初中数学华东师大八年级上册第章 全等三角形全等三角形教案

第13章全等三角形

本章的内容包括命题、定理与证明、三角形全等的判定、等腰三角形、尺规作图、逆命题与逆定理.几部

分内容相对独立，也有相互间的内在联系.

本章研究了命题、定理的条件与结论，以及原命题与它的逆命题、原定理与它的逆定理之间的关系，这些

术语在今后的学习中会经常遇到.对于全等三角形的判定方法，判定三角形全等的三个基本事实是我们进行演

绎推理的重要依据，它们是静态的角度探索发现的依据三角形的基本元素判定三角形全等的方法.实质上，它

们和动态的全等三角形定义是一致的，在这些条件下的两个三角形一定可以通过图形的基本变换（轴对称、平移

与旋转）而相互重合.本章对等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线都通过“探索发现——演绎证明”的过

程进行研究与应用.

本章在中考中主要考查全等三角形的判定和性质；等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线的性质定理.

【本章重点】

1.命题、定理与证明.

2.全等三角形的判定与性质.

3.等腰三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质定理.

4.掌握五种基本的尺规作图方法.

【本章难点】

三角形全等的判定方法的选择.

【本章思想方法】

1.体会和掌握分类讨论思想.如：在不明确两个全等三角形的对应边时，运用分类讨论的思想方法.

2.体会和掌握数形结合的思想.如：在全等三角形的应用问题中，常用到数形结合的思想方法.

命题、定理与证明2课时

三角形全等的判定6课时

等腰三角形2课时

尺规作图2课时

逆命题与逆定理3课时

命题、定理与证明

1命题（第1课时）

R教学目标

一、基本目标

了解命题的含义，会区分命题的题设和结论，会判断真命题和假命题，会把命题改写为“如果……，那

么……”的形式.

二、重难点目标

【教学重点】

分清命题的题设和结论，熟悉命题的表达式.

【教学难点】

将一个命题改写为“如果……，那么……”的形式.

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P54-P55的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.表示判断的语句叫做命题.

2.许多命题是由条件和结论两部分组成的.条件是已知事项;结论是由已知事项推出的事项,这样的命题

通常可写成“如果……，那么……”的形式.用“也基”开始的部分就是条件，而用“生冬”开始的部分就是

结论.

3.如果条件成立，那么结论一定成立.像这样的命题，称为真命题.条件成立时，不能保证结论总是成立,

也就是说结论不成立.像这样的命题，称为假命题.

4.要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子,说明该命题不成立，即只有举出一个符合该命题条件而

不符合该命题结论的例子就可以了.在数学中，这种方法称为“举反例”•

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】下列句子中，不是命题的是（）

A.三角形的内角和等于180°

B.对顶角相等

C.过一点作已知直线的平行线

D.两点确定一条直线

【互动探索】（引发学生思考）什么是命题？

【分析】C不是可以判断真假的陈述句，不是命题；

A、B、D均是用语言表达的、可以判断真假的陈述句，都是命题.

【答案】C

【互动总结】（学生总结，老师点评）本题考查了命题的定义：一般地，在数学中我们把用语言、符号或式

子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.

【例2】将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.

（1）能被2整除的数也能被4整除；

（2）相等的两个角是对顶角；

（3）若孙=0,则x=0；

（4）角平分线上的点到这个角两边的距离相等.

【互动探索】（引发学生思考）一个命题中，哪部分是条件？哪部分是结论？怎样进行改写？

【解答】⑴如果一个数能被2整除，那么这个数也能被4整除.

（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.

（3）4口果冷=0,那么x=0.

（4）如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等.

【互动总结】（学生总结，老师点评）判断命题的条件和结论时要仔细，条件是已知事项，结论是由已知事

项推出的事项.

活动2巩固练习（学生独学）

1.下列语句不是命题的是（C）

A.两点之间，线段最短

B.不平行的两条直线有一个交点

C.X与y的和等于。吗

D.对顶角不相等

2.下列命题是真命题的是（A）

A.邻补角是两个互补的角

B.同位角相等

C.经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行

D.两条直线相交，有两个角相等，则两条直线互相垂直

3.命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式可写成：如果两个角是同角的余角，那

么它们相等.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

请完成本课时对应练习！

2定理与证明（第2课时）

q教学目标\

一、基本目标

了解基本事实、定理的含义；理解证明的必要性.

