江苏省南京市协同体九校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试卷（解析版）

PAGEPAGE1江苏省南京市协同体九校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.2.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】原命题全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定为:，.故选：C.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】，解得，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由解得且，所以的定义域为.故选：D.5.若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得：，得：，所以：，故A项正确.故选：A.6.若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得：存在，成立为真命题，又因为：，当且仅当，即：取等号，所以：，故B项正确.故选：B.7.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为在上单调递减，根据一次函数以及二次函数的性质，结合端点处的函数值，可得，解得.故选：C.8.已知定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，且满足．若当时，总有，则满足的实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，，因为，当时，总有，即，即，当时，总有，所以在上递增，又因为，所以，，所以在上是偶函数，又因为，所以，即，所以，即，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，漏选得2分，错选得0分.）9.下列各组函数不是相同函数的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】ACD【解析】A选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数；B选项，，所以两个函数是相同函数，所以B选项正确；C选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数；D选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数.故选：ACD.10.以下运算中正确的是（）A.若，，则B.若，则C.D.【答案】ACD【解析】A项：由，，，故A项正确；B项：由，得，所以：，得：，故B项错误；C项：，故C项正确；D项：，故D项正确.故选：ACD.11.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）A.B.不等式的解集为C.D.不等式的解集为或【答案】BC【解析】依题意，关于的不等式的解集为或，所以，A选项错误；，即，所以，所以不等式的解集为，B选项正确；，C选项正确；，即，解得，所以不等式的解集为，D选项错误.故选：BC.12.已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①，都有；②，且时，都有；③，则下列成立的是（）A.B.若，C.若，则D.，R，使得【答案】BD【解析】由①知函数是偶函数；由②知函数在上是减函数；由③知函数经过点；综合①②③知，该函数图像关于轴对称，且在轴右侧减函数，又经过点和，故可作出函数简图如图：对于选项A，显然，故A项错误；对于选项B，由可得：或，由（Ⅰ）可得：由（Ⅱ）可得：综合得，，故B项正确；对于选项C，因函数是偶函数，且在上是减函数，故由可得，故有，解得：或，即：，故C项错误；对于选项D，因函数在上是增函数，在上是减函数，函数又是定义在上的，故而图像必与轴相交，即函数有最大值，故D项正确.故选：BD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.当时，函数的最小值为________.【答案】3【解析】，由基本不等式可得，，当且仅当，即时取等号，则的最小值为3.故答案为：3.14.已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则______.【答案】【解析】根据奇函数的性质，可得，即，所以，当时，，所以，，根据奇函数的性质，可得，所以，.故答案为：.15.已知不等式的解集为，则的取值范围是______.【答案】【解析】由于不等式的解集为，所以，解得.故答案为：.16.若定义在上的函数，则称为狄迪克雷函数.对于狄迪克雷函数，下列结论中正确的是______（填序号即可）．①函数为偶函数②对于任意，都有③对于任意两数，都有④对于任意，都有【答案】①④【解析】①，若，则，则；若，则，则；所以为偶函数，所以①正确；②，由于，所以，所以②错误；③，不妨设，所以，，此时，所以③错误；④，若，则，则；若，则，则，所以对于任意，都有，④正确.故答案为：①④.四、解答题（本大题共6小题，共70分.）17.（1）求值：；（2）.解：（1）.（2）.18.已知定义在上的奇函数满足：当时，，当时，.（1）在平面直角坐标系中画出函数在上的图象，并写出单调递减区间；（2）求出的解析式.解：（1）依题意可知，是奇函数，图象关于原点对称，由此画出的图象如下图所示：由图可知，的单调递减区间为.（2）当时，，所以，所以.19.在①；②“”是“”的充分条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解.已知集合，.（1）当时，求；（2）若______，求实数的取值范围.解：（1）当时，，所以，.（2）若选①，由可得，，由已知可得，所以有，解得；若选②“”是“”的充分条件，由已知可得，由已知可得，所以有，解得；若选③，由已知可得，所以有或，解得或.20.已知二次函数满足，且.（1）求的解析式；（2）解关于的不等式.解：（1）依题意，是二次函数，且，故可设，则，所以，解得，所以.（2）不等式，即，，所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.21.第19届杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为15元，年销售10万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.解：（1）设定价为元，则销售量为万件，由已知可得，，整理可得，，解得，所以，该商品每件定价最多为50元.（2）由已知可得，，，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，，所以，当该商品改革后的销售量至少应达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，商品的每件定价为2