苏科版数学七年级下册期末复习考点串讲+题型专训专题08 一元一次不等式的认识与解法（含解析）

专题08一元一次不等式的认识与解法一、生活中的不等式一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于或等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．二、不等式的解及解集不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立②能够使不等式成立的所有数值都在解集中不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或SKIPIF1<0)．不等式的基本性质3：用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或SKIPIF1<0)．不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．四、解一元一次不等式(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1.(2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）的形式（其中SKIPIF1<0）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．不等式的解集在数轴上表示：在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左．类型一、一元一次不等式中取整【解惑】（2023春·全国·七年级专题练习）若实数3是不等式SKIPIF1<0的一个解，则SKIPIF1<0可取的最大整数是（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】C【分析】解不等式可得SKIPIF1<0，结合题意“实数3是不等式SKIPIF1<0的一个解”，可得SKIPIF1<0，解该不等式即可获得答案．【详解】解：由不等式SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∵实数3是不等式SKIPIF1<0的一个解，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0可取的最大整数为SKIPIF1<0．故本题选：C．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及解一元一次不等式，结合题意得到不等式SKIPIF1<0是解题关键．【融会贯通】1．（2023春·全国·七年级专题练习）不等式SKIPIF1<0的所有正整数解的和为__．【答案】6【分析】解不等式，求得不等式的所有正整数解，即可获得答案．【详解】解：SKIPIF1<0，移项，得SKIPIF1<0，合并同类项，得SKIPIF1<0，系数化为1，得SKIPIF1<0，∴不等式的所有正整数解为1，2，3，则不等式的所有正整数解的和是SKIPIF1<0．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了求不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题关键．2．（2023春·全国·七年级专题练习）若不等式SKIPIF1<0的最小整数解是关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的解，求式子SKIPIF1<0的值．【答案】SKIPIF1<0【分析】求出不等式SKIPIF1<0的解集，在解集中找出最小的整数解，将最小的整数解代入方程中，得到关于SKIPIF1<0的方程，求出方程的解得到SKIPIF1<0的值，将SKIPIF1<0的值代入所求代数式中计算，即可求出值．【详解】解：不等式SKIPIF1<0，去括号得：SKIPIF1<0，移项合并得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则不等式最小的整数解为SKIPIF1<0，又不等式最小整数解是方程SKIPIF1<0的解，SKIPIF1<0将SKIPIF1<0代入方程得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，代数式的求值，以及一元一次方程的解，找出不等式的最小整数解是解本题的关键．3．（2023春·全国·七年级专题练习）求一元一次不等式SKIPIF1<0的负整数解．【答案】SKIPIF1<0【分析】求出不等式的解集，可得结论．【详解】去分母，得SKIPIF1<0，去括号，得SKIPIF1<0，移项、合并同类项，得SKIPIF1<0，系数化为1，得SKIPIF1<0，∴负整数解为SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法．4．（2023春·全国·七年级专题练习）解不等式：SKIPIF1<0，并写出该不等式的最小整数解．【答案】SKIPIF1<0，最小整数解是SKIPIF1<0【分析】根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集，然后写出最小整数解即可．【详解】解：SKIPIF1<0，去分母，得：SKIPIF1<0，移项及合并同类项，得：SKIPIF1<0，系数化为1，得：SKIPIF1<0，∴该不等式的最小整数解是SKIPIF1<0．【点睛】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．类型二、一元一次不等式中最值【解惑】（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）已知n为正整数，若一个三角形的三边边长分别是n、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则满足条件的三角形中周长最短的为（

）A．13 B．16 C．19 D．22【答案】C【分析】根据三角形三边关系列出不等式组，求得SKIPIF1<0的最小整数解为SKIPIF1<0，即可求解．【详解】解：∵SKIPIF1<0即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的最小整数解为SKIPIF1<0，∴三角形三边分别为SKIPIF1<0，周长为SKIPIF1<0，故选：C．【点睛】本题考查了求不等式组的整数解，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．【融会贯通】1.（2023春·全国·七年级专题练习）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．0 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】把问题转化为SKIPIF1<0，利用不等式的性质解决最值问题．【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值最小，最小值为6．故选：C．【点睛】本题考查代入消元法、不等式的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．2．（2022·全国·七年级专题练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值与最小值的差为__________．