2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）

2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1,已知全集。={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则q,（M|jN）=（

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}

2.设反=4+3i,贝！Jz=()

A.-3-4zB.-3+4/C.3-4;D.3+4z

3・已知命题P：玉,sinx<l；命题<?:VxwR,网.1,则下列命题中为真命题的是（

)

A•p/\qB.—p/\qC.pAfD.Tpvq)

4.函数f（x）=sin：+cos3的最小正周期和最大值分别是（）

A.34和、B.3%和2C.6万和J?D.6乃和2

戈+y..4,

5.若x,），满足约束条件A-为2,贝！Jz=3%+y的最小值为（)

%3,

A.18B.10C.6D.4

r2力"254

o.cos-----cos—=()

1212

BD,3

A.1Bc

2*T,~22

7•在区间呜随飕1个数,则取到的数小于!的概率为（

)

A.-BD.-

4-1"6

8.下列函数中最小值为4的是（）

4

A.y=x2+2x+4B,y=|sinx|+--------C.y=2x+22-rUK・y=l/nx-\---4--

|sinx|Inx

9.设函数,则下列函数中为奇函数的是（）

1+x

A../*(X—1)—1B-1)+1C./(X+D-ID./(X4-1)+1

10.在正方体ABC£>-ABCQ中，尸为BQ的中点，则直线尸3与AR所成的角为（）

A.-B-7YD-f

2

11.设3是椭圆+»=1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（）

A.-B,g\/6C.yfsD.2

2

12.设awO,若x=〃为函数/（X）=a（x-a）2（x-b）的极大值点，则（)

A.a<bB.a>bC.ab<crD.ab>a2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。

13.已知向量M=(2,5),I=(Z4),若。/区,则；1=.

,>2

14.双曲线工-汇=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为.

45

15.记A48C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为6,B=60°,a2+c2=3ac,

贝!!6=.

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥

的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为—(写出符合要求的一组答案即可).

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：

共60分。

17.(12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有

无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为T和了，样本方差分别记为s：和

(1)求才，歹，s；,s；；

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果

y-x..2^^^-,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不

认为有显著提高).

18.(12分)如图，四棱锥P-ABC。的底面是矩形，PZU底面ABCD,M为3c的中点，

且尸.

(1)证明：平面PAM，平面PBD；

(2)若叨="=1,求四棱锥P—ABCD的体积.

19.(12分)设｛4｝是首项为1的等比数歹(J,数列｛4｝满足6"，已知q,3出，9%成

等差数列.

(1)求｛/｝和｛〃,｝的通项公式;

(2)记5“和7；分别为｛6｝和收｝的前〃项和.证明：7；吟.

20.(12分)已知抛物线C:丁=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)求。的方程；

(2)已知。为坐标原点，点P在C上，点。满足用=9斯,求直线OQ斜率的最大值.

21.(12分)已知函数/(幻=/一/+以+1.

(1)讨论了⑴的单调性；

(2)求曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的

第一题计分。［选修4-4:坐标系与参数方程］(10分)

22.(10分)在直角坐标系xQy中，0C的圆心为C(2,l),半径为1.

(1)写出0c的一个参数方程；

(2)过点尸(4,1)作QC的两条切线.以坐标原点为极点，》轴正半轴为极轴建立极坐标系,

求这两条切线的极坐标方程.

［选修4-5:不等式选讲］(10分)

23.已知函数/(x)=|x-a|+|x+3|.

(1)当4=1时，求不等式f(x)..6的解集；

(2)若/(x)>-a,求“的取值范围.

2021年全国统一高考数学试卷(文科)(乙卷)

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.已知全集。={1,2,3,4,5},集合M=,2},N={3,41,则q,(MUN)=(

)

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}

【思路分析】利用并集定义先求出M|JN，由此能求出即•

【解析】：•.■全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},

=,2,3,4),

故选：A.

【归纳总结】本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力等

数学核心素养，是基础题.

2.设iz=4+3i,贝(Iz=()

A.-3-4/B.-3+4/C.3-4/D.3+4/

【思路分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【解析】：解;i-:由iz=4+3i,得z=St'=<4+3?("=一3『-4i=3-4i.

i-i~

故选：C.

解法二：(山西运城刘丽补解)：等式两边同乘i可得-z=4i-3。两边再同乘-1即得结果为

3-4/,故选：C.

