2016年研究生入学考试数学三真题及答案

2016年研究生入学考试数学三真题及答案一、选择题1、设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导函数的图形如下图所示，则______．

A．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点

B．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点

C．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点

D．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点

2、已知函数，则______．

A．f'x-f'y=0

B．f'x+f'y=0

C．f'x-f'y=f

D．f'x+f'y=f

3、设，其中D1={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，，D3={(x，y)|0≤x≤1，x2≤y≤1}，则______．

A．J1＜J2＜J3

B．J3＜J1＜J2

C．J2＜J3＜J1

D．J2＜J1＜J3

4、级数为(k为常数)______．

A．绝对收敛

B．条件收敛

C．发散

D．收敛性与k有关

5、设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是______．

A．AT与BT相似

B．A-1与B-1相似

C．A+AT与B+BT相似

D．A+A-1与B+B-1相似

6、设二次型的正负惯性指数分别为1，2，则______．

A．a＞1

B．a＜-2

C．-2＜a＜1

D．a=1或a=-2

7、设A，B为两个随机变量，且0＜PA.＜1，0＜PB.＜1，如果P(A|B.=1，则______．

A．

B．P(A|B.=0

C．P(A∪B.=1

D．P(B|A.=1

8、设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)=______．

A．6

B．8

C．14

D．15

二、填空题9、已知函数f(x)满足，则

10、极限

11、设函数f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z-y2=x2f(x-z，y)确定，则dz|(0，1)=______．

12、设D={(x，y)||x|≤y≤1，-1≤x≤1}，则

13、行列式

14、设袋子中有红、白、黑球各一个，从中有放回地取球，每次取一个，直到三种颜色的球都取到为止，则取球次数恰为4的概率是______．

三、解答题15、求极限

设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数Q=Q(p)，要求弹性，p为单价(万元).16、求需求函数的表达式．17、求p=100万元时的边际收益，并说明其经济意义。18、设函数，求f'(x)并求f(x)的最小值．

19、设函数f(x)连续，求f(x)．

20、求幂级数的收敛域及和函数.

设矩阵，且方程组Ax=β无解，21、求α的值；22、求方程组ATAx=ATβ的通解．已知矩阵23、求A90；24、设3阶矩阵B=(α1，α2，α3)，满足B2=BA．记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．设二维随机变量(X，Y)在区域上服从均匀分布，令

25、写出(X，Y)的概率密度；26、问U与X是否相互独立?说明理由；27、求Z=U+X的分布函数F(z)．设总体X的概率密度为其中θ∈(0，+∞)为未知参数，X1，X2，X3为来自总体X的简单随机样本，令T=max{X1，X2，X3}．28、求T的概率密度；29、确定a，使得aT，为θ的无偏估计．

答案:

一、选择题

1、B[考点]

极值点和拐点[解析]

根据图像，可导函数为零的点有3个，但是最右边都恒大于0，故不是极值点，所以极值点有2个．拐点是一阶导函数的极值点或者不可导点．一阶导函数极值点有2个，不可导点有1个，因此拐点有3个．故答案选B．2、D[考点]

多元函数偏导数[解析]

由已知条件，有

所以，故此题选D．3、B[考点]

重积分[解析]J1=0，J2＞0，J3＜0；J3＜J1＜J2，故选B．4、A[考点]

级数敛散[解析]

由于级数是收敛的，故原级数绝对收敛．5、C[考点]

矩阵相似[解析]

由相似定义可知，A与B相似，存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则BT=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=PTAT(PT)-1=[(PT)-1]-1AT(PT)-1，所以A正确；

B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1(P-1)-1=P-1A-1P，所以B正确；

B+B-1=P-1AP+P-1A-1P=P-1(A+A-1)P，所以D正确．

所以不正确的为C，故选择答案C．6、C[考点]

二次型正惯性指数[解析]