【答案】20【分析】利用绝对值的性质得出SKIPIF1<0，进一步列出不等式，并化简，即可求得SKIPIF1<0的最大值和最小值．【详解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最大值为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0最大值与最小值的差为：SKIPIF1<0．故答案为：20．【点睛】本题主要考查绝对值的性质和不等式的化简，熟练绝对值的性质并懂得化简不等式是解题的关键．3．（2023春·全国·七年级专题练习）已知非负数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0的最大值与最小值的和为__．【答案】SKIPIF1<0【分析】首先设SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0是非负数求得SKIPIF1<0的取值范围，进而求得SKIPIF1<0的取值范围即可解答．【详解】解：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为非负实数，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0，最小值是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值与最小值的和为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了最值问题，设SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的取值范围是解题的关键．4．（2023春·全国·八年级专题练习）已知不等式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，x的最大值是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】解答此题要理解“SKIPIF1<0”“SKIPIF1<0”的意义，判断出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的最值即可解答．【详解】解：因为SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了不等式的定义，解答此题要明确，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0可以等于2；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0可以等于SKIPIF1<0．5．（2023春·七年级单元测试）若a、b、c、d是正整数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为_______________．【答案】34【分析】先将3个等式变形为SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0，然后根据它们都是正整数，可求出a的取值范围，进而可得SKIPIF1<0的最小值．【详解】解：由题意可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵a、b、c、d都是正整数，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，且a为整数，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值为34．故答案为：34．【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意用a表示出SKIPIF1<0，并求出取值范围是解题的关键．6．（2023春·江苏·七年级专题练习）（1）①比较4m与SKIPIF1<0的大小：（用“>”、"“<”或“=”填充）当m=3时，SKIPIF1<0_______4m；当m=2时，SKIPIF1<0______4m；当m=-3时，SKIPIF1<0______4m；②观察并归纳①中的规律，无论m取什么值，SKIPIF1<0___4m（用“>”、“<”、（“≥”或“SKIPIF1<0”），并说明理由．（2）利用上题的结论回答：①当m=时，SKIPIF1<0有最小值，最小值是；②猜想：SKIPIF1<0的最小值是【答案】（1）①>；=；>；②≥；（2）①0，4；②6【分析】（1）①当m=3时，当m=2时，当m=-3时，分别代入计算，再进行比较即可；②根据SKIPIF1<0，即可得出答案；（2）①根据题意即可得到结论；②把原式配方得到SKIPIF1<0，于是得到当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值最小，即可得到结论．【详解】解：（1）①当m=3时，4m=12，SKIPIF1<0=13，则SKIPIF1<0，当m=2时，4m=8，SKIPIF1<0=8，则SKIPIF1<0=4m，当m=-3时，4m=-12，SKIPIF1<0=13，则SKIPIF1<0，故答案为：＞，=，＞；②∵SKIPIF1<0，∴无论取什么值，总有SKIPIF1<0；故答案为：≥；（2）①当m=0时，SKIPIF1<0有最小值，最小值是4，故答案为：0，4；

②∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值最小，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值是6，故答案为：6．【点睛】本题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小．类型三、一元一次不等式中特殊不等式【解惑】（2020秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）当x_____时，|x﹣2|＝2﹣x．【答案】≤2【分析】由题意可知x﹣2为负数或0，进而解出不等式即可得出答案.【详解】解：由|x﹣2|＝2﹣x，可得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故答案为：≤2.【点睛】本题考查绝对值性质和解不等式，熟练掌握绝对值性质和解不等式相关知识是解题的关键.【融会贯通】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）【问题提出】SKIPIF1<0的最小值是多少？【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．SKIPIF1<0的几何意义是SKIPIF1<0这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么SKIPIF1<0可以看作SKIPIF1<0这个数在数轴上对应的点到1的距离；SKIPIF1<0就可以看作SKIPIF1<0这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究SKIPIF1<0的最小值．我们先看SKIPIF1<0表示的点可能的3种情况，如图所示：（1）如图①，SKIPIF1<0在1的左边，从图中很明显可以看出SKIPIF1<0到1和2的距离之和大于1．（2）如图②，SKIPIF1<0在1和2之间（包括在1，2上），可以看出SKIPIF1<0到1和2的距离之和等于1．