【归纳总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题.

3.已知命题,sinx<l；命题<7:VxeR,网.1,则下列命题中为真命题的是(

)

A.p/\qB.—p/\qC.p人一qD.—(pv(y)

【思路分析】先分别判断命题〃和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进

行判断，即可得到答案.

【解析】：对于命题P:3XG7?,sinx<1,

当x=0时，sinx=0<1,故命题为真命题，—为假命题；

对于命题q:\/xeR,网.1,

因为|x|..O,又函数y=，为单调递增函数，故网.『=1,

故命题q为真命题，f为假命题，

所以为真命题，-为假命题，口人-<7为假命题，T0V4)为假命题，

故选：A.

【归纳总结】本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的

判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

4.函数.f(x)=sin]+cos1的最小正周期和最大值分别是()

A.3"•和近B.3〃•和2C.67•和-J2D.6允■和2

【思路分析】化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可.

【解析】：,.,/(x)=sin—+cos—=>^sin(—+—),

3334

3

当sin。+?)=1时，函数f(x)取得最大值72；

二函数/(X)的周期为67，最大值声.

故选：C.

【归纳总结】本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能

力，属于中档题.

尤+y..4,

5.若x,)，满足约束条件卜-%2,则z=3x+y的最小值为()

3,

A.18B.10C.6D.4

【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优

解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.

【解析】：由约束条件作出可行域如图，

由z=3x+y，得y=-3x+z,由图可知，当直线y=-3x+z过A时，

直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3x1+3=6.

故选：C.

【归纳总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题.

6.cos2—-cos2—=()

1212

A.lB.BC.立D.3

2322

【思路分析】直接利用二倍角的余弦化简求值即可.

1冗15乃

u1+COS—1+COS——

2：,25万_661711154

【解析】：解;5-:COSj1-cos=一+—cos--------cos——

1222226226

1x^-1x(.故选：D.

22222

771?57r,24.2万九心

解法二：（山西运城刘丽补解）：cos---COS,——=cosSIFT——=COS—=——

1212121262

【归纳总结】本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题.

7.在区间（0」）随机取1个数，则取到的数小于！的概率为（）

23

3211

A.-B.-C.-D.-

4336

【思路分析】我们分别计算出区间（0,；）和（0,g）的长度，代入几何概型概率计算公式，即

可得到答案.

【解析】：由于试验的全部结果构成的区域长度为［-02,

22

构成该事件的区域长度为1-0=1，

33

1

3-2

所以取到的数小秒的概率-=

13-

2-

故选：B.

【归纳总结】本题主要考查几何概型的概率计算，其中根据已知条件计算出基本事件总数对

应的几何量的大小，和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键，属基础题.

8.下列函数中最小值为4的是（）

、44

A.y=x-+2x+4B.y=|sinx|H------C.y=2A+22-AD.y=lnx-\-----

Isinx|bix

【思路分析】利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A,根据基本不等式以及取最

值的条件，即可判断选项3,利用基本不等式求出最值，即可判断选项C,利用特殊值验

证，即可判断选项。.

【解析】：又寸于A,y=x2+2x+4=（x+l）2+3..3,

所以函数的最小值为3,故选项A错误；

,4I4―

对于〃，因为0<|sinx|,,1,所以y=|sinx|+二~-..2||sinx|~~-=4,

IsmxIV|sinx|

A

当且仅当|sinx|=J，，即Isin幻=2时取等号，

|sinx|

因为|sinx|,,l，所以等号取不到，

所以y=|sinx|+1二>4，故选项8错误；

|sinx|

对于C,因为2*>0,所以y=2、+22-*=2、+（..2p^=4,

当且仅当2,=2,即x=l时取等号，

所以函数的最小值为4,故选项。正确；

I14

又寸于O,因为当x=_时，,=加_+—r=-l-4=-5<4,

ee

e

所以函数的最小值不是4,故选项。错误..

(详解D)当x>l时，lnx>0,所以)，=加+2--2.//；«*—=4(当且仅当lnx=2即x=e?时

bvcVInx

取等号)；

当O<X<1时，InxvO,所以y=欣+&=-{(-bvc)+(-)],,-2--—)=-4(当且

bvcInxVImc

仅当lnx=-2即x=±取等号)，综上，y=lnx+—6(-8,-4]34,+8),所以选项口错

eInx

故选：C.

