安徽省太和县民族中学2024届高二数学第二学期期末联考试题含解析

安徽省太和县民族中学2024届高二数学第二学期期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．供电部门对某社区位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为，，，，五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是A．月份人均用电量人数最多的一组有人B．月份人均用电量不低于度的有人C．月份人均用电量为度D．在这位居民中任选位协助收费，选到的居民用电量在一组的概率为2．高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，在甲和乙相邻的条件下，丙和乙也相邻的概率为（）A． B． C． D．3．已知是虚数单位，若复数满足，则的虚部为（）A．-1 B． C．1 D．-34．如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知米，点C位于BD上，则山高AB等于()A．100米 B．米 C．米 D．米5．在的展开式中，的系数等于A．280 B．300 C．210 D．1206．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知的二项展开式中常数项为1120，则实数的值是（）A． B．1 C．或1 D．不确定8．已知集合,,则下图中阴影部分所表示的集合为()A． B． C． D．9．已知全集，集合,，则（）A． B．C． D．10．若，则（）A． B．1 C．0 D．11．一个盒子里有7只好的晶体管、5只坏的晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回，在第一次取到好的条件下，第二次也取到好的概率（）A． B． C． D．12．已知复数的共轭复数为，则（）A．-1 B．1 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．抛物线的准线方程是________.14．设函数，若，则实数的取值范围是______.15．计算：______．16．设函数可导，若，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知复数，，其中，为虚数单位.（1）若复数为纯虚数，求实数的值；（2）在复平面内，若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围.18．（12分）有甲、乙两个游戏项目，要参与游戏，均需每次先付费元（不返还），游戏甲有种结果：可能获得元，可能获得元，可能获得元，这三种情况的概率分别为，，；游戏乙有种结果：可能获得元，可能获得元，这两种情况的概率均为.（1）某人花元参与游戏甲两次，用表示该人参加游戏甲的收益（收益=参与游戏获得钱数-付费钱数），求的概率分布及期望；（2）用表示某人参加次游戏乙的收益，为任意正整数，求证：的期望为.19．（12分）已知关于x的不等式（其中）．（1）当a=4时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．20．（12分）在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.（1）当时，求及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.21．（12分）为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的600名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示：支付方式微信支付宝购物卡现金人数200150150100现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率.（1）求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率；（2）记X为三人中使用支付宝支付的人数，求X的分布列及数学期望.22．（10分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M是的中点，是的中点，点在上，且满足.（1）证明：.（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角最大值的正切值.（3）若平面与平面所成的二面角为，试确定P点的位置.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】根据频率分布直方图知，12月份人均用电量人数最多的一组是[10,20)，有1000×0.04×10=400人，A正确；12月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B正确；12月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C错误；在这1000位居民中任选1位协助收费,用电量在[30,40)一组的频率为0.1，估计所求的概率为，∴D正确.故选C.2、B【解题分析】

记事件甲乙相邻，事件乙丙相邻，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算出和，再利用条件概率公式可计算出所求事件的概率．【题目详解】记事件甲乙相邻，事件乙丙相邻，则事件乙和甲丙都相邻，所求事件为，甲乙相邻，则将甲乙两人捆绑，与其他三位同学形成四个元素，排法种数为，由古典概型的概率公式可得.乙和甲丙都相邻，则将甲乙丙三人捆绑，且乙位置正中间，与其他两位同学形成三个元素，排法种数为，由古典概型的概率公式可得，由条件概率公式可得，故选B.【题目点拨】本题考查条件概率的计算，解这类问题时，要弄清各事件事件的关系，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算相应事件的概率，并灵活利用条件概率公式计算出所求事件的概率，考查计算能力，属于中等题．3、D【解题分析】

利用复数代数形式的乘除运算可得z＝1﹣3i，从而可得答案．【题目详解】,∴复数z的虚部是-3故选：D【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．4、C【解题分析】

