高中：2023年高一数学周练（一）

2023年余杭中学高一数学周练（一）

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一、解答题

1.（本题满分15分）求下列各式的值.

⑴（2「_（乎产(1Vog251

+(2022)°；(2)1-1+In—+log35xlog259+1g4+21g5.

2.（本题满分15分）已知角a的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它

34

的终边过点尸

5

（I）求sin（a+兀）的值；（II）若角£满足sin（a+6）=13,求cosy?的值.

3.(本题满分15分)设函数/")是定义在R上的奇函数，当xNO,/(力=三

X-

(1)求x<0时，函数/")的解析式；(2)判断并用定义证明/(x)在R上的单调性;

⑶解关于x的不等式/(小―2)+〃or-2x)40,其中aeR.

4.(本题满分15分)已知函数f(x)=Asin(0x+*)(A>O,ro>O，M|<9的部分图象如图.

(1)求函数/(*)的解析式；

(2)将函数/(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，

TT

纵坐标不变，再将所得图象向左平移9个单位，得到函数

0

g(x)的图象，当XC--,71：时，求g(x)值域.

试卷第2页，共4页

5.(本题满分20分)某医药研究所研发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服

用该药，服药后每毫升血液中的含药量M〃g)与服药后的时间”h)之间近似满足如图所

示的曲线.其中。4是线段，曲线段A8是函数y=k,。是常数)的

图象，且4(1,8),3(7,1).

(1)写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间，的函数关系式；

(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于2(〃g)时治疗有效，假若某

病人第一次服药为早上6：00,为保持疗效，第二次服药最迟是

当天几点钟？

(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h,

该病人每毫升血液中含药量为多少〃g?(精确到)

6.(本题满分20分)已知函数，(x)=(x-l)|x-al.

(I)若a=2,求/(x)在0,|上的最大值；

(II)已知函数g(x)=/(x)+|x-a|-x+a-m,若存在实数aw(T,2],使得函数g(x)有

三个零点，求实数〃?的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.（D2（2）y

【分析】（1）根据实数指数基的运算公式，准确运算，即可求解；

（2）根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确计算，即可求解.

（1）

由吗族一（半/+（2022）。=得）'（壶=一2-4J+1

5

3

+ln-+log35xlog259+1g4+21g5

|5

=2-^-l+log,5x|^4+2（lg2+lg5）=l-l+l+2=H.

210g3555

c,i、456Tl6

2.（I）—；（II）-----或——.

56565

【分析】分析：（I）先根据三角函数定义得sine,再根据诱导公式得结果，（II）先根据

三角函数定义得cosa,再根据同角三角函数关系得cos（c+尸），最后根据力=（，+/?）-a,

利用两角差的余弦公式求结果.

【详解】详解：（I）由角a的终边过点得sina=—

_4

所以sin（a+兀）=-sina=—.

（II）由角a的终边过点「（一|,-5）导cosc=—g,

512

由sin（a+1）=百得8$（々+/）=±百.

由/7=（a+/?）-a得cos/?=cos（a+尸）cos<2+sin（ar+/?）sina,

所以cos乃=一||或cos夕=||.

6565

点睛：三角函数求值的两种类型

（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.

（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

答案第1页，共6页

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

3.⑴=

X+1

(2)〃x)在R上单调递减；

(3)见解析.

【分析】⑴令x<0,根据其为奇函数，则“*)=-〃-力=三；

(2)因其是奇函数，则只需证明在［0,+8)上单调性，利用定义法证明其单调性，取值，作

差，因式分解，判定符号，得到结论.

(3)根据其为奇函数移项得了(以2-2)4/(FX+2X),根据其为单调减函数，则

ax2-2>-ax+2x,接下来对。分类讨论即可.

【详解】(1)当x<0,则-x>0,根据“X)为奇函数，

贝f⑺=-〃-x)=-£：)=-T77,

(-X)+1X+1

(2)/(x)在R上单调递减，

理由：“X)为奇函数，且"0)=0,故我们证明其在［0,+司上单调性，

任取27。,同，且不…山)一〃小尚-高=鬲阕

0<x1<x2,所以X：+1>O,W?+1>。，.一石>0,石+电>0，

\/(X)在［0,+8)上单调递减，又因为(0,0)为分段函数的衔接点，且/(X)为奇函数，

则f(x)在R上单调递减.