二、重难点目标

【教学重点】

知道什么是基本事实，什么是定理.

【教学难点】

理解证明的必要性.

S教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P55〜P57的内容，完成下面练习.

【3min反馈】

1.数学中，有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依

据，这样的真命题叫做基本事实.

2.数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以

作为进一步判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.

3.根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理,来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫

做证明.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例题】如图，有三个论断：①N1=N2；②/B=/C；③NA=NQ,请你从中任选两个作为条件，另

一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性.

【互动探索】（引发学生思考）证明的基本步躲有哪些？

【解答】已知：N1=N2,ZB=NC.

求证：NA=ND

证明：VZ1=ZCGD,N1=N2,

NCGO=N2,

：.EC//BF,

：.NAEC=NB.

ZAEC=ZC,

：.AB//CD,

【互动总结】（学生总结，老师点评）证明的一般步骤：写出已知、求证，画出图形，再证明.

1.将命题“等腰三角形两底角相等”改写成“如果……那么……”的形式为：如果一个三角形为等腰三角

形，那么这个三角形的两底角相等,它是要（填“真“或"假“）命题.

2.如图，有以下三个条件：①AC=A8；②A8〃C£＞；③/1=N2,从这三个条件中任选两个作为题设，

另一个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是1.

3.如图所示，已知Nl+N2=180。，Z3=ZB,求证：NAED=NC.

证明：：Nl+N4=180°（邻补角定义），Nl+N2=180°（已知）,

/.N2=N4（同角的补角相等），

...EF〃AB（内错角相等,两直线平行）,

N3=NADE（两直线平行，内错角相等）.

又：NB=N3（已知），

NAOE=NB（等量代换），

...OE〃BC（同位角相等，两直线平行），

NAE£）=NC（两直线平行，同位角相等）.

环节3课堂小结，当堂达标

请完成本课时对应练习!

三角形全等的判定

1全等三角形（第1课时）

T教学目标\

一、基本目标

全等三角形的概念，能运用符号语言表示两个三角形全等.

二、重难点目标

【教学重点】

全等三角形的性质.

【教学难点】

掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速、正确指出两个全等三角形的对应元素.

S教学过程

环节1自学提纲，生成问题

［5min阅读】

阅读教材P59的内容，完成下面练习.

【3min反馈】

1.全等用符号空表示，读作全等于.

2.AABC全等于三角形ADEF,用式子表示为△ABC且4DEF.

3.若AABC丝ADEF,/A的对应角是NB的对应角是/E,则/C的对应角是Nf；AB与DE是对

应边，BC与EF是对应边,AC与旦E是对应边.

4.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

［例1］如图，若△BODgXCOE,指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO丝△AEO,指出这两个全

等三角形的对应角.

【互动探索】（引发学生思考）全等三角形的对应元素该如何找？

【解答】:△BOO丝△COE,

/\BOD与△COE的对应边为：BO与CO,OD与OE,BD与CE.

'：ZVI。。g△AEO,

.•.△A。。与△AEO的对应角为：NDAO与ZEAO,NA。。与NAE。，4AODW乙AOE.

【互动总结】（学生总结，老师点评）找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形.另外，记全等三角

形时，对应顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了.

【例2】如图，△ABC9△£>£1〃，NA=70。，ZB=50°,BF=4,EF=1,求NZJEF的度数和CF的长.

【互动探索】（引发学生思考）由找出这两个三角形的对应角、边，即可解决问题.

【解答】VAABC^ADEF,NA=70°,N8=50°,BF=4,EF=7,

NDEF=NB=50°,BC=EF=1,

：.CF=BC-BF=1~4=3.

【互动总结】（学生总结，老师点评）全等三角形的对应边相等，对应角相等.