【归纳总结】本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求

解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查

了转化思想，属于中档题.

9.设函数f{x}=上三，则下列函数中为奇函数的是()

1+X

A./(x-l)-lB./(x-1)+1C./(x+l)-lD./(x+D+l

【思路分析】先根据函数/(X)的解析式，得到"X)的对称中心，然后通过图象变换，使得

变换后的函数图象的对称中心为(0,0),从而得到答案.

【解析】：因为/a)=3=一(»1)+2=_]+;_,

1+X1+xX+1

所以函数的对称中心为(-1,-1),

所以将函数/(X)向右平移一个单位，向上平移一个单位，

得至II函数y=〃x-l)+l,该函数的对称中心为(0,0),

故函数y=/(X-1)+1为奇函数.

故选：B.

【归纳总结】本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定f(x)的对称中

心，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

10.在正方体ABCD-A4CQ中，P为耳。的中点，则直线尸3与AQ所成的角为()

B后CD

A后-7-f

【思路分析】由ADJ/BC、，得NPBq是直线必与所成的角(或所成角的补角)，由此

利用余弦定理，求出直线P8与AR所成的角.

【解析】：•••AA//BG,.•.NP8G是直线所与AQ所成的角(或所成角的补角),

设正方体ABCD-AgCQ的棱长为2,

贝！PB]=PC,=gJ2?+2?=夜,BC、=6+2,=2叵,BP=百+诉?=",

,//PB2+BC^-PC^6+8-26

..cosZPBC.=-------!------=---=--==——.

2xPBxBC\2x76x2722

.-.ZPBC,=-,

6

二直线PB与AR所成的角为主.

6

故选：D.

【归纳总结】本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题.

II.设3是椭圆c：/+y2=1的上顶点，点P在。上，则|尸砌的最大值为()

A.-B.«C.y/5D.2

2

【思路分析】求出5的坐标，设P(逐cos。,sin。)，利用两点间距离公式，结合三角函数

的有界性，转化求解距离的最大值即可.

【解析】：解法一：8是椭圆C：；+V=1的上顶点，所以8(0,1),

点尸在C上，设P(小cos6,sin。),0e[O,2兀),

所以|PB|=J(逐cos<9-0)2+(sini-I)?=”《39-2$山6*+2

=Usin1®_2sin夕+6=J-4(sin夕+；『+与，

当sin6=-1时，|P31取得最大值，最大值为*.

42

故选：A.

解法二：(安徽滁州刘家范补解)：B是椭圆C:1+y2=1的上顶点，所以8(0,1),

设P(2。),因为点P在C上，所以。：?+城=1,PB2=(X°-0)2+(%—1/

222135

=5(1->o')+%-2>。+1=-4%-2)'。+6=-4(%+—)+—，因为-1”%”1,所以

44

当为=—_L时，PB?最大值为生，，即PB最大值为°

442

【归纳总结】本题考察的考点时椭圆的基本性质(纵坐标的范围)，利用二次函数求最值的

的方法，考查划归转化思想和计算能力，属中档题。

12.设4/0,若x=a为函数，。)=心-幻2。-加的极大值点，贝！]()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【思路分析】分a>()及"0,结合三次函数的性质及题意，通过图象发现。,人的大小关

系，进而得出答案.

【解析】：令f(x)=O,解得x=a或x=。,即x="及x=b是/(x)的两个零点,

当时，由三次函数的性质可知，要使x=。是八幻的极大值点，则函数f(x)的大致图

当“<0时，由三次函数的性质可知，要使x是/(x)的极大值点，则函数/(x)的大致图

综上,ab>a2.

故选：D.

【归纳总结】本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想,

属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。

13.已知向量&=(2,5),E=(Z4),若。〃5,贝!M=-.

一5一

【思路分析】根据题意,^a//b,可得关于2的方程，再求出2即可.

【解析】：因为@=(2,5),5=(44),allb,

所以8-54=0,解得彳=|.

故答案为：-.

5

【归纳总结】本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题.

14.双曲线$=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为小.

45——

【思路分析】求出双曲线的右焦点的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可.

22

【解析】：双曲线工-匕=1的右焦点（3,0）,

45

所以右焦点到直线》+2），-8=0的距离为〃=13+0-8|=小.

