江苏省七校（基地学校）联考2023-2024学年高二上学期阶段测试数学试题(含答案)

江苏省七校联考2023—2024学年度第一学期阶段测试高二数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．抛物线的焦点坐标为(▲)A． B． C． D．2．曲线在点处的切线方程为(▲)A．B．C．D．3．正项等比数列中，，，则(▲)A． B．3 C．6 D．94．已知数列的前项和为，，当时，，则等于(▲)A．1008 B．1009 C．1010 D．10115．设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若，则(▲)A．B．C．D．6．现定义离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则(▲)A． B． C． D．7．已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为(▲)A． B． C． D．8．如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为(▲)A．2B．C．D．4二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9．已知函数，则(▲)A．函数在区间上单调递减B．函数在区间上的最大值为1C．函数在点处的切线方程为D．若关于的方程在区间上有两解，则10．设数列的前n项和为，关于数列，下列命题中正确的是(▲)A．若，则既是等差数列又是等比数列B．若（A，B为常数），则是等差数列C．若，则是等比数列D．若是等比数列，则也成等比数列11．双曲线的左、右焦点分别为，.过作其中一条渐近线的垂线，垂足为.已知，直线的斜率为，则(▲)A． B．C．双曲线的方程为 D．12．在平面直角坐标系中，在圆上运动，下列说法正确的是(▲)A．点到直线的距离最大值是B．的最小值为C．的最小值为10D．过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，直线过定点三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。）13．等差数列中，，，则满足不等式的正整数的最大值是▲.14．已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为▲.15．已知函数，若存在，使得，则实数的最小值为▲.16．如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为,则菱形的面积与矩形的面积的比值▲.四、解答题（本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（本题满分10分）已知圆的圆心在直线上，且过点（1）求圆的方程；（2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线l的方程.18．（本题满分12分）已知正项数列的前项和为，，数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．19．（本题满分12分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；20．（本题满分12分）从①，，成等差数列；②，，成等比数列；③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答下列问题.已知为数列的前项和，，，且▲.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.21．（本题满分12分）函数．(1)求在上的单调区间；(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．22．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：过点，离心率为，其左右焦点分别为，．(1)若点P与，的距离之比为，求直线被点P所在的曲线截得的弦长；(2)设，分别为椭圆的左、右顶点，Q为上异于，的任意一点，直线，分别与椭圆的右准线交于点M，N，求证：以为直径的圆经过x轴上的定点．江苏省七校联考2023—2024学年度第一学期阶段测试(参考答案)题号12345678答案CCBDBADB题号9101112答案ACBCACDBCD题号13141516答案591.化抛物线方程为标准方程，所以焦点坐标为2.，，故，所以在点处的切线方程为，即.3.设等比数列的公比为，因为数列为正项等比数列，所以，由题，则，所以，所以.4.解：由题意可得，当时，，，两式作差可得，即，即当时，数列任意连续两项之和为1，又因为，所以。5.由已知，，则．设，则．因为，则．又，则，即，从而．当时，，则在内单调递增，所以，即6.依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：，将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为，解得，因为，所以7.数列满足，①当时，，②①②得，，故，则，则，由于恒成立，故，整理得：，因随的增加而减小，所以当时，最大，且为，即.8.设椭圆标准方程为，双曲线的标准方程为，则，由，，所以，所以椭圆方程可化为，由，两式相减得，，则，根据对称性可知关于原点对称，关于轴对称.则，直线的方程为.将代入得，由，解得或，而，，所以，所以，所以双曲线方程可化为，由消去并化简得，设，解得，所以，所以.9.因为，，所以，令，即；令，即，所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，故A正确；因为，，所以函数在区间上的最大值为4，故B错误；因为，，所以函数在点处的切线方程为，即，故C正确；因为，函数大致图象如图，要使方程在区间上有两解，则，故D错误.10.对于选项A:因为，即，可知数列是等差数列，当时，数列不是等比数列，故A错误；对于选项B：因为，当时，；当时，；可知时，符合上式，综上所述：，可得，所以数列是等差数列，故B正确；对于选项C:因为，当时，；当时，；可知时，符合上式，综上所述：，可得，所以数列是等比数列，故C正确；对于选项D:当数列是等比数列时，取，则，此时显然，，不是等比数列，故D错误.11.因为，不妨设渐近线方程为，即，所以，所以，故正确；设，因为且，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，解得，所以，则离心率，故错误，所以双曲线方程为：，故正确，，故正确.12.由圆的方程可知：圆心，半径，由可知：直线的方程为，即，对于选项A：圆心到直线的距离为：，所以点到直线的距离最大值是，故A错误；对于选项B：由在上，所以可设，所以，，所以，所以，其中，故当时，的最小值为，故B正确；对于选项C：因为，设存在定点，使得点在圆上运动时均有，设，则有，化简可得①又因为，即②。②代入①化简可得，即，所以，所以，因为，当在线段上时，，所以，所以的最小值为10，故选项C正确；对于选项D：设为直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，连接，如图所示：由直线与圆相切的性质可知：，所以在以为直径的圆上，其圆心为的中点，设为，设，所以，，半径为，所以所在圆的方程为：，整理得，将圆与圆的方程联立，作差得直线的方程，因为点在直线上，所以，，代入直线的方程得，整理得，所以解得，所以直线恒过定点13.由得，即，又，解得.14.因为抛物线的准线，焦点为，准线与的对称轴交于点，所以，，因为在中，，所以由正弦定理可得，,因为为抛物线上一点，所以可设为由此可得，平方化简可得：，即，可得,.15.令，则，由得，由得，所以函数在上单调递增，由得，所以函数在上单调递减，所以，所以，当且仅当时，等号成立，可知，当且仅当时等号成立，原条件等价于方程有实根，令，则，由得，由得，所以函数在上单调递增，由得，所以函数在上单调递减，所以，所以的最小值为.16.因为以为直径的圆内切于菱形，可得点到直线的距离为，又因为虚轴的两端点为，所以，在中，由三角形的面积公式值，即，因为，可得，即，又因为，解得，设，可得，所以，在中，可得，所以，菱形的面积，所以.17解：（1）圆的圆心在直线上，设所求圆心坐标为∵过点，解得∴所求圆的方程为（2）直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由于直线被圆截得的弦长为，故圆心到直线的距离为故由点到直线的距离公式得：解得，所以直线l的方程为。综上所述，则直线l的方程为或18.解：（1）当时，，即，或（舍）当时，，又因为，两式相减得，整理得。为正项数列，数列{an}为等差数列，公差为1.（2），。两式相减得；.19.解：（1），，，，又，在处的切线方程为.（2），令，解得：，.①当时，若和时，；若时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；②当时，在上恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；③当时，若和时，；若时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.20.解：（1）由，，当时，，两式相减得，即，所以数列为等比数列，公比为.选①，由，，成等差数列，可得，即，解得，所以.选②，由，，成等比数列，得，即，解得，所以.选③，由，得，所以.（2）当为奇数时，，记前项和中的奇数项之和为，则.当为偶数时，，记前项和中的偶数项之和为，则，故.21.解（1）由题可得令，得；令，得，所以f(x)的单调递增区间为；单调递减区间为和．（2）由，得，即．设，则．设，则．当时，，，所以．所以即在上单调递增，则．若，则，所以h(x)在上单调递增．所以h(x)≥h(0)＝0恒成立，符合题意．若a＞2，则，必存在正实数，满足：当时，，h(x)单调递减，此时h(x)＜h(