（3）如图③，SKIPIF1<0在2的右边，从图中很明显可以看出SKIPIF1<0到1和2的距离之和大于1．所以SKIPIF1<0到1和2的距离之和最小值是1．【问题解决】(1)SKIPIF1<0的几何意义是______；请你结合数轴探究：SKIPIF1<0的最小值是______；(2)请你结合图④探究：SKIPIF1<0的最小值是______，此时SKIPIF1<0为______；(3)SKIPIF1<0的最小值为______；(4)SKIPIF1<0的最小值为______．【拓展应用】(5)如图⑤，已知SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，2的距离之和小于4，请写出SKIPIF1<0的范围为______．【答案】(1)SKIPIF1<0这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3；(2)2；2；(3)9；(4)2550；(5)SKIPIF1<0．【分析】（1）根据题干绝对值的几何意义，再结合数轴即可得到答案；（2）由数轴可知，取中间值2时绝对值之和最小，求解即可得到答案；（3）由数轴可知，取中间值3和4之间（包括在3，4上），绝对值之和最小，利用SKIPIF1<0进行计算即可得到答案；（4）由数轴可知，取中间值50时绝对值之和最小，求解即可得到答案；（5）由已知得SKIPIF1<0，分三种情况讨论：①SKIPIF1<0时；②SKIPIF1<0时；③SKIPIF1<0时，求解绝对值不等式即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意可知，SKIPIF1<0的几何意义是SKIPIF1<0这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和，当SKIPIF1<0在3的左边，可以看出SKIPIF1<0到3和6的距离之和大于3；当SKIPIF1<0在3和6之间（包括在3，6上），可以得到SKIPIF1<0到3和6的距离之和等于3；当SKIPIF1<0在6的右边，从图中很明显可以看出SKIPIF1<0到3和6的距离之和大于3；所以SKIPIF1<0到3和6的距离之和最小值是3，故答案为：SKIPIF1<0这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3；（2）解：如图所示，当a取中间数时，绝对值之和最小，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，故答案为：2；2；（3）解：当SKIPIF1<0在3和4之间（包括在3，4上），绝对值之和最小；SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故答案为：9；（4）解：SKIPIF1<01，2，3，4，5……101的中间数为：51，SKIPIF1<0当a取中间数51时，绝对值之和最小，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案为：50；（5）解：SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，2的距离之和小于4，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0综上可知，当SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，2的距离之和小于4时，SKIPIF1<0的范围为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了绝对值的几何意义与性质，解不等式求解集，利用数形结合与分类讨论的思想，熟练掌握绝对值的性质，理解绝对值的几何意义是解题关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）【阅读理解】“SKIPIF1<0”的几何意义是：数SKIPIF1<0在数轴上对应的点到原点的距离，所以“SKIPIF1<0”可理解为：数SKIPIF1<0在数轴上对应的点到原点的距离不小于SKIPIF1<0，则：①“SKIPIF1<0”可理解为；②请列举两个符号不同的整数，使不等式“SKIPIF1<0”成立，列举的SKIPIF1<0的值为和．我们定义：形如“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”（SKIPIF1<0为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．由上图可以得出：绝对值不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，绝对值不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0．则：①不等式SKIPIF1<0的解集是．②不等式SKIPIF1<0的解集是．（3）【拓展应用】解不等式SKIPIF1<0，并画图说明．【答案】（1）①数SKIPIF1<0在数轴上对应的点到原点的距离小于SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；3；（2）①SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，见解析．【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）；（2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答；（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式SKIPIF1<0的解集，就是数轴上表示数SKIPIF1<0的点到表示SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的点的距离之大于SKIPIF1<0的所有SKIPIF1<0的值，由此即可确定不等式SKIPIF1<0的解集．【详解】（1）①由题意可得，“SKIPIF1<0”可理解为数SKIPIF1<0在数轴上对应的点到原点的距离小于SKIPIF1<0．故答案为：数SKIPIF1<0在数轴上对应的点到原点的距离小于SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0使不等式“SKIPIF1<0”成立的整数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）①由题意可知，不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②由题意可知，不等式SKIPIF1<0的解集为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0；（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式SKIPIF1<0的解集就是数轴上表示数SKIPIF1<0的点，到表示SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的点的距离之和大于SKIPIF1<0的所有SKIPIF1<0的值，如下图所示，可知不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．