二次函数的应用销售问题九年级数学上册尖子生培优题典2

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题二次函数的应用〔3〕销售问题姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共24题．答卷前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔2021•杭州模拟〕某旅行社有100张床位，每床每晚收费100元时，可全部租出，每床每晚收费提高20元，那么有10张床位未租出；假设每床每晚收费再提高20元，那么再减少10张床位未租出；以每次提高20元的这种方法变化下去，为了获利最大，每床每晚收费应提高〔〕A．40元或60元B．40元C．60元D．80元【分析】设每张床位提高x个单位，每天收入为y元，根据等量关系“每天收入＝每张床的费用×每天出租的床位〞可求出y与x之间的函数关系式，运用公式求最值即可．【解析】设每张床位提高x个20元，每天收入为y元．那么有y＝〔100+20x〕〔100﹣10x〕＝﹣200x2+1000x+10000．当x=-b2又x为整数，那么x＝2或3时，y＝11200；∴每张床位提高40元或60元．应选：A．2．〔2021秋•沂水县期末〕某商场降价销售一批名牌衬衫，所获利y〔元〕与降价金额x〔元〕之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，那么获利最多为〔〕A．15元B．400元C．800元D．1250元【分析】利用配方法即可解决问题．【解析】对于抛物线y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2〔x﹣15〕2+1250，∵a＝﹣2＜0，∴x＝15时，y有最大值，最大值为1250，应选：D．3．〔2021秋•高邑县期末〕服装店将进价为每件100元的服装按每件x〔x＞100〕元出售，每天可销售〔200﹣x〕件，假设想获得最大利润，那么x应定为〔〕A．150元B．160元C．170元D．180元【分析】设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．【解析】设获得的利润为y元，由题意得：y＝〔x﹣100〕〔200﹣x〕＝﹣x2+300x﹣20000＝﹣〔x﹣150〕2+2500∵a＝﹣1＜0∴当x＝150时，y取得最大值2500元．应选：A．4．〔2021秋•青龙县期末〕服装店将进价为每件100元的服装按每件x〔x＞100〕元出售，每天可销售〔200﹣x〕件，假设想获得最大利润，那么x应定为〔〕A．150元B．160元C．170元D．180元【分析】设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．【解析】设获得的利润为y元，由题意得：y＝〔x﹣100〕〔200﹣x〕＝﹣x2+300x﹣20000＝﹣〔x﹣150〕2+2500∵a＝﹣1＜0∴当x＝150时，y取得最大值2500元．应选：A．5．〔2021•武汉模拟〕某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y〔千克〕与销售价x〔元/千克〕存在一次函数关系，如下图．那么最大利润是〔〕A．180B．220C．190D．200【分析】由图象过点〔20，20〕和〔30，0〕，利用待定系数法求直线解析式，然后根据每天利润＝每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．【解析】设y＝kx+b，由图象可知，20k解之，得：k=∴y＝﹣2x+60；设销售利润为p，根据题意得，p＝〔x﹣10〕y＝〔x﹣10〕〔﹣2x+60〕＝﹣2x2+80x﹣600，∵a＝﹣2＜0，∴p有最大值，当x=-80-2×2=20时，即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元，应选：D．6．〔2021秋•昭平县期末〕某商场降价销售一批名牌衬衫，所获利利y〔元〕与降价金额x〔元〕之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，那么获利最多为〔〕A．15元B．400元C．800元D．1250元【分析】利用配方法即可解决问题．【解析】对于抛物线y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2〔x﹣15〕2+1250，∵a＝﹣2＜0，∴x＝15时，y有最大值，最大值为1250，应选：D．7.〔2021•无锡〕某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y〔间〕与定价x〔元/间〕之间满足y=14x﹣42〔x≥168〕．假设宾馆每天的日常运营本钱为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出A．