Vl2+22

故答案为：石.

【归纳总结】本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，是基础题.

15.记A48C的内角A,B，。的对边分别为。，，c,面积为6,fi=60°,a2+c2=3ac,

则6=_2四_.

【思路分析】由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于〃的方程，解方程可得.

【解析】：•.♦AABC的内角A,B,。的对边分别为〃,b,c,面积为有,8=60。，

a~+c2=3ac,

；acsin8=6=g4cx*=6=ac=4=>a2+c2=12,

c„Cl~+—b~112—/7*rr/-i-t-yy\

又cosB=--------------=：=---nb=2d2，（负值舍）

2ac28

故答案为：2点.

【归纳总结】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题.

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥

的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为②⑤或③④（写出符合要求的一组答案

图①图②

图④

【思路分析】通过观察已知条件正视图，确定该三棱锥的长和高，结合长、高、以及侧视图

视图中的实线、虚线来确定俯视图图形.

【解析】：观察正视图，推出三棱锥的长为2和高1,②③图形的高也为1,即可能为该三

棱锥的侧视图，

④⑤图形的长为2,即可能为该三棱锥的俯视图，

当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，

当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱

锥的俯视图为④.

故答案为：②⑤或③④.

【归纳总结】该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，

以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考

题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(-)必考题:

共60分。

17.(12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有

无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为丁和耳，样本方差分别记为s；和

(1)求5,y,s；,s；;

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果

」一天..2卢萨,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不

认为有显著提高).

【思路分析】(1)利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；

(2)比较y—T与的大小，即可判断得到答案.

【解析】：(1)由题中的数据可得，

x=—x(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,

y=—x(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,

s；='x[(9.8-10)2+(10.3-IO)2+(10-IO)2+(10.2-IO)2+(9.9-IO)2+(9.8-10)2

+(10-10)2+(10.1—10)2+(10.2—IO)?+(9.7-10)2]=0.036；

5^=x[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2

+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-1O.3)2]=0.04；

解法二：(安徽滁州刘家范补快速解):

x=10+-^x(-0.2+0.3+0+0.2-0.1-0.2+0+0.1+0.2-0.3)=10+0=10,

y=10+5x(01+0.4+0.1+0+0.1+0.3+0.6+0.5+04+0.5)=10+0.3=10.3,

(2)歹一元=10.3—10=0.3,

、+s；、/0.036+0.04—八

102=2J-----.....=2V0.0076®0.174,

所以y-工＞2层!,

故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

【归纳总结】本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式,

考查了运算能力，属于基础题.

18.(12分)如图，四棱锥尸-的底面是矩^,PZU底面ABCD,M为3c的中点，

且.

(1)证明：平面PAM_L平面PBD；

(2)^PD=DC=\,求四棱锥P—A8C。的体积.

【思路分析】(1)通过线面垂线即可证明；即只需证明A"_L平面罚犯.

(2)根据PZ〃底面MCD，可得。即为四棱锥的高，利用体积公式计算即可.

【解答】(1)证明：•••PZU底面,4Wu平面,

..PDA,AM,

又•.•P3_LAW,

PDp\PB=P,PB,PDu平面PBD.

.•.A〃_L平面/W.

,,1AMu平面PAM,

平面加MJ_平面PB£)；

(2)解：由PC底面ABCD,

/.PD即为四棱锥P-ABCD的高，ADPB是直角三角形；

ABC。底面是矩形，PD=DC=\,M为8c的中点，且尸3,AM.

设4)=3C=2a,取CP的中点为尸.因为点E是CD中点,连接ME,AF,EF,AE,

可得MF//PB,EF//DP,

月B么.且E尸=g.AE=J^+4a2,AM=y/a2+\,AF=JEF+AE。.

那么A4A/F是直角三角形，

•.♦ADPB是直角三角形，

，根据勾股定理：BP=42+4/,则加尸=也士”；

2

由A4MF是直角三角形，

可得A“+M尸=A尸，

解得〃.

2

底面ABCD的面积S=0,

贝U四棱推P—ABC。的体积\/=、/”5=』'以点=立.