3．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读求绝对值不等式子SKIPIF1<0解集的过程：因为SKIPIF1<0，从如图所示的数轴上看：大于SKIPIF1<0而小于3的数的绝对值是小于3的，所以SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0，解答下面的问题：(1)不等式SKIPIF1<0的解集为______；(2)求SKIPIF1<0的解集实质上是求不等式组______的解集，求SKIPIF1<0的解集．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【分析】（1）根据题中所给出的例子进行解答即可；（2）根据题中所给的实例列出关于SKIPIF1<0的不等式组，求出其解集即可．【详解】（1）解：SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不等式SKIPIF1<0的解集为：SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；（2）解：SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的解集实质上是求不等式组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意利用数形结合求一元一次不等式的解集是解答此题的关键．4．（2020秋·四川凉山·九年级阶段练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解决问题．例题：解一元二次不等式SKIPIF1<0．解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有①SKIPIF1<0解不等式组①，得SKIPIF1<0②SKIPIF1<0解不等式组②，得SKIPIF1<0，故原不等式的解集为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即一元二次不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．问题：（1）求关于x的两个多项式的商组成的不等式SKIPIF1<0的解集．（2）若a，b是（1）中解集x的整数解，以a，b，c为SKIPIF1<0为边长，c是SKIPIF1<0中的最长的边长，①求c的取值范围：②若c为整数，求这个等腰SKIPIF1<0的周长．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）①3＜c＜6或4＜c＜8或4＜c＜8；②10或11或13或14或15．【分析】（1）利用不等式SKIPIF1<0得到①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，进而求出即可；（2）根据（1）中所求，得出a，b的值，再求c，进而求出这个等腰△ABC的周长即可．【详解】（1）∵SKIPIF1<0，∴由“两数相除，异号得负”，有：①SKIPIF1<0解不等式组①得：SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0解不等式组②得：无解；∴原不等式的解集为SKIPIF1<0；（2）①a，b的解集SKIPIF1<0的整数解，∴a=3，b=3；a=3，b=4；a=4，b=4．∵c是△ABC的最大边，当a=3，b=3时，3＜c＜6；当a=3，b=4时，4≤c＜7；当a=4，b=4时，4＜c＜8；②当a=3，b=3时，3＜c＜6，∴c=4或5，∴SKIPIF1<0=10或11；当a=3，b=4时，4≤c＜7，∴c=4，∴SKIPIF1<0=11；当a=4，b=4时∴4＜c＜8，∴c=5，6，7，∴SKIPIF1<0=13或14或15．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用和三角形三边关系等知识，利用已知得出分式中分子与分母的关系是解题关键．解第（2）问时注意分类讨论．5．（2023春·江苏·七年级专题练习）解不等式：|x－1|＋|x－3|＞4.【答案】x＜0或x＞4【详解】试题分析：此题是一个带绝对值的复合不等式，应分为x≤1，1＜x≤3，x＞3，三种情况，再根据绝对值的性质化简原式，解不等式即可.试题解析：当x≤1时，原式可变形为1－x＋3－x＝4－2x＞4，解得x＜0.当1＜x≤3时，原式可变形为x－1＋3－x＞4，得2＞4，不合题意．当x＞3时，原式可变形为x－1＋x－3＝2x－4＞4，解得x＞4.∴x＜0或x＞4.点睛：此题主要考查了带绝对值的复合不等式的解法，解题关键是要根据绝对值的性质，分情况讨论，然后根据绝对值的性质求解不等式既能解决，解题时注意不等式的基本性质的应用.6．（2022·全国·七年级专题练习）对于不等式SKIPIF1<0且SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0请根据以上信息，解答下列问题：(1)解关于x的不等式：SKIPIF1<0(2)解关于x的不等式SKIPIF1<0其解集中无正整数解，求k的取值范围【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【分析】（1）根据题意列出一元一次不等式求解即可；（2）根据题意列出一元一次不等式求解，并根据解集中无正整数解求出k的取值范围即可.【详解】（1）解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，移项得：SKIPIF1<0合并同类项得：SKIPIF1<0系数化为1得：SKIPIF1<0（2）∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0移项合并得：SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，解得：SKIPIF1<0（可以取遍所有正整数，不合题意）；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，化简得SKIPIF1<0（恒成立，可以取遍所有正整数，不合题意）；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，解得：SKIPIF1<0，∵解集中无正整数解，∴SKIPIF1<0，去分母得：SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0，不等号改变方向）解得：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查解一元一次不等式与不等式的性质，掌握解一元一次不等式的一般步骤与不等式的性质是解题的关键．7．（2023春·江苏·七年级专题练习）【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．例：已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．证明：SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．【新知应用】（1）比较大小：SKIPIF1<0______SKIPIF1<0．（2）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．