延安市重点中学2023届数学高一年级上册期末调研模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,

请将正确答案涂在答题卡上.)

1.函数/0)=sin(2x+?)的一个单调递增区间是O

54TC

7171717万

C.77D.

2.若方程/+2x+利2+3旭=mcos(x+l)+7有且仅有1个实数根，则实数m的值为()

A.2B-2

C.4D.-4

3.若方程|归目-($'+。=0有两个不相等的实数根，则实根。的取值范围是()

\、1

A.(―,+℃)B.(-<»,-)

C.(l,+co)D.S,1)

4.已知集合A={x|y=/+1},集合5={3^=/+1},则()

A.OB.{x|x>l}

C.{x|x<l}D.R

5.棱长为1的正方体可以在一个棱长为"的正四面体的内部任意地转动，则。的最小值为

A.372B.72

C.2后D.逅

3

6.由直线y=x+2上的点向圆出一4)2+()，+2)2=1引切线，则切线长的最小值为

A.^30B.V31

C.4及D.而

7.半径为1cm,圆心角为120。的扇形的弧长为（）

12

A.-cmB.—cm

33

712乃

C.—cmD.——cm

33

hci

8.设A=—+7，其中。、人是正实数，且球b,B=-X2+4X-2,则A与3的大小关系是。

ah

A.A>BB.A>B

C.A<BD.A<B

2X-1

9.已知函数/（为=若_,下面关于/（x）说法正确的个数是。

①/（X）的图象关于原点对称②/（X）的图象关于y轴对称

③/（x）的值域为（-1,1）④fW在定义域上单调递减

A.1B.2

C.3D.4

10.下列函数中为偶函数的是（）

A.y=xz+xB-y=xz-4

Cy=标D.y=反+1|

11.已知名,为锐角，且tana=7,sin（a-。）=,则cos2〃=

3

A.-

5

「2万D

5-f

12.过点A（l,2）且与原点距离最大的直线方程是O

A.x+2y-5=0B.2x+y—4-0

C.x+3y-7=0D.3x+y—5=0

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）

13.给出下列命题：

②函数y=cos|m7+是偶函数;

①存在实数。，使sina+cosa=2

③若e,尸是第一象限的角，且。＞尸，贝ijsina＞sin/?；

④直线x=（是函数y=sin12x+亍J的一条对称轴；

⑤函数y=tan］：Tj的图像关于点H，o］成对称中心图形.

其中正确命题序号是.

14.已知圆Q：（A+1）2+（产1）2=1,圆6与圆G关于直线号1=0对称，则圆Q的方程为

15.已知集合4={%|%＜。},B={），|y=（g）j},且8=A,则实数〃的取值范围是

16.函数£依）=*+3但€4在［1,2）上存在零点，则实数a的取值范围是

X

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.函数/（x）=署^是定义在（-11）上的奇函数，且=

（1）确定函数/（x）的解析式；

（2）用定义证明/（X）在（-11）上是增函数.

18.某公司为了解宿州市用户对其产品的满意度，从宿州市A,8两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产

品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图（如图）和B地区的用户满意度评分的频数分布表（如

表1）

满意度评分[50,60)160,70)[70,80)180,90)[90,100]

频数2814106

表1

满意度评分低于70分[70,90)[90,1001

满意度等级不满意满意非常满意

表2

(1)求图中。的值，并分别求出A,B两地区样本用户满意度评分低于70分的频率

(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级(如表2),将频率看作概率，从A,B两地用户中各随机

抽查1名用户进行调查，求至少有一名用户评分满意度等级为“满意”或“非常满意”的概率.

19.已知函数/(x)=lg=.

X+1

(1)求不等式/(x)>0的解集；

(2)函数g(x)=2—a%a>0MNl),若存在不马目。」)，使得/G)=g(&)成立，求实数”的取值范围；

⑶若函数/^)=1中11(：[二⑹，讨论函数广〃(九(力)一2的零点个数.

20.设函数/(x)=a*+左•尸+以的工(a>0且AeR)

(1)若/(x)是定义在R上的偶函数，求实数#的值；

⑵若左=0,对任意的xe依，不等式l+tcosx+〃2x)>[/(x)丁恒成立，求实数a的取值范围

21.2021年起，辽宁省将实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高

三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五

个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分4等级排名占比15%,赋分分数区间是86-100；5等级排名占

比35%,赋分分数区间是71-85；C等级排名占比35%,赋分分数区间是56-70；O等级排名占比13%,赋分分数区

间是41-55；E等级排名占比2%,赋分分数区间是30-40；现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未

赋分)进行分析，其频率分布直方图如图所示：

(1)求图中a的值;

(2)用样本估计总体的方法,估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上(含C等级)？

(结果保留整数)

(3)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在［40,50)和［50,60)内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析

知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在［40,50)内的概率.