活动2巩固练习（学生独学）

1.已知图中的两个三角形全等，则Na的度数是（D）

A.72°B.60°

C.58°D.50°

2.如图，BE=3,AE=2,则OE的长是（A）

A.5B.4

C.3D.2

3.如图，△ABC四△FED,/A=30°,NB=80°,则70°.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

9练习设计

请完成本课时对应练习！

2全等三角形的判定条件（第2课时）

T教学目标\

一、基本目标

1.理解影响两个三角形是否全等的元素（边、角）.

2.理解两个三角形只有一组或两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形不一定全等.

二、重难点目标

【教学重点】

通过探索得出：两个三角形只有一组或两组对应相等的元素（边或角），这两个三角形不一定全等.

【教学难点】

通过探索得出三角形全等的判定条件是可以减少的.

q教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P59〜P61的内容，完成下面练习.

[3min反馈）

1.两个三角形完全重合，则这两个三角形全等.

2.若两个三角形的三条边与三个角都分别对应想置，那么这两个三角形全等.

3.一个三角形经过翻折、平移或旋转等变换得到的新三角形与原三角形全等.

4.全等三角形的判定条件至少需要两个三角形有二仝相等的元素.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例题】如图，□△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移到处，下列结论中错误的是（）

A.AC=DFB.NDEF=90。

C./\ABC^/\DEFD.EC=CF

【互动探索】（引发学生思考）根据题意，得AABC与△DE尸具有怎样的关系？

【分析】..•△£）£：/由RtZXABC平移而成，NABC=90。，

:.XDEF9XABC,

：.AC=DF,

：.ZDEF=ZABC=90°,

，A、B、C正确.

•.•平移的距离及8c的长度不能确定，

...EC与CF的长短不能确定，

.♦.D错误.

【答案】D

【互动总结】（学生总结，老师点评）一个三角形经过翻折、平移或旋转等变换得到的新三角形与原三角形

全等.

活动2巩固练习（学生独学）

1.如图，ZVIBC丝△CD4,ZBAC=95°,ZB=45°,则ZC4。度数为（D）

A.95°B.45°

C.30°D.40°

2.已知图中的两个三角形全等，则/I等于(D)

A.72°B.60°

C.50°D.58°

3.如图，△ABC为等边三角形，。是8c边上的一点，△AB。经过旋转后到达的位置.

(1)请说出旋转中心、旋转方向以及旋转角度;

(2)请找出AB、AO旋转后的对应线段；

(3)若/BA£>=25。，求/AEC度数.

解：(1)由题意，得点A为旋转中心，旋转方向为顺时针，旋转角度为60。.

(2)AB、AO旋转后的对应线段分别为AC、AE.

(3)VZkABC为等边三角形，

ZB=60°.

又：NBAD=25。,

NA/)8=180°-25°-60°=95°.

由题意知△A3。丝/XACE,

ZAEC=NAOB=95°.

环节3课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

*练习设计

请完成本课时对应练习!

3边角边(第3课时)

T教学目标

一、基本目标

掌握三角形全等的“边角边”判定方法，并能进行简单的应用.

二、重难点目标

【教学重点】

应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等.

【教学难点】

分析问题，寻找判定三角形全等的条件.

R教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P62〜P65的内容，完成下面练习.

【3min反馈】

1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,可以简写成“边角边”或S.”.

2.有两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等.

3.如图，48与C£>相交于点O,0A=0C,OD=OB,ZAOD=ZCOB,根据.S.可得到

COB,从而得到A£>=@.

4.如图，已知8O=C。，要根据“SAS”判定则还需添加的条件是NA£>C=NAZ）8.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】如图，A、。、F、8在同一直线上，AD^BF,AE=BC,且AE〃BC.求证：△AEF丝△BCD

【互动探索】（引发学生思考）由A£>=8尸易得AF=BD.义AE=BC,则要证△8C。还需什么条件？

【证明】'JAE//BC,

：.NA=N8.

'：AD=BF,

：.AF=BD.

AE=BC9

在△人£尸和△BCD中，VINA=NB,

AF=BD,

:•△AEFQMBCD.S.）.

【互动总结】（学生总结，老师点评）判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的

夹角.

