选修2-2 2.1.1合情推理(共37张PPT)

引入同学们可能问学了数学有什么用？学习数学的一大作用是培养同学们的逻辑思维能力。逻辑思维与形象思维是思维能力的两个基本元件。通俗讲理科生逻辑思维能力强，文科生形象思维强。对于大脑，左脑管理逻辑思维，右脑管理形象思维。所以左脑发达的人一般选理科，右脑发达的人一般选文科。我们作为文科生逻辑思维本身就弱，所以更有必要学习逻辑思维。这一章我们学习的内容，平时已经在不知不觉中使用了，那时我们自己没有意识到，是无意识的，是隐性的。我们学习这章的目的就是让我们无意识的不知不觉在应用的隐性的逻辑知识变得有意识能够自觉理性的运用，让隐性的逻辑知识显性化。爱因斯坦左脑、右脑都发达。推理与证明天空乌云密布，你能得出什么推断？一.推理无处不在例1

根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理.推理已知判断前提新的判断结论2.1.1合情推理观察下列推理的例子1.铜,铁,铝,金,银等金属能导电,由此得一切金属都能导电.2.三角形的内角和是180°,四边形的内角和是360°,五边形的内角和是540°,由此得n边形的内角和是(n-2)180°.3.一个数列的前4项分别是2,4,6,8,由此得这个数列的通项公式为2n.4.哥德巴赫猜想:3＋7＝103＋17＝2013＋17＝3010＝3＋720＝3＋1730＝13＋17一个规律：偶数＝奇质数＋奇质数6＝3+3，8＝3+5,10＝5+5,……1000＝29+971，1002=139+863,……

猜想任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数的和.问题1:以上推理有什么特点?特点:由部分到整体,由个别到一般的推理归纳推理:

由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论

的推理,称为归纳推理(简称归纳).归：归结。纳：总结。

著名的哥德巴赫猜想

：(GoldbachConjecture)：据说哥德巴赫无意中观察到3+7=10，3+17=20，13+17=30，并且有意将其写成10=3+7，20=3+17，30=13+17，而产生这样的想法。这是世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:(a)任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。(b)任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。

目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理(Chen‘sTheorem)?“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。”

即任一个充分大的偶数=奇质数+质数*质数，这距离猜想的证明只有一步之遥。

过去的高中老师很厉害的，比如哥德巴赫就是个数学家。在我国民国时期高中老师也很厉害，都可以到北大当老师，比如朱自清。但现在高中老师孬了，因为高中普及，只要是年龄到就可以读高中，过去的高中生都是现在的博士生。过去社会上同龄的读高中的没几个或几乎没有。我们以前讲过牛顿、爱因斯坦有自闭症或即阿斯伯格症，许多心理学家也指出陈景润也有自闭或即阿斯伯格症。天才与疯子只有一线之隔，还是做普通人好，陈景润自理能是很差的，40岁了还不会购置家具。例题1:

观察下列的等式,你有什么猜想吗?1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52

……由此猜想:前n个连续的奇数的和等于n的平方,即:1+3+5+…+(2n-1)=n2告诉我们考试如何考？不管是会考还是高考。如果改成2n+1呢？

例2:已知数列{an}的第1项a1=1，且（n=1,2,…),试归纳出这个数列的通项公式.分别把n=2,3,4代入得:观察可得：数列的前4项都等于相应项数的倒数。可用数学归纳法证明这个猜想是正确的.文科强调形象思维，所以数学归纳法不学。由此猜想（归纳）这个数列的通项公式为：于是费马提出猜想：任何形如

的数都是质数，这就是著名的费马猜想。半个世纪后，善于计算的欧拉发现，第五个费马数不是质数，从而推翻了费马猜想。问题4:由归纳推理得到的结论是否一定可靠?费马猜想都是质数同学们看，欧拉的计算能力历史上有名，在当时没有计算机、计算器，全靠一支笔，欧拉就把它算出来了。从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？除了归纳,人们在创造发明中，经常应用类比类：同类比：比较。可能有生命存在有生命存在温度适合生物的生存一年中有四季的变更有大气层大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存一年中有四季的变更有大气层行星、围绕太阳运行、绕轴自转行星、围绕太阳运行、绕轴自转火星地球火星上是否存在生命火星与地球类比的思维过程：火星地球存在类似特征地球上有生命存在猜测火星上也可能有生命存在同学们，虽然人类没有到达火星，但航天器已经到达。美国人觉得所有地球人不是他对手，所以去开辟太空。美国人有个优点，人民自己不会跟自己斗，中国人是窝里斗。并且斗过来斗过去越斗越有精神。为什么人民在斗？因为官员在斗。柏杨写的书《丑陋的中国人》，他说中国文化是酱缸文化。

由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．类比推理的定义:

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=bac=bc;(3)a=b

a2=b2;等等。猜想不等式的性质：(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a＞bac＞bc;(3)a＞b

a2＞b2;等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？以下类比同时说明考试如何考。例2类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.类比角度实数的加法实数的乘法运算结果若a,b∈R,则a+b∈R运算律(交换律和结合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆运算加法的逆运算是减法,使得方程a+x=0有唯一解x=-a单位元a+0=a若a,b∈R,则ab∈Rab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆运算是除法,使得ax=1有唯一解x=1/aa·1=a由平面内的圆，我们联想到空间里的球，让他们来类比．你能找到他们有哪些类似的特征？例5:试将平面上的圆与空间的球进行类比.解：圆与球在它们的的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.

据此，圆与球的相关元素之间可建立如下的对应关系：圆弦直径周长面积球截面圆大圆表面积体积等等，于是根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表：圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切面的直线必经过球心

类比推理举例构成几何体的元素数目：四面体三角形四面体由四个面围成，它是空间中数目最少的基本元素（平面）围成的封闭几何体；在平面内，两条直线不能围成一个封闭的图形，而3条直线可以围成一个三角形，即三角形是平面内数目最少的基本元素（直线）围成的封闭图形。例3类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间

中四面体性质的猜想．直角三角形3个面两两垂直的四面体∠C＝90°3个边的长度a，b，c

2条直角边a，b和1条斜边c∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4个面的面积S1，S2，S3和S

3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S例3类比平面内直角三角形的勾股定理,试

给出空间中四面体性质的猜想．我们要根据实际情况选择适当的类比对象．如：平面空间正方形正方体圆球三角形三棱锥还有向量与数、无限与有限、不等与相等类比。类比推理的结论一定可靠吗？“平面内，两组对边分别相等的四边形是平行四边形”“平面内，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行”“空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形”“空间中，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行”类比数学家波利亚说，类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中类比问题。开普勒说，我珍视类比胜于任何东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密。同学们注意，教材答案不好。对于第二个类比，因为直线类比平面，所以类比结果是：在空间中，同时垂直于一个平面的两个平面互相平行。类比为什么是错误的？原因是在平面内不能做的事情在空间可以做，那就是在空间中可以干折叠、旋转。

合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。

通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。

合情推理的应用

数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。

证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向法国数学家拉普拉斯说，即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。例2.这是一个古老的汉诺塔游戏。有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动一个金属片;2.