22.已知定义在R上的函数/(%)满足：

①对任意实数工，y,均有/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y)；

②f(i)=o；

③对任意XW［0/)，/(x)>o

(1)求/(0)-/(2)的值,并判断/.(X)的奇偶性；

(2)对任意的xGR,证明：/(x+4)=/(x)；

(3)直接写出f(x)的所有零点(不需要证明)

参考答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

请将正确答案涂在答题卡上.)

1、A

【解析】利用正弦函数的性质，令殊乃-三++W(keZ)即可求函数的递增区间，进而判断各选项是否

232

符合要求.

【详解】42^--<2x+-<2^+-(Z：eZ),<x<^+—(A:eZ),

2321212

57r

当％=0时，一五，五是/(X)的一个单调增区间，而其它选项不符合.

故选：A

2、A

【解析】令f(x)=(x+l)2-/ncos(x+l)+小2+3人一8,由对称轴为％=-1,可得/(-1)=0,解出优，并验证即可.

【详解】依题意，(x+l)2—加cos(x+l)+>+3加—8=0有且仅有1个实数根.

令f(x)=(x+l)?-/〃cos(x+l)+/”2+3m-8,对称轴为戈=—1.

所以/(一D=+2加一8=0，解得加=2或〃?=T.

当加=T时，/(x)=(x+l)2+4cos(x+l)-4,易知/(x)是连续函数，又/(1)=4cos2<0,/(2)=5+4cos3>0,

所以/(x)在［1,2］上也必有零点，此时f(x)不止有一个零点，故加=T不合题意；

当加=2时，/(x)=(x+1尸+2cos(x+1)+2,此时/(x)只有》=一1一个零点，故m=2符合题意.

综上，m=2.

故选：A

【点睛】关键点点睛：构造函数/(x)=(x+l)2—mcos(x+l)+，/+3m-8,求出〃x)的对称轴，利用对称的性质得

出/(-1)=0.

3、B

【解析】方程+。=0有两个不相等的实数根，转化为=―。有两个不等根，根据图像得到只需

K1c1

要——a>0na<一.

33

故答案为B.

4、B

【解析】由集合的表示方法以及交集的概念求解.

【详解】由题意，集合A=R,B={>'|y>l},.\AnB={x|x>l}.

故选：B

5、A

【解析】由题意可知正方体的外接球为正四面体的内切球时。最小，

此时口=遮=逅a,a=3垃.

212

6、B

【解析】过圆心作直线的垂线，垂线与直线的交点向圆引切线，切线长最小

【详解】圆心A(4,-2)泮径r=1,圆心到直线的距离1=也上浮1=4a

V2

则切线长的最小值=J(4后-F=而

【点睛】本题考查圆的切线长，考查数形结合思想，属于基础题

7、D

【解析】利用扇形弧长公式直接计算即可.

【详解】圆心角120。化为弧度为年，

27r

则弧长为24:xl=〈cm.

33

故选：D.

8、B

【解析】利用基本不等式结合二次函数的基本性质可得出A与3的大小关系.

【详解】因为“、b是正实数，且/b,则4=2+0>2*口3=2,

abNah

B=—f+4x—2=—(x—2)~+2K2,因此,A>fl•

故选：B.

9、B

【解析】根据函数的奇偶性定义判断为奇函数可得对称性，化简解析式，根据指数函数的性质可得单调性和值域.

X

【详解】因为/(幻=2二-^的1定义域为R,

2A+1

/(一力=|^=羔=一/(力，即函数/(x)为奇函数,

所以函数“X)的图象关于原点对称，即①正确，②不正确;

2A-12A+l-2,2

因为/。)=----=--------=1-------

2、+12*+12"+1

22

由于、二的单调递减'所以=l--单调递增'故④错误

22

因为2*>1，e(O,2),

即函数/(x)的值域为(-1/)，故③正确，即正确的个数为2个，

故选：B.

【点睛】关键点点睛：理解函数的奇偶性和常见函数单调性简单的判断方式.

10、B

【解析】利用函数奇偶性的定义可判断A、B、C选项中各函数的奇偶性，利用特殊值法可判断D选项中函数的奇偶

性.

【详解】对于A选项，令*%)=堞+%，该函数的定义域为中

/'(-%)=(-JK)2+(-%)=-(JC2-+X)=-fay所以，函数y=+%为奇函数；

对于B选项，令=%z_4,该函数的定义域为R,

ff(-x)=(-x)z-4=xz-4=g(x),所以,函数y=_4为偶函数；

对于C选项，函数y=y的定义域为［0,+8)，则函数y=返为非奇非偶函数；

对于D选项,令Mx)=忱+则Ml)=2,h(-l)=0»ft(-l)MMl)且M-l)M一MD'

所以，函数y=|%+1|为非奇非偶函数.

故选：B.