【例2】如图，BC//EF,BC=BE,AB=FB,N1=N2.若Nl=45。，求NC的度数.

【互动探索】（引发学生思考）要求NC的度数，若△ABCg△所已就可以得出NC=N3EF,则由3C〃EF

可得NC=NBEF=N1,从而解决问题.

【解答】VZ1=Z2,

・・・NABC=NFBE.

BC=BE,

在△ABC和△尸BE中，:NABC=NFBE,

、AB=FB,

:•△ABC9AFBE.S.）,

：.2C=ZBEF.

义,：BC〃EF,Nl=45。，

AZC=ZBEF=Z1=45°.

【互动总结】（学生总结，老师点评）（1）全等三角形是证明线段和角相等的重要工具：（2）学会挖掘题中的已

知条件，如“公共边”“公共角”等.

活动2巩固练习（学生独学）

1.如图，AB=AC,AD=AEf欲证△A8O四△4CE,可补充条件（A）

A.Z1=Z2B.ZB=ZC

C.ZD=ZED.ZBAE=ZCAD

2.下列条件中，不能证明△ABC会△£>££的是（C）

A.AB=DE,/B=NE,BC=EF

B.AB=DE,NA=ND,AC=DF

C.BC=EF,NB=NE,AC=DF

D.BC=EF,NC=NF,AC=DF

3.如图，已知AB=4Q,若AC平分NBA。，问AC是否平分NBC。？为什么？

解：AC平分NBCD理由如下：

：AC平分NBA。，

ZBAC=ZDAC.

AB=AD,

在△48。和△AOC中，V5ZBAC=ZDAC,

AC=AC,

：.AABC^ADC.S.),

ZACB=NACO,

・・・AC平分N8CD

活动3拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，四边形ABC。、OEFG都是正方形，连结AE、CG.求证:

(1)4£=CG；

(2)AE_LCG.

【互动探索】观察图形，证明AADE会XCDG,就可以得出AE=CG;结合全等三角形的性质和正方形的

性质即可证得AEJLCG.

【证明】(1)：四边形ABC。、OEFG都是正方形,

：.AD=CD,GD=ED.

'：NC£>G=90°+ZADG,ZADE=90°+^ADG,

：.NCDG=ZADE.

AD=CD,

在△AOE和△CDG中，♦.…ZADE=ZCDG,

,DE=DG

.♦.△ADE义△CDG.S.),

：.AE=CG.

(2)设AE与DG相交于点M,AE与CG相交于N.

在AGMN和ADME中,由(1)得NCG£>=NAED

又NGMN=NDME,NDEM+NDME=90°,

，NCGD+NGMN=90°,

，NGNM=90°,

：.AE±CG.

【互动总结】（学生总结，老师点评）正方形的四条边相等，四个角都等于90°,利用正方形的性质结合全等

三角形的判定与性质即可解决问题.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

*练习设计

请完成本课时对应练习!

4角边角（第4课时）

T教学目标1

一、基本目标

掌握三角形全等的判定方法：A..和A.A.S.并能解决实际问题.

二、重难点目标

【教学重点】

己知两角一边的三角形全等的探究.

【教学难点】

灵活运用三角形全等条件证明三角形全等.

T教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P66〜P70的内容，完成下面练习.

【3min反馈】

1.两角及其夹边分别相等的两个三角形金董，可以简写成“角边角”或“两角分别相等且其中一组等角的

对边相等的两个三角形全箜，可以简写成“角角边”或“能确定△ABCg/XDE尸的条件是（D）

A.AB=DE,BC=EF,ZA=ZE

B.AB=DE,BC=EF,/C=NE

C.ZA=ZE,AB=EF,NB=ND

D.ZA=Z£>,AB=DE,/B=/E

4.如图所示，已知点尸、E分别在A3、AC上，_aAE=AFf请你补充一个条件：NB=NC,使得△43E

丝△ACF.（只需填写一种情况即可）

教师点拨：此题答案不唯一，还可以填AB=AC或/AEB=/AFC.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】如图，AD//BC,BE//DF,AE=CF,求证：△AQF四△CBE.