252元/间B．256元/间C．258元/间D．260元/间【分析】根据：总利润＝每个房间的利润×入住房间的数量﹣每日的运营本钱，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．【解析】设每天的利润为W元，根据题意，得：W＝〔x﹣28〕〔80﹣y〕﹣5000＝〔x﹣28〕[80﹣〔14x﹣42〕]﹣=-14x2+129=-14〔x﹣258〕∵当x＝258时，y=14×258∴x＝258舍去，∴当x＝256或x＝260时，函数取得最大值，最大值为8224元，又∵想让客人得到实惠，∴x＝260〔舍去〕∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．应选：B．8．〔2021春•天心区校级月考〕将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．假设这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，那么能获取的最大利润是〔〕A．600元B．625元C．650元D．675元【分析】设降价x元，表示出利润的关系式为〔20+x〕〔100﹣x﹣70〕＝﹣x2+10x+600，根据二次函数的最值问题求得结果．【解析】设降价x元，所获得的利润为W元，那么W＝〔20+x〕〔100﹣x﹣70〕＝﹣x2+10x+600＝﹣〔x﹣5〕2+625，∵﹣1＜0∴当x＝5元时，二次函数有最大值W＝625．∴获得的最大利润为625元．应选：B．9．〔2021秋•昌平区期末〕科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，局部数据如下表：温度t/℃…﹣5﹣32…植物高度增长量h/mm…344641…科学家推测出h〔mm〕与t之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．温度越适合，植物高度增长量越大，由此可以推测最适合这种植物生长的温度为〔〕A．﹣2℃B．﹣1℃C．0℃D．1℃【分析】根据题意设其解析式为h＝at2+bt+c，将〔﹣5，34〕，〔﹣3，46〕，〔2，41〕代入方程组求得a、b、c的值，再配方成顶点式可得答案．【解析】设h＝at2+bt+c〔a≠0〕，将〔﹣5，34〕，〔﹣3，46〕，〔2，41〕代入方程组：得：25a解得：a=所以h与t之间的二次函数解析式为：h＝﹣t2﹣2t+49＝﹣〔t+1〕2+50，当t＝﹣1时，y有最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是﹣1℃．应选：B．10．〔2021•海淀区校级一模〕黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y〔万元〕和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，那么没有盈利的月份为〔〕A．2月和12月B．2月至12月C．1月D．1月、2月和12月【分析】根据题意可知没有盈利时，利润为0和小于0的月份都不适宜，从而可以解答此题．【解析】∵y＝﹣n2+14n﹣24＝﹣〔n﹣2〕〔n﹣12〕，1≤n≤12且n为整数，∴当y＝0时，n＝2或n＝12，当y＜0时，n＝1，应选：D．二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕请把答案直接填写在横线上11．〔2021春•福田区校级月考〕某商品每箱盈利13元．现每天可售出50箱，如果每箱商品每涨价1元，日销售量就减少2箱．那么每箱涨价6元时，每天的总利润到达最大．【分析】直接利用每箱利润×销量＝总利润，进而得出关系式求出答案．【解析】设每箱涨价x元，总利润为y，根据题意可得：y＝〔13+x〕〔50﹣2x〕＝﹣2x2+24x+650＝﹣2〔x﹣6〕2+722，答：每箱涨价6元时，每天的总利润到达最大．故答案为：6．12．〔2021•湖北〕某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创立文明城市〞期间，方案将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．头盔的进价为每顶50元，那么该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元．【分析】根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系，然后化为顶点式，即可得到当售价为多少元时，利润到达最大值．【解析】设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，w＝〔x﹣50〕[200+〔80﹣x〕×20]＝﹣20〔x﹣70〕2+8000，∴当x＝70时，w取得最大值，此时w＝8000，故答案为：70．