【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，考查函数奇偶性定义的应用，考查推理能力，属于基础题.

11、B

【解析】丁。为锐角，且tana=7

7^/50Tso

sina-------,cosa

50-50"

回

即sin(夕一a)=

而

.\cos(a—Z?)=^^,即cos(〃一a)=^^

'710')10

3M750M7病—番.

cos/=cos[(〃-a)+a]=cos(4一a)cosa-sin(/?-a)sina=-----------X----------+----------X------------=--------••

105010505

3

cos20=2cos2(3—1=

5

故选B

12、A

【解析】首先根据题意得到过点A(l,2)且与Q4垂直的直线为所求直线，再求直线方程即可.

【详解】由题知：过点A(l,2)且与原点距离最大的直线为过点A(l,2)且与。4垂直的直线.

因为心,=2,故所求直线为y-2=-g(x-l),即x+2y—5=0.

故选：A

【点睛】本题主要考查直线方程的求解，数形结合为解题的关键，属于简单题.

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.)

13、@@

-TT

【解析】根据两角和与差的正弦公式可得到sina+cosau^sin(a+-)结合正弦函数的值域可判断①；根据诱导公

式得到cos［；乃+e］=sinx,再由正弦函数的奇偶性可判断②；举例说明该命题正误可判断③;7T

x=—代入到j=sin

1/)8

55(X7T\

(2x+-n),根据正弦函数的对称性可判断④；*=-：乃代入到y=tan,根据正切函数的对称性可判断⑤.

【详解】对于①，sina+cosa二&sin(a+—)<72<2>故①错误；

对于②，y=cos(m；r+x)=sinx,其为奇函数，故②错误；

对于③，当0£=也、B=工时，a、B是第一象限的角，且a>G，但sina=sinB=Y2,故③错误；

442

715Ji53万

对于④，2=一代入到了=§加(2x+—n)得到sin(2x—F—n)=sin—=-1,故命题④正确；

84842

对于⑤，1=一1代入到了=12呢4］得到1211(F71)=0,故命题⑤正确.

26

故答案为④⑤

【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的化简与求值问题，是综合性题目

14、(x—2>+(y+2)2=1

【解析】在圆C2上任取一点(x,j),则此点关于直线“一y-1=0对称点(j+/,x-1)在圆CB(x++(y—1)2=1

上，所以有(j+1+l)2+(x-1-l)2=1,即(x—2)2+(y+2)2=l,

所以答案为(x—2)2+(y+2)2=l

考点：点关于直线的对称点的求法

点评：本题考查一曲线关于一直线对称的曲线方程的求法：在圆C2上任取一点(x,J),则此点关于直线%-丁-1=0

的对称点(j+Lx-1)在圆G上

15、(3,+oo)

【解析】W=3.8是A的子集，故a>3.

【点睛】本题主要考查集合的研究对象和交集的概念，考查指数不等式的求解方法，考查二次函数的值域等知识.对于

一个集合，首先要确定其研究对象是什么元素，是定义域还是值域，是点还是其它的元素.二次函数的值域主要由开口

方向和对称轴来确定.在解指数或对数不等式时，要注意底数对单调性的影响.

16、(-4,-1]

【解析】由f(x)=O可得a=-x2,求出y=-x2在[1,2)上的值域，则实数a的取值范围可求

【详解】由f(x)=x+：=O,得x2+a=0,即a=—x2

由l〈x<2,得14X2<4，.•.T<—x2<—1

又•.•函数f(x)=x+3(aeR)在[1,2)上存在零点，

X

.•.-4<a<-l

即实数a的取值范围是(-4,-1]

故答案为

【点睛】本题考查函数零点的判定，考查函数值域的求法，是基础题

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

V"

17、(1)〃力=一下；(2)证明见解析.

1+x

【解析】(1)由函数，(力是定义在(-11)上的奇函数，则.r(O)=(),解得〃的值，再根据=解得。的值

从而求得了(X)的解析式;

(2)设-1<百</<1,化简可得/(xj-”%2)<0,然后再利用函数的单调性定义即可得到结果

b

=0,

/(o)=o,1+。2

【详解】解：⑴依题意得/I12：.\-+b

2

5

i+-

4

tz=1,X

•••/(x)

Z?=0,1+x2

\\Xx(x-x)(l-xx

②证明：任取-W，1(6〃尤2)=0一2*许l可2诉l)2

2

V-1<^<x,<1,/.x,-x2<0,1+%]>0,1+%2>0>

由一1<%<超<1知，一，1一百工2>0・

.••/。)一"为2)<0，“冷在(-1,1)上单调递增.

18、(1)a=0.030；A地区样本用户满意度评分低于70分的频率为0.6；3地区样本用户满意度评分低于70分的频

率为025

(2)0.85

【解析】(D由频率和等于1计算可求得。，进而计算低于70分的频率即可得出结果.