【互动探索】（引发学生思考）由4E=C/，易得AF=CE.要证AD尸丝aCBE还需哪些条件？

【证明】；AO〃BC,BE//DF,

：.ZA=ZC,ZDFA=ZBEC.

'：AE=CF,

：.AE+EF=CF+EF,AF=CE.

NA=NC,

在△4£>/和△CBE中，AF=CE,

[NDFA=NBEC,

【互动总结】（学生总结，老师点评）在“中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一

边，且''边"必须是''两角的夹边”，而不是两角及一角的对边，应用时要注意区分.

【例2】如图，在△ABC中，AO1.BC交于点。，8E_LAC于点E,AO与8E交于点F.若BF=AC,求证：

△ADC会4BDF.

【互动探索】（引发学生思考）观察图形，要证△AOC四△8。尸，只需证ND4C=NOB尸.又在RtZkADC与Rt

△3OF中，利用”等角的余角相等”即可得ND4c=NCBF.

【证明】'：AD±BC,BE1,AC,

：.ZADC=NBDF=ZBE4=90°.

■:NAFE=ZBFD,"AC+NAEF=90。，^BFD+^DBF=90°,

：.NDAC=NDBF.

NDAC=NDBF,

在△AOC和△BQF中，ZADC=NBDF,

[AC=BF,

.•.△ACC丝△BDF【互动总结】（学生总结，老师点评）（1）在解决三角形全等的问题中，要注意挖掘题中的

隐含条件，如：对顶角、公共边、公共角等.（2）有直角三角形就有互余的角，利用“同角（等角）的余角相等”

是证角相等的常用方法.

活动2巩固练习（学生独学）

1.完成教材P70“练习”第1〜2题.

略

2.如图，点8在线段AD上，BC//DE,AB=ED,8C=OB.求证：ZA=ZE.

证明：'JBC//DE,

：.NABC=NBDE.

AB=DE,

在△ABC和△EQB中，NABC=NBDE,

BC=BD,

.,.△ABC丝S.）,

NA=ZE.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

T练习设计

请完成本课时对应练习！

5边边边（第5课时）

9教学目标\

一、基本目标

会运用“边边边”证明三角形全等.

二、重难点目标

【教学重点】

掌握“边边边”判定两个三角形全等.

【教学难点】

探索三角形全等条件的过程.

R教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P71〜P72的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.三边分别相等的两个三角形全等,可以简写成“边边边”或“在△ABC、△£>所中，若BC=

EF,AC=DF,MAABC^AEFG.

3.已知AB=3,8c=4,C4=6,EF=3,FG=4,要使AABC之△EFG,则EG=$.

4.如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明N4'O'B'的依据是

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】如图，AB=AD,CB=CD,求证：ZXABC丝△ADC.

【互动探索】（引发学生思考）要证△ABC丝△AOC,只需看这两个三角形的三边是否相等.

AB=AD,

【证明】在△ABC和△A3C中，「C8=CO,

AC=AC,

.♦.△ABC空△AOC【互动总结】（学生总结，老师点评）注意运用“证三角形全等时的证明格式；在证明过程

中善于挖掘“公共边”这个隐含条件.

【例2】如图，AB=DE,AC=O凡点E、C在直线8尸上，且8E=C尸.求证：XABgXDEF.

【互动探索】（引发学生思考）已知两个三角形有两组对边相等，同一直线上的一组边相等，可考虑用“证明

△ABC丝△OEF.

【证明】•:BE=CF,

：.EC+BE=EC+CF,即BC=EF.

BC=EF,

在△ABC和△£>£：/中，A8=Z）E,

AC=DF,

...△ABC0Z\OEF【互动总结】（学生总结，老师点评）判定两个三角形全等，先根据已知条件或易证的结论

确定判定三角形全等的方法，然后根据判定方法看缺什么条件，再去证什么条件.

【例3】如图，AB=AD,DC=BC,NB与ND相等吗？为什么？

【互动探索】（引发学生思考）要判断角相等，可考虑用三角形全等证明，需添加辅助线AC构造三角形.

