这个图形叫做角旋转对称图形。定理：设直线，相交于点O，，则关于，连续作轴对称变换，等效于绕点O作角的一个旋转变换。如图所示，关于对称，关于对称，容易看出.这个定理表明，任何旋转变换都可以分解为两个轴对称变换的乘积。结论：因此终边作旋转到达，等同于两次轴对称变换的复合：作轴的对称变换，再作关于轴的对称变换。拓展视野，教师引导学生共同探究这里面所蕴含的旋转对称的数学知识。通过动画演示等边三角形和正方形绕着中心点的旋转；引导学生观察这些图形的共同特性，进而引出角旋转对称图形定义。这里先让学生独立思考，然后请得出结论的学生在大屏幕上展示成果。（有了之前诱导公式的证明过程，学生具备独立探究结论的认知水平，对于理解困难的学生，教师在巡视的过程中可以给予从旁指导。）使学生会应用旋转对称的性质，解决简单的数学。已知平面上任意一点的坐标是，点绕原点转角后到达点，设点的坐标为，求证：.证明：我们可以应用上述轴对称与旋转对称的性质来解决这个问题。点绕原点转角后到达点等于两次轴对称变换的复合：作轴的对称变换，再作关于轴的对称变换。则由，即得到：.让学生上大屏幕上讲述自己的论证过程。这样可以检验学生是否学会了应用旋转对称的性质定力解决数学问题，同时更加可以检验教学目标是否达成。启发引导理清脉络这节阅读与欣赏课的一个重要目标就是使学生在学习完必修4之后，了解知识点之间的内在联系，这样这个教学目标就能实现了。思考:诱导公式与和角公式有着怎样的联系呢？诱导公式与和角公式是从特殊推广到一般的关系。诱导公式是把角的终边旋转角到达，然后用角的正弦、余弦表示的正弦和余弦；而和角公式是把角的终边旋角到达，然后用角的正弦、余弦表示的正弦和余弦。因此诱导公式是和角公式的引线，和角公式是诱导公式的推广。（如果学生回答不出来，则由教师引导。）师：和角公式是怎样证明的呢？证明:以坐标原点为中心作单位圆，以Ox为始边作角与，它们终边分别与单位圆相交于点P,Q，则，因为,因此存在，使得，或者成立，复习完诱导公式，请同学们思考诱导公式与第三章学习的和角公式之间的内在联系，有利于学生从宏观上把握知结构，便于吸收新的知识。在课前已经布置学生复习和角公式的证明，因此对全班同学提问，请同学到大屏幕上来演示证明过程。知识迁移灵活应用这是教科书中的例题，让学生学会应用新学的旋转对称的方法解决数学问题。练习：如果点与原点的距离保持不变绕原点旋转角到，则求证：请同学们分组进行讨论，然后请小组代表来展示讨论成果。课堂小结使学生梳理本节课的脉络，回忆学习的新知识，有助于学生掌握知识的重点和系统性。由学生回忆本节课所学的知识（板书中有本节课的知识脉络）课后作业巩固本节课的重点教学内容，使学生能熟练的应用导数的几何意义求切线方程。选做题的难度较大，能激发学生的求知欲。必做题（独立完成）已知点P（1,2），将点P绕着原点O逆时针方向旋转角到达点Q，求点Q坐标.已知点P（1,2），将点P绕着原点O逆时针方向旋转角到达点Q，求点Q坐标.已知角是直角三角形中较大的锐角，且角满足，已知点P（1,2），将点P绕着原点O逆时针方向旋转角到达点M，求点M坐标.选做题（讨论完成）课后巩固练习采用的分层的方式，对不同难度的题型，采用不同的完成方式。对于难度较大的选作题，是留给有学习能力的同学完成的，让学生们通过讨论来完成。课堂上使用和角公式来证明的，课后让学生用旋转对称的相关定理证明点的旋转公式，这样可以使拓宽学生的视野，打破学生原有的思维定式，可以激发学生学习数学的兴趣。七、教学反思在本章，我们用向量的数量积证明了