(2)由(D可知，记从A地区随机抽取一名用户评分低于70分的事件记为则P(M)=0.6；可以记从3地区

随机抽取一名用户评分低于的事件记为N,则P(N)=0.25,由对立事件的概率公式计算即可得出结果.

【小问1详解】

根据A地区的频率直方图可得

(0.005+0.01+0.015+0.02x2+a)x10—1,解得a-0.030

所以A地区样本用户满意度评分低于70分的频率为(0.01+0.02+0.03)x10=0.6

B地区样本用户满意度评分低于70分的频率为曰=0.25

40

【小问2详解】

根据用样本频率可以估计总体的频率，可以记从A地区随机抽取一名用户评分低于70分的事件记为则

P(M)=0.6；可以记从3地区随机抽取一名用户评分低于的事件记为N,则P(N)=0.25

易知事件必和事件N相互独立，则事件而和事件正相互独立，记事件“至少有一名用户评分满意度等级为“满意”

或“非常满意””为事件C

所以尸(C)=l一尸©=1—P(M)•尸(N)=1—0.6x0.25=0.85

故至少有一名用户评分满意度等级为“满意”或“非常满意”的概率为0.85

19、(1)(-1,0)

(2)(2,+oo)

(3)答案见解析

【解析】(D根据题意条件，分别求解"X)的定义域和解对数不等式即可完成求解；

(2)通过题意条件，找到了(x)和g(X)两函数值域的关系，分别求解出对应的值域，通过分类讨论即可完成求解；

(3)通过题意条件，通过讨论攵的值，分别作出对应的函数图像，借助换元，观察函数图像的交点状况，从而完成求

解.

【小问1详解】

函数””=吆宗，由E〉0,可得T<X<1，即/(x)的定义域为(T1)；

不等式/(另>0,所以

1—x1—X

1g—>0,即为—>1,

l+X1+X

解得-1vxvO,

则原不等式的解为(-1,0)；

【小问2详解】

函数g(x)=2-,(。>0,。X1),

若存在%,/w［0,l),使得/&)=g(%)成立,

则/(X)和g(X)在X€［0,1)上的值域的交集不为空集；

由(1)可知：0<x<l时，

〃x)=lgM=lg(7+f显然单调递减，所以其值域为(3,0］；

若。>1,则g(x)=2-优在［0,1)上单调递减，所以g(x)的值域为(2-a』，

此时只需2-。<0,即。〉2,所以。>2；

若0“<1,则g(x)=2-a*在［0,1)递增,可得g(x)的值域为［1,2-a),

此时［1,2-a)与(7,0］的交集显然为空集，不满足题意；

综上，实数。的范围是(2,+8)；

小问3详解】

由y="〃(x)］—2=0,

得〃［〃(x)］=2,令r=〃(x),则〃⑺=2,

画出心)=|砌+1,"«-8,-1］心+8)的图象'

当ZW(),只有一个一l＜f＜0,对应3个零点,

当0<攵41时，1<Z+1W2,

此时4V—1,-1</2V0,看3=—21,

得在也二1＜%«1&+三个/分别对应一个零点，共3个,

2k

在0＜鼠避二1时，左+1,,,,三个，分别对应1个，1个，3个零点，共5个,

2k

综上所述：当左＞1时，了=〃[〃(叫一2只有1个零点，

当匕。或与1＜鼠1时，y=〃[〃(x)]—2有3个零点，

当0〈鼠Y?时，y=/z[/z(x)]-2有5个零点.

【点睛】方法点睛：对于“存在玉,々w[0/)，使得/(不)=g(9)成立”，需要将其转化成两函数值域的关系，即

两个函数的值域有交集，需根据函数的具体范围进行适时的分类讨论即可.

/3\

20、(1)1(2)(0,1)。12

7「兀兀

[解析K1)由函数奇偶性列出等量关系，求出实数〃的值;(2)对原式进行化简，得到2"-cosx-qvO对XW

263

恒成立，分0＜。＜1和〃＞1两种情况分类讨论，求出实数。的取值范围.

【小问1详解】

由/(X)=/(-X)可得a'+%•=a'x+k-优，

即(优一。7)(々—1)=0对xeR恒成立，可解得:％=1

【小问2详解】

当左=0时，有/(x)=a'+cosx

72

由1+5cosx+a2x+cos2x>(a'+cosx),

即有—cosx+/x+2COS?a?"+2优・cosx+cos2x,且COSXHO

2

77171

故有2优-cosx--<0对xe恒成立，

2163_

①若0<a<l,则显然成立

7IT7T

②若。>1,则函数y=2就一cosx--在xe上单调递增

23_

7T73

故有Nmax=2〃3-COS--------<0,解得：；

,max32N

(3\

综上：实数”的取值范围为(0,1)。1,2^

\)