【解答】NB=ND理由如下：

连结AC.

AD=AB,

在△AOC和△ABC中，-：<AC=AC,

_DC=BC,

：./XADC^^ABC,

:・NB=ND.

【互动总结】（学生总结，老师点评）要证NB与ND相等，可证这两个角所在的三角形全等，但现有条件并

不满足，可以考虑添加辅助线证明.

活动2巩固练习（学生独学）

1.如图，线段AD与2C交于点0,且AC=BZ）,AD=BC,则下面的结论中不正确的是（C）

A.△ABC丝△BAOB.NCAB=NDBA

C.OB=OCD./C=/£>

2.工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，NAOB是一个任意角，在边。4、。8上分别取

0M=0N,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C作射线0C.由做法得△M0C丝

△N0C的依据是如图，4c与8。交于点。，AO=CB,E、尸是8。上两点，且AE=CF,DE=BF.

求证：（1）/。=/8；

（2）AE//CF.

AE=CF,

证明：(1)在△A。£：和△CB尸中，-：［AD=BC,

DE=BF,

：./\ADE94CBF,

：.ND=NB.

(2)V/\ADEqACBF,

，ZAED=NCFB.

•：NAE£>+NAEO=180°,NCFB+NCFO=180°,

ZAEO=ZCFO,

J.AE//CF.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

R练习设计

请完成本课时对应练习!

6斜边直角边（第6课时）

R教学目标

一、基本目标

掌握直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（或.）.

二、重难点目标

【教学重点】

直角三角形全等的判定定理的理解和应用.

【教学难点】

利用直角三角形全等的判定定理解决问题.

T教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P73〜P75的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么两个直角三角形全等的依据是（B）

A..S.B.S.A.S.

C..D.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写成

“斜边直角边”或

3.判定两个直角三角形全等的方法有

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】如图，ABLBC,AD1.DC,AB=AD,求证：Z1=Z2.

【互动探索】（引发学生思考）可以通过证△ABCgZXAOC得到N1=N2.结合已知条件，可以利用得到Rt

△ABC^RtAADC.

【证明】'：AB±BC,AD±DC,

：.NB=ND=90°,

：.4ABe和△ACO均为直角三角形.

AB=AO,

在RlAABC和RtA/lDC中，；

AC=AC,

二RtZXABCgRtZkAOC),

,N1=N2.

【互动总结】（学生总结，老师点评）用证明三角形全等的前提是已知两个直角三角形，即在证明格式上

表明“心△”.

【例2】如图，AC=BD,AD±AC,BC_LBD.求证：AD=BC.

【互动探索】（引发学生思考）观察图形，不能直接通过证△40。与△BOC得到结论，需作辅助线C3,用

证明RtAADC^RtABCD,从而得到AD=BC.

【证明】连结CD.

'：AD±AC,BC±BD,

：.N4=NB=90°.

\AC=BD,

在RtA>4DC和RtABCD中，"：\

[DC=CD,

.♦.RtzMOC丝RtZXBCZ）,

：.AD=BC.

活动2巩固练习（学生独学）

1.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（B）

A.斜边和一直角边对应相等

B.两个锐角对应相等

C.一锐角和斜边对应相等

D.两条直角边对应相等

2.如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,分别过点8、C作过点4的直线的垂线80、CE.若BD

=4cm,CE—3cm,则。E=7cm.

3.如图，点C、E、B、尸在一条直线上，ABJ_CF于点8,力EJ_C尸于点E,AC^DF,AB=OE.求证：CE

=BF.

t正明：'JAB-LCF,DE-LCF,

：.NABC=NDEF=90。.

\AC=DF,

在Rt/XA8c和RtADEF中，V

[AB=DE,

：.RtAABC^RtADEF.）,

：.BC=EF,

：.BC~BE=EF-BE,即CE=BF.

活动3拓展延伸（学生对学）

【例3】如图，已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD^AF,AC=AE.求证：BC=

BE.

【互动探索】要证8C=BE,可以通过三角形全等解决，本题应该通过证明哪对三角形全等来解决呢？

【证明】,：AD,4尸分别是两个钝角△4BC和aABE的高，S.AD=AF,AC=AE,

：.RtZkAOC丝RtA4FE.）,

：.CD=EF.