(3)/(OY2-2)+/(ar-2x)<0,则/(加-2)4-73-2%),

因为f(x)为奇函数，贝lJ/(or2-2)4/(-or+2x),

答案第2页，共6页

因为f(x)在R上单调递减，贝I」依2—2N-av+2x,

ax2+ax—2x—2>01BP(vc2+(t?—2)x—2>0,BP(x+l)(ar—2)..0,

①当a=0时，-2x-2>0,解得x4-l,

②当a>0时,2>-1,不等式化为(》+1)卜-2]..0,解得匕_i或".2；

ava)a

③当一2<a<0时不等式为(x+l)[x-2],,0,解得2领卜-i；

a\ci)a

2

④当a=-2时,-=-1，不等式为(x+I*0,解得L1；

a

⑤当”-2时,2>_1,不等式为0+1)G-2],,0,解得一掇灰

a\a)a

综上知,a=0时，不等式的解集为；

a>0时，不等式的解集为(-s，TL

-2<a<0时，不等式的解集为RT

a

-2'

%-2时，不等式的解集为-1.

a

4.(l)/(x)=2sin(2x-j

⑵[-6,2].

【分析】(1)根据图象由函数最值求得A,由函数周期求得。，由特殊点求得。，即可求得

解析式；

(2)根据三角函数图象的变换求得g(x)的解析式，再利用整体法求函数值域即可.

【详解】(1)由图象可知，/(x)的最大值为2,最小值为-2,又A>0,故

A=2,

454(乃、27r

周期7=彳=一一7=冗，：♦-、:=7rf(v>0,则ty=2,

3|_12<3JJ⑷

从而f(x)=2sin(2x+e),代入点,2),得$山(,+尹)=1,

57r471

则-^~+。=彳+2攵%，keZ,即9=一丁+2攵%，keZ,

623

答案第3页，共6页

▼II兀1-1.1式

又1。1<5，贝!)8=一§.

/./(x)=2sin(2x-5).

(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变,

故可得了=2sin(x-])；

再将所得图象向左平移g个单位，得到函数g(x)的图象

0

故可得g(x)=2sin(x-5)；

2sin^-^V->/3,2],,g(x)的值域为[一6,2].

8^(0<r<l)

5.(i)y='r(72Yz、

8。[引，(出1)

(2)上午11：00服药

(3)4.7"g

【分析】(1)根据函数图象求解函数解析式；(2)根据题意列出不等式，求解出答案；(3)

分别求解出第每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果.

【详解】(D当04r<1时，y=8r；

8…

,A2Z=8a=——

当时，把41,8)、8(7,1)代入y=h"(r*l,a>0",〃是常数)，得，7，，解得2

ka=1

1.=842

8r,(0<?<1)

故>=</-(夜丫/、

,(/>1)

t>\

(2)设第一次服药后最迟过/小时服第二次药，则,8AX[Y1''=2,解得：，=5,即第一

次服药后5人后服第二次药，也即上午11：00服药；

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(3)第二次服药3%后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为:y=80x(用考〃g

每毫升血液中含第二次服药后剩余量为：=4〃g

所以此时两次服药剩余的量为¥+4z4.7〃g

故该病人每毫升血液中的含药量为4.7"g

•39

6.(I)-；(II)-\<m<-.

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【分析】(I)讨论xw[0,2]、xw(2,京分别求得最大值，比较它们的大小，即可确定“X)在

0,|上的最大值；

(II)由题设，问题可化为上近外:卜；(a+l"+"，x""与'=/有三个交点，

[-X+(a-])x+a,x<a

讨论-1、1分别求”的范围，取并集即可.

【详解】(I)由题设，/(x)=(x-l)|x-2|,xe[O,1],

.♦.当xe[0,2]时，f(x)=-(x-D(x-2)--(^-|)2+^.即/(初5=八|)=；，

当xw(2,jj时，f(x)=(x-l)(x-2)=(x-1)2-1，在区间内单调递增，即“初皿=/(()=；，

综上，〃x)在0,-上的最大值为；

.2」4

(II)由题设，令g(x)=x|x-a|-(x-a)-加=0,

|x2-(a+\)x+a,x>a

二x|x-a|-(x-a)=加在ae(-l,2]上有三个根，即〃(x)