试比较SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小关系．【实际应用】（3）请用“作差法”解决下列问题：某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A、B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打八五折；B方案：第一次按照原价，从第二次起每次打八折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？【拓展提升】（4）已知x、y、z满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，比较代数式SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0（3）当SKIPIF1<0时，A方案合算；当SKIPIF1<0时，此时两个方案的总价相同；当SKIPIF1<0时，B方案合算；（4）SKIPIF1<0【分析】（1）做x-1与2+x的差，再根据差的正负性即可判断；（2）分别用m表示SKIPIF1<0，然后计算SKIPIF1<0的差的正负性，即可得到答案；（3）根据题意分别写出表示两种方案的总价的代数式，然后作差，再分情况讨论即可；（4）先将z看作常数，解关于x、y的二元一次方程组，然后带入并作差，根据差的正负性即可得到答案；【详解】解：（1）根据材料得，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故填SKIPIF1<0；（2）由图知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵m是正整数∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（3）设原价为a（SKIPIF1<0），去的次数为x（x为正整数），总价分别为SKIPIF1<0根据题意可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，x为正整数，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，此时A方案合算；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，此时两个方案的总价相同；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，此时B方案合算；（4）由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，联立方程组并解得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0【点睛】本题是材料题，考查了对所给信息的获取能力，涉及了二元一次方程组，不等式的性质等相关知识，掌握所需知识，理解题意并根据题目所给方法做出结论是本题的解题关键．类型四、一元一次不等式与二元一次方程中的取值范围【解惑】（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程组SKIPIF1<0的解满足SKIPIF1<0的值不大于5，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据方程组，得到SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0的值不大于5，列出不等式求解即可得到答案．【详解】解：方程组SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程组的解满足SKIPIF1<0的值不大于5，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选C．【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题关键．【融会贯通】1．（2023·山东滨州·模拟预测）关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程组SKIPIF1<0的解，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】将2个方程相加得出SKIPIF1<0，根据不等式的解集的情况，得出SKIPIF1<0，进而即可求解．【详解】解：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，故选：C．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出SKIPIF1<0的表达式是解答此题的关键．2．（2023春·全国·七年级专题练习）关于x，y的方程组SKIPIF1<0的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】把两个方程相减，可得SKIPIF1<0，x与y的和不小于5，即可求出答案．【详解】把两个方程相减，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0x与y的和不小于5SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0k的取值范围为SKIPIF1<0．故答案为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式知识点是解题的关键．3．（2023春·广东中山·九年级校考阶段练习）若方程组SKIPIF1<0的解x、y满足SKIPIF1<0，则a的取值范围为_________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由题意解不等式组，用含a的式子表示SKIPIF1<0的值，再根据取值范围求解即可．【详解】解：SKIPIF1<0，①+②得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解之得：SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组用的加减法，观察方程组及方程组的解所满足的条件，只要将方程组的两个方程相加即可得到SKIPIF1<0的值，这是关键．4．（2023春·福建漳州·七年级统考期中）已知关于x，y的方程组SKIPIF1<0的解满足SKIPIF1<0，求k的取值范围．【答案】SKIPIF1<0【分析】由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解不等式即可．【详解】解：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次不等式；解题的关键是巧解方程组得到SKIPIF1<0．5．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）已知方程组SKIPIF1<0是一个关于x，y的二元一次方程组，其中SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的和是非负数，求m的取值范围．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用加减消元法求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，然后列出不等式，再解关于SKIPIF1<0的一元一次不等式即可得解．