在RtAAfiD和RtAABF中，

^AD=AF,

"[AB=AB,

.•.RtAABD^RtAABR）,

：.BD=BF,

：.BD~CD=BF-EF,即BC=BE.

【互动总结】（学生总结，老师点评）证明线段相等可以通过证明三角形全等解决.在一个问题中，有时我

们需要多次证明全等来创造已知条件，从而得到结论.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

?练习没计

请完成本课时对应练习!

等腰三角形

1等腰三角形的性质（第1课时）

密教学目标\

一、基本目标

1.了解等腰三角形、等边三角形的概念，掌握等腰三角形、等边三角形的性质，且能熟练应用其性质求角

的度数.

2.理解等腰三角形"三线合一”的性质，能应用这个性质解决实际问题.

二、重难点目标

【教学重点】

1.等腰三角形的概念及性质.

2.等腰三角形性质的应用.

【教学难点】

等腰三角形“三线合一”的性质的理解及其应用.

T教学过程

环节1自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P78〜P81的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.有两边相签的三角形是等腰三角形.相等的两边都叫做叁，另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶丁,

底边与腰的夹角叫做底角.

2.等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角"）.

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线及高互相重合（简称“三线合一”）.

（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.

3.三条边都相等的三角形是等边三角形.

4.（1）等边三角形的各个角都相等,并且每一个角都等于婚.

（2）等边三角形的三条边都相等,三个角都相等,也称为正三角形.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】如图，在△ABC中，4B=AC,点。在AC上，且BD=BC=AD,求△48C各角的度数.

【互动探索】（引发学生思考）设NA=x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数.

【解答】设NA=x.

'：AD=BD,

：.ZABD=ZA=x.

,:BD=BC,

：.NBCD=aBDC=NABD+ZA=2x.

'：AB=AC,

：.NABC=ZBCD=2x.

'：NA+NA3C+NAC"180。，

.,.x+2x+2x=180°,解得x=36°.

，NA=36。，^ABC=NACB=72。.

【互动总结】（学生总结，老师点评）利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关

系，当这种等量关系或和（差）关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小角的度数为X.

【例2】如图，己知A8=AC,J_4c于点。，求证：NBAD=2NDBC.

【互动探索】（引发学生思考）由NBAO=2ND8C,考虑作NBA/）的平分线，即作等腰三角形的高，再根据

”等角的余角相等”求解.

【证明】过点A作AE±BC于点E.

'：AB=AC,

：.NBAD=2N2.

,：BDA.AC,AEA.BC,

：.NBDC=ZAEC=90°,

：.NC+NDBC=N2+NC=90。,

ZDBC=N2,

：.NBAD=2NDBC.

【互动总结】（学生总结，老师点评）解决本题的关键：（1）利用等腰三角形“三线合一”作辅助线；（2）在有

直角的平面几何图形中，可用“等角的余角相等”证明角相等.

活动2巩固练习（学生独学）

1.已知等腰三角形的一个角为80。，则其顶角为（D）

A.20°B.50°或80°

C.10°D.20°或80°

2.如图，在△ABC,AB=AC,8c=6cm,A。平分NBAC,则BD=3cm.

3.在△ABC中，AB=AC=5,NA=60。，贝ijBC=£.

活动3拓展延伸（学生对学）

【例3】己知AABC是等腰三角形，且N4+NB=130。，求NA的度数.

【互动探索】要求乙4,需讨论NA是等腰△A8C的顶角还是底角，再结合三角形的内南和求解.

【解答】分情况讨论：

当NA为顶角时，；NA+NB+NC=180°,NA+NB=130°,

NC=50。，

NA=80°.

当NC为顶角时，则NA=N8.

NA+NB=130。，

NA=65°.

当N8为顶角时，则N4=NC.

：NA+NB+NC=180。，NA+NB=130。，

NA=NC=50°.