13．〔2021春•天心区校级月考〕服装店将进价为每件100元的服装按每件x〔x＞100〕元出售，每天可销售〔200﹣x〕件，假设想获得最大利润，那么x应定为150元．【分析】设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．【解析】设获得的利润为y元，由题意得：y＝〔x﹣100〕〔200﹣x〕＝﹣x2+300x﹣20000＝﹣〔x﹣150〕2+2500∵a＝﹣1＜0∴当x＝150元时，y取得最大值2500元，故答案为150．14．〔2021•邗江区校级一模〕某种商品每件进价为20元，调查说明：在某段时间内，假设以每件x元〔20≤x≤40，且x为整数〕出售，可卖出〔40﹣x〕件，假设要使利润最大，那么每件商品的售价应为30元．【分析】设商品所获利润为w元，依题意得w关于x的二次函数，写成顶点式，按照二次函数的性质可得出答案．【解析】设商品所获利润为w元，由题意得：w＝〔x﹣20〕〔40﹣x〕＝﹣x2+60x﹣800＝﹣〔x﹣30〕2+100，∵二次项系数﹣1＜0，20≤x≤40，且x为整数，∴当x＝30时，w取得最大值，最大值为100元．∴每件商品的售价应为30元．故答案为：30．15．〔2021•汶上县一模〕今年三月份王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝等进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，假设售价每提高1元，销售量就会减少10个，当销售单价是20元时，王大伯获得利润最大．【分析】设王大伯获得的利润为W，根据“总利润＝单个利润×销售量〞，即可得出W关于x的函数关系式，利用配方法将W关于x的函数关系式变形为W＝﹣10〔x﹣20〕2+1000，根据二次函数的性质即可解决最值问题．【解析】设王大伯获得的利润为W，那么W＝〔x﹣10〕[180﹣10〔x﹣12〕]＝﹣10x2+400x﹣3000＝﹣10〔x﹣20〕2+1000，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝20时，W取最大值，最大值为1000．故答案为：20．16．〔2021秋•包河区期中〕某水果店销售一批水果，平均每天可售出40kg，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价元，商店平均每天可多售出10kg水果，那么商店平均每天的最高利润为180元．【分析】设每千克降价x元，先用含x的式子表示出每天的销售量，再设商店平均每天的利润为w元，根据每千克的盈利乘以销售量等于利润，写出关于x的函数，写成顶点式，根据二次函数的性质，可得答案．【解析】设每千克降价x元，由题意得每天的销售量为：40+x0.5×10＝〔设商店平均每天的利润为w元，由题意得：w＝〔4﹣x〕〔40+20x〕＝﹣20x2+40x+160＝﹣20〔x﹣1〕2+180∵二次项系数为﹣20＜0∴当x＝1时，w取得最大值180元．故答案为：180．17．〔2021•益阳〕某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，那么最大日销售利润是1800元．【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用分类讨论的方法，可以求得最大日销售利润，从而可以解答此题．【解析】设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝kx，30k＝60，得k＝2，即日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝2t，当0＜t≤20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝at，20a＝30，得a＝，即当0＜t≤20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝t，当20＜t≤30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝30，设日销售利润为W元，当0＜t≤20时，W＝t×2t＝3t2，故当t＝20时，W取得最大值，此时W＝1200，当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，故当t＝30时，W取得最大值，此时W＝1800，综上所述，最大日销售利润为1800元，故答案为：1800．17．〔2021秋•西城区校级期中〕某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y〔件〕是售价x〔元/件〕的一次函数．其售价、周销售量、周销售利润w〔元〕的三组对应值如表：售价x〔元/件〕506080周销售量y〔件〕1008040周销售利润w〔元〕100016001600注：周销售利润＝周销售量×〔售价﹣进价〕〔1〕求y关于x的函数解析式y＝﹣2x+200；〔2〕当售价是70元/件时，周销售利润最大．