由题意已知，二次型f(x1，x2，x3)对应的矩阵为

由可得A的特征值为

λ1=a+2，λ2=λ3=a-1，

又因为f(x1，x2，x3)的正负惯性指数分别为1和2，且正负惯性指数恰好等于特征值中正、负数的个数，所以a+2＞0且a-1＜0，即-2＜a＜1．故选C．7、A[考点]

随机变量[解析]

由题意可知：

8、C[考点]

随机变量及概率分布[解析]D(XY)=E(X2Y2)-[E(XY)]2，

E(XY)=E(X)E(Y)=1，

E(X2Y2)=E(X2)E(Y2)=3×5=15，D(XY)=14．二、填空题

9、[考点]

极限[解析]

由等价无穷小替换得

故10、sin1-cos1[考点]

定积分的定义[解析]

由题意可知：

又由定积分的定义得

根据定积分原理，11、-dx+2dy[考点]

全微分[解析]

根据题意，对(x+1)x-y2=x2f(x-z，y)两边分别关于x，y求导可得

z+(x+1)z'x=2xf(x-z，y)+x2f'1(x-z，y)(1-z'x)

(x+1)z'y-2y=x2[f'1(x-z，y)(-z'y)+f'2(x-z,y)]，

将代入求得z'x=-1，z'y=2．所以dz|(0，1)=-dx+2dy．12、[考点]

二重积分[解析]

根据积分对称定理，得

13、λ4+λ3+2λ2+3λ+4[考点]

求行列式[解析]

根据题意并展开第一列有

14、[考点]

概率论[解析]

要求前三次必须恰好取到两个不同颜色的球，第四次取到剩下一种颜色的球，前三次恰好取到两种不同颜色的球的概率是，故最终概率故所求概率为．三、解答题

15、[考点]

求极限16、因需求弹性定义，而题设，故即，得，等式两边积分，得Q=c(p-120)．又该商品的最大需要量为1200，即当p=0时，Q=1200，由此可知c=-10．所以需求函数表达式为Q=10(120-p)．17、收益函数R(p)=pQ=10p(120-P)．

边际收益R'(p)=1200-20p，当p=100时，R'(100)=-800．

其经济意义是当价格为100万元时，再增加一个单位价格，收益将减少800万元．[考点]

微分方程18、

f'(x)=4x2-2x=2x(2x-1)，且，从而f(x)在处取极小值且为最小值，[考点]

定积分分类讨论19、做变量替换，u=x-t，则

化简方程可得

两边同时求导后得

(1)

由于f(x)连续，可知可导，从而f(x)也可导，对上式两边再次求导得出

f'(x)=f(x)+e-x，

对于式(1)令x=0可得,f(0)=-1．

解微分方程可得

[考点]

积分与导数20、易知的收敛半径R=1，且当x=1与x=-1时，级数收敛，可知幂级数的收敛域为[-1，1]．

令，两边同时求导得

再求导可得

积分可得

由于f'(0)=0，可知f'(x)=ln(1+x)=ln(1-x)，再积分可得

f(x)=(1+x)ln(1+x)+(1-x)ln(1-x)+C．

由于f(0)=0，可知f(x)=(1+x)ln(1+x)+(1-x)ln(1-x)，因此，

f(x)=(1+x)ln(1+x)+(1-x)ln(1-x)，x∈[-1，1]．[考点]

级数敛散21、将增广矩阵进行初等行变换：

当a=0时，无解．22、当a=0时，

ATA=0的基础解系为ξ=(0，-1，1)T，ATA=β的特解为η=(1，-2，0)T．

所以ATA=β的通解为x=kξ+η，k为任意常数．[考点]

线性方程组解法23、

所以得A的特征值为λ1=-1，λ2=-2，λ3=0．其对应的特征向量分别是

ξ1=(1，1，0)T，

ξ2=(1，2，0)T，

ξ3=(3，2，2)T．

令有P-1AP=A．易知故A=PAP-1．24、

依次类推得B100=BA99，所以有

从而有

β1=(-2+299)α1+(-2+2100)α2．

β2=(1-299)α1+(1-210