【互动总结】（学生总结，老师点评）本题体现了分类讨论思想.等腰三角形的两个底角相等，已知一个内

角，则这个角可能是底角也可能是顶角.本易忽略讨论NB是顶角还是底角.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

*练习设计

请完成本课时对应练习!

2等腰三角形的判定（第2课时）

?教学目标\

一、基本目标

探索等腰三角形和等边三角形的判定方法.

二、重难点目标

【教学重点】

掌握等腰三角形及等边三角形的判定方法.

【教学难点】

会运用等腰三角形及等边三角形的判定方法解决问题.

Q教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P81〜P83的内容，完成下面练习.

【3min反馈】

一、等腰三角形的判定方法

1.等腰三角形的定义：如果一个三角形有西边相等，这个三角形为等腰三角形.

2.如图，在△ABC中，ZB=ZC,求证：AB=AC.

证明：作NBAC的平分线AQ交BC于点。，则

'ZBAD=Z.CAD,

在△BA。和△CAO中，VSZB=ZC,

AD=AD,

：△BAOg△CAO,

：.AB=AC.

3.等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成「'等

角对等边”）.

二、等边三角形的判定方法

I.等边三角形的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形:有一个角是血的等腰三角形是等边三

角形.

2.关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系，下列说法正确的有①②③.（填序号）

①有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形；

②等边三角形是等腰三角形的特殊情况；

③等边三角形的底角与顶角相等;

④等边三角形包括等腰三角形.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】如图，DB=DC,ZABD^ZACD,求证：AB=AC.

【互动探索】（引发学生思考）要证AB=AC,本题不能直接连结证全等得到，可以考虑连结BC利用等

腰三南形的性质与判定方法求证.

【证明】连结BC.

;DB=DC,

，NDBC=NDCB,

,：NABD=ZACD,

NA8O+NDBC=NACD+NDCB,

：.ZABC=ZACB,

C.AB^AC.

【互动总结】（学生总结，老师点评）本题主要是通过连结BC,使AB、4C在同一个三角形中，通过证明它

们所对的角相等，而证得这两条线段相等.

【例2】如图，在△ABC中，ZACB=90°,CO是A8边上的高，AE是28AC的平分线，4E与8交于点

F,求证：4CE尸是等腰三角形.

【互动探索】（引发学生思考）要证△CEP是等腰三痢形，需证△CEF中有两边相等.由等角的余角相等可

得NA8E=NACZ）,从而由AE是NBAC的平分线和三角形外角的性质可得CE=CF.

【证明】•.•在△ABC中，NACB=90。，

NB+NB4C=90。.

：CO是A8边上的高，

ZACD+ZBAC=90°,

：.NB=NACD.

是N8AC的平分线，

NBAE=NEAC,

：.NB+NBAE=ZACD+ZEAC,即NCEF=NCFE,

：.CE=CF,

...△<?£■/是等腰三角形.

【互动总结】（学生总结，老师点评）”等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边

相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立.

【例3】如图，ZVIBC是等边三角形，。为△ABC内任意一点，0E〃A8,OF//AC,分别交8c于点E、F,

△OE尸是等边三角形吗？为什么？

【互动探索】（引发学生思考）由OE〃AB,0尸〃4Cf南相等（60。）-4。6尸是等边三角形.

【解答】△OEF是等边三角形.理由如下:

,JOE//AB,OF//AC,

:.NB=NOEF,NC=NOFE.

♦.•△A3C是等边三角形,

二NB=NC=ZOEF=ZOFE=6Q°,

.♦.△OEF是等边三角形.

【互动总结】（学生总结，老师点评）根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”或“有一个角为60。的等

腰三角形为等边三角形”进行判定.

活动2巩固练习（学生独学）

1.如图，AABC中，/A=36。，AB=AC,8。平分NA8C,下列结论错误的是（D）

A./C=2/A

B.BD=BC

C.△ABO是等腰三角形

D.点。为线段AC的中点

2.如图，△A8C以点A旋转中心，按逆时针方向旋转60。得到△48'C,则△ABB'是等边三角形.

3.如图，A£>平分/BAC,ADA.BD,垂足为点。，£>E〃AC.求证：/X