【详解】解：解二元一次方程组SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的和是非负数，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，把SKIPIF1<0看作常数，用SKIPIF1<0表示出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0然后列出关于SKIPIF1<0的不等式是解题的关键，也是本题的难点．6．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）已知方程组SKIPIF1<0的解中，SKIPIF1<0为非正数，SKIPIF1<0为负数．(1)求SKIPIF1<0的取值范围；(2)化简SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)5【分析】（1）用加减消元法得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据题意得SKIPIF1<0，即可求出a的范围；（2）利用a的范围和绝对值的非负性即可得．【详解】（1）解：SKIPIF1<0①+②，得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，①-②，得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∵x为非正数，y为负数，∴SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0；（2）解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解不等式的应用，化简绝对值，解题的关键是能够正确求解出二元一次方程组的解类型五、一元一次不等式与二元一次方程中整数解【解惑】（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）若关于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程组SKIPIF1<0的解满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小整数解为___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】方程组中的两个方程相减得出SKIPIF1<0，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的方程组SKIPIF1<0的解满足SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小整数解为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键．【融会贯通】1．（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于x、y的二元一次方程组SKIPIF1<0的解满足SKIPIF1<0，则m的最大整数值为SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【分析】SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0得出关于SKIPIF1<0的不等式，求得最大整数解即可求解．【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．m的最大整数值为SKIPIF1<0-2故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了解二元一次方程组、一元一次不等式，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．2．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）若关于x和y的二元一次方程组SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，那么整数m的最大值是______．【答案】1【分析】先将两个方程相加，再整理，即可得到SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，即可得到m的取值范围，即可求最大值．【详解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0整数m的最大值为1故答案为：1．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解不等式，掌握解二元一次方程组的步骤是解题的关键．3．（2023春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组SKIPIF1<0的解满足SKIPIF1<0，求a的负整数值．【答案】SKIPIF1<0【分析】用含SKIPIF1<0的代数式表示出SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，进行求解即可．【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴a的负整数值为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数的值．解题的关键是用含SKIPIF1<0的代数式表示出SKIPIF1<0．4．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）若方程组SKIPIF1<0的解满足SKIPIF1<0，求满足条件的正整数m的值．【答案】SKIPIF1<0【分析】用含m的式子表示x，y，利用SKIPIF1<0得到不等式求出m的解集，写出整数解．【详解】解：解方程组SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，∴正整数m的值为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查解二元一次方程组和不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．5．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的二元一次方程组SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）.(1)若该方程组的解SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)若该方程组的解SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均为正整数，且SKIPIF1<0，直接写出该方程组的解.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）将方程组变为SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，代入不等式，解不等式即可求解；（2）根据加减法解二元一次方程组，根据方程组的解SKIPIF1<0