【分析】〔1〕根据表格中的数据代入一次函数解析式即可；〔2〕根据销售问题的关系式列出二次函数即可求解．【解析】〔1〕设一次函数解析式为y＝kx+b，根据题意，得50k+所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200．故答案为y＝﹣2x+200．〔2〕进价为50﹣〔1000÷100〕＝40元每件，所以w＝〔﹣2x+200〕〔x﹣40〕＝﹣2〔x﹣70〕2+1800所以当x＝70元时，周销售利润最大．故答案为70．18．〔2021秋•思明区校级期中〕某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶．在“创立文明城市〞期间，方案将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．头盔的进价为每顶40元，那么该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为55元．【分析】根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系，然后化为顶点式，即可得到当售价为多少元时，利润到达最大值．【解析】设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，w＝〔x﹣40〕[200+〔60﹣x〕×20]＝﹣20〔x﹣55〕2+4500，∴当x＝55时，w取得最大值，此时w＝4500，即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为55元．故答案为：55．三、解答题〔本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔2021•南海区模拟〕某大学生利用40天社会实践参与了某加盟店经营，他销售了一种本钱为20元/件的商品，细心的他发现在第x天销售的相关数据可近似地用如表中的函数表示：销售量销售单价50﹣x当1≤x≤20，单价为30+当21≤x≤40时，单价为40〔1〕求第10天获得的利润是多少？〔2〕求第几天获得的利润最大？最大利润是多少？【分析】〔1〕根据题意和表格中的数据，可以先计算出第10天的销售单价和销售量，然后根据利润＝售价﹣本钱，进行计算即可；〔2〕根据题意和表格中的数据，利用分类讨论的方法和二次函数的性质，可以求得第几天获得的利润最大，最大利润是多少．【解析】〔1〕由表格可得，第10天的销售量为50﹣10＝40〔件〕，销售单价为：30+102〔35﹣20〕×40＝15×40＝600〔元〕，答：第10天获得的利润是600元；〔2〕设利润为w元，当1≤x≤20时，w＝〔30+x2-20〕〔50﹣x〕=-12〔x∴当x＝15时，w取得最大值，此时w=1225当21≤x≤40时，w＝〔40﹣20〕〔50﹣x〕＝﹣20x+1000，∴当x＝21时，w取得最大值，此时w＝580，由上可得，第15天获得的利润最大，最大利润是元，答：第15天获得的利润最大，最大利润是元．20．〔2021•武汉模拟〕在“新冠〞疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫〞；某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．商家购进一批产品，本钱为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y〔单位：件〕与线下售价x〔单位：元/件，12≤x＜24〕满足一次函数的关系，局部数据如下表：x〔元/件〕1213141516y〔件〕120011001000900800〔1〕求y与x的函数关系式；〔2〕假设线上售价始终比线下每件廉价2元，且线上的月销售量固定为400件．①当x为多少时，线上和线下月利润总和到达最大？并求出此时的最大利润；②假设线下月利润与线上月利润的差不低于800元，直接写出x的取值范围．【分析】〔1〕根据线下的月销量y〔单位：件〕与线下售价x〔单位：元/件，12≤x＜24〕满足一次函数的关系和表格中的数据，利用待定系数法可以求得y与x的函数关系式；〔2〕①根据题意和〔1〕中的函数关系式，可以得到利润和x的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可得到当x为多少时，线上和线下月利润总和到达最大，并求出此时的最大利润；②根据题意，可以得到差价利润和x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到x的取值范围．