333

解法二：(安徽滁州刘家范补解第二小题)：

由(1)知：A"_L平面PfiD.又•.•33u平面PB£>,，AMBD

设AMcBD=Oj:底面ABCD是矩形，

.1AD//BC,易证：△OAD-AOMB,又M为中点，

OBOMMB

~0D~~0A~^D~2'

若设BC=x，由£>C=L得BM='x,0B=-BD=-VX2+1,

233

OM=-AM=-J—+1,

33V4

2

1Ix1

AOMB中，OB2+OD2MBD2,即一(x?+1)+—(-+l)=-x2,

9944

解得：X=6，底面A8CD的面积S=>/2,

则四藏尸一反8的体积V=L〃-S=1xlx"=^

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【归纳总结】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，体积计算,

考查运算求解能力，是中档题.

19.(12分)设｛q｝是首项为1的等比数列，数列电｝满足a=中，已知q,3%，9%成

等差数列.

(1)求｛〃“｝和电｝的通项公式；

q

(2)记S“和7”分别为｛七｝和｛2｝的前八项和.证明：北<，.

【思路分析】(1)根据q,3a2,94成等差数歹D,｛4｝是首项为1的等比数歹!J,求出公比q,

进一步求出｛七｝和他,｝的通项公式；

(2)分别利用等比数列的前〃项和公式和错位相减法，求出S“和刀，，再利用作差法证明

Tn.

'2

【解析】：(1),：at,3a2,94成等差数列，，6%=q+94,

•.•｛4｝是首项为1的等比数列，设其公比为g,

则6q=l+9q2=1,

"1'a„-a”"、=(§)"'，

•・也号=心•

(2)证明：由(1)知/=(?i,2=〃•(，，

(产，

3

7；,=1x(1)'+2x(1)2+...+«•(1)",①

，=汨勺-辅"，

・口吾=冷拈严修(*弓1拈尸」＜。，

・U吟•

【归纳总结】本题考查了等差数列与等比数列的性质，等比数列的前"项和公式和利用错位

相减法求数列的前〃项和，考查了方程思想和转化思想，属中档题.

20.(12分)已知抛物线C:V=2Pxs0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)求C的方程；

(2)已知。为坐标原点，点P在C上，点。满足p0=9。1，求直线。。斜率的最大值.

【思路分析】(1)根据焦点F到准线的距离为2求出p,进而得到抛物线方程，

(2)设出点Q的坐标，按照向量关系得出P点坐标，再代入抛物线方程中，利用基本不等

式即可求出最值.

【解答】(1)解：由题意知，p=2,

y1=4x.

(2)解法一：由(1)知，抛物线C:'=叙,F(l,0),

设点。的坐标为(租,〃)，

则QF=(1-肛,

PQ=9QF=(9-9m,-9n)

.•・P点坐标为(10M-9,10”)，

将点P代入C得100"=40帆-36,

100^+3625*+9

整理得〃?=

40--io-

_n__10n_10

K当”=3时取最大值.

~~m~25/+9-,9"3

25〃+—

n

故答案为：1

解法二：(安徽滁州刘家范另解)：

)K=K=T—,同乘以分母可得：(25/+9)K=\On,

m25n~+9

整理得25K?-io〃+9K=0,当K=0时，n=0;当KwO时,n有根，ANO,解得：

11—Wk«—.<

——4k«—且kwO,综上：33,所以k的最大值为』故答案为：.

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【归纳总结】本题考查抛物线的性质，考察基本不等式求最值，属于中档题.

21.(12分)已知函数/(》)=/一/+以+1.

(1)讨论了⑴的单调性；

(2)求曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标.

【思路分析】(1)对函数/(x)求导，分及。<g讨论导函数与零的关系，进而得出〃x)

的单调性情况；

(2)先设出切点，表示出切线方程，根据切线过原点，可求得切线方程，将切线方程与曲

线y=/(X)联立，即可求得公共点坐标.

【解析】：(1)f\x)=3x2-2x+a,A=4-12«,

①当％,0,即a1时，由于r(x)的图象是开口向上的抛物线，故此时广。)..0,则f(x)在

H上单调递增；

②当A>0,即时，令,f'(x)=O,解得,=上牛鱼,用J+,

令ra)>o,解得大"或，令r(x)〈o,解得％<x<w,

.•./(幻在(-8/1),(9，+8)单调递增，在(芭，马)单调递减；

综上，当a1时，f(x)在R上单调递增；当时，/(x)在

y,上电三匕土直单调递增，在1—年取1+不正递减.

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