【解析】〔1〕设y与x的函数关系式为y＝kx+b，12k解得k=即y与x的函数关系式是y＝﹣100x+2400；〔2〕①设总利润为w元，w＝〔x﹣10〕〔﹣100x+2400〕+〔x﹣2﹣10〕×400＝﹣100〔x﹣19〕2+7300，∵12≤x＜24，∴当x＝19时，w取得最大值，此时w＝7300，答：当x为19时，线上和线下月利润总和到达最大，此时的最大利润是7300元；②线下月利润与线上月利润的差为W元，W＝〔x﹣10〕〔﹣100x+2400〕﹣〔x﹣2﹣10〕×400＝﹣100〔x﹣15〕2+3300，令W＝800，那么800＝﹣100〔x﹣15〕2+3300，解得x1＝10，x2＝20，∴当10≤x≤20时，W的值不小于800，又∵12≤x＜24，∴线下月利润与线上月利润的差不低于800元时，x的取值范围是12≤x≤20．21．〔2021•黑山县一模〕开学初，小明到文具批发部一次性购置某种笔记本，该文具批发部规定：这种笔记本售价y〔元/本〕与购置数量x〔本〕之间的函数关系如下图．〔1〕图中线段AB所表示的实际意义是购置不超过15本此种笔记本时售价为5元/本；〔2〕请直接写出y与x之间的函数关系式；〔3〕该文具批发部这种笔记本的进价是3元/本，假设小明购置此种笔记本超过15本但不超过25本，那么小明购置多少本时，该文具批发部在这次买卖中所获的利润W〔元〕最大？最大利润是多少？【分析】〔1〕这种笔记本售价y〔元/本〕与购置数量x〔本〕之间的函数关系如图，那么图中线段AB所表示的实际意义是购置不超过15本此种笔记本时售价为5元/本；〔2〕分段写出函数关系式：①当0＜x≤15时，y＝5；②当15＜x≤25时，设＝kx+b，由待定系数法求解即可；③当25＜x时，y与x之间的函数关系式为：y＝4；〔3〕由利润W等于每本的利润乘以销售量，可得W关于x的二次函数关系式，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．【解析】〔1〕意义是：购置不超过15本此种笔记本时售价为5元/本．故答案为：购置不超过15本此种笔记本时售价为5元/本；〔2〕①当0＜x≤15时，y与x之间的函数关系式y＝5，②当15＜x≤25时，设＝kx+b根据题意得5=10k解得k=∴y与x之间的函数关系式y＝﹣x+6．③当25＜x时，y与x之间的函数关系式为：y＝4．综上，y与x之间的函数关系式为：y=5(0〔3〕由题意得：W＝〔﹣x+6﹣3〕x＝﹣×〔x﹣15〕2，当x＝15时，W有最大值．∴当小明购置15本时，该文具批发部所获的利润最大，最大利润是元．22．〔2021•硚口区模拟〕某旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间按现有定价：假设全部入住，一天营业额为8500元；假设甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元〔1〕设甲、乙两种客房每间现有定价分别为m元/天、n元/天，求m、n的值．〔2〕度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：假设每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润W最大，最大利润是多少元？【分析】〔1〕根据全部入住，一天营业额为8500元；假设甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值；〔2〕根据题意，可以得到利润W和乙种房间数量的函数关系，从而可以解答此题．【解析】〔1〕由题意可得，15m解得m=300答：m、n的值分别为300、200；〔2〕设乙种风格客房每间房间定价为x元，由题意可得，W＝〔x﹣80〕〔20-x-20020×2〕＝﹣〔x﹣∴当x＝240时，W取得最大值，此时W＝2560，答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润W最大，最大利润是2560元．23．〔2021•奎文区一模〕金松科技生态农业养殖种植和销售一种绿色羊肚菌，该羊肚菌的本钱是12元/千克，规定销售价格不低于本钱，又不高于本钱的两倍．经过市场调查发现，某天该羊肚菌的销售量y〔千克〕与销售价格x〔元/千克〕的函数关系如下列图所示：〔1〕求y与x之间的函数解析式；〔2〕求这一天销售羊肚菌获得的利润W的最大值；〔3〕假设该公司按每销售一千克提取1元用于捐资助学，且保证每天的销售利润不低于3600元，问该羊肚菌销售价格该如何确定．【分析】〔1〕①当12≤x≤20时，设y＝kx+b．代〔12，2000〕，〔20，400〕，求得k和b；②当20＜x≤24时，y＝400．〔2〕分别写出①当12≤x≤20时，②当20＜x≤24时，相应的函数关系式并求得其最大值，两者相比拟，取较大者即可；〔3〕分两种情况：①当12≤x≤20时，②当20＜x≤24时，分别令其W值等于或者大于等于3600，即可得解．【解析】〔1〕①当12≤x≤20时，设y＝kx+b．代〔12，2000〕，〔20，400〕，得2000=12解得k∴y＝﹣200x+4400②当20＜x≤24时，y＝400．综上，y=〔2〕①当1