设，，中，分别表示，最后表示求解长度.【题目详解】设，中，，，中，，解得：米.故选C.【题目点拨】本题考查了解三角形中有关长度的计算，属于基础题型.5、D【解题分析】

根据二项式定理，把每一项里的系数单独写下来，然后相加，再根据组合数性质，化简求值．【题目详解】解：在的展开式中，项的系数为．故选D．【题目点拨】本题主要考查二项式定理展开以及利用组合数性质进行化简求值．6、C【解题分析】

利用导数研究函数y=的单调性并求得最值，求解方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=1得到f（x）=m或f（x）=．画出函数图象，数形结合得答案．【题目详解】设y=，则y′=，由y′=1，解得x=e，当x∈（1，e）时，y′＞1，函数为增函数，当x∈（e，+∞）时，y′＜1，函数为减函数．∴当x=e时，函数取得极大值也是最大值为f（e）=．方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=1化为[f（x）﹣m][2f（x）+1]=1．解得f（x）=m或f（x）=．如图画出函数图象：可得m的取值范围是（1，）．故答案为：C．【题目点拨】（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性，考查函数图像和性质的综合运用，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理转化能力.(2)本题的解答关键有两点，其一是利用导数准确画出函数的图像，其二是化简得到f（x）=m或f（x）=．7、C【解题分析】

列出二项展开式的通项公式，可知当时为常数项，代入通项公式构造方程求得结果.【题目详解】展开式的通项为：令，解得：，解得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查根据二项展开式指定项的系数求解参数值的问题，属于基础题.8、B【解题分析】分析：根据韦恩图可知阴影部分表示的集合为，首先利用偶次根式满足的条件，求得集合B，根据集合的运算求得结果即可.详解：根据偶次根式有意义，可得，即，解得，即，而题中阴影部分对应的集合为，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在求解的过程中，首先需要明确偶次根式有意义的条件，从而求得集合B，再者应用韦恩图中的阴影部分表示的是，再利用集合的运算法则求得结果.9、B【解题分析】

试题分析：，所以．考点：集合的交集、补集运算．10、D【解题分析】分析：根据题意求各项系数和，直接赋值法令x=-1代入即可得到.详解：已知，根据二项式展开式的通项得到第r+1项是，故当r为奇数时，该项系数为负，故原式令x=-1代入即可得到.故答案为D.点睛：这个题目考查了二项式中系数和的问题，二项式主要考查两种题型，一是考查系数和问题；二是考查特定项系数问题；在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.11、C【解题分析】

第一次取到好的条件下，第二次即：6只好的晶体管、5只坏的晶体管中取到好的概率，计算得到答案.【题目详解】第一次取到好的条件下，第二次即：6只好的晶体管、5只坏的晶体管中取到好的概率故答案选C【题目点拨】本题考查了条件概率，将模型简化是解题的关键，也可以用条件概率公式计算.12、C【解题分析】

根据共轭复数的概念，可得，然后利用复数的乘法、除法法则，可得结果.【题目详解】，，，故选：C【题目点拨】本题考查复数的运算，注意细节，细心计算，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：利用抛物线的准线方程为，可得抛物线的准线方程.详解：因为抛物线的准线方程为，所以抛物线的准线方程为，故答案为.点睛：本题考查抛物线的准线方程和简单性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题.14、【解题分析】

由题意画出图形，结合可得满足的实数m的取值范围．【题目详解】作出函数的图象如图，

由图可知，满足的实数m的取值范围是．

故答案为：．【题目点拨】本题考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15、【解题分析】

将变为，然后利用组合数性质即可计算出所求代数式的值.【题目详解】，.故答案为：.【题目点拨】本题考查组合数的计算，利用组合数的性质进行计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.16、3【解题分析】

根据导数的定义求解.【题目详解】因为，所以，即，故.【题目点拨】本题考查导数的定义.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）.（2）【解题分析】

利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解；

求出，再由复数代数形式的加法运算化简，由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．【题目详解】（1）由，得，又为纯虚数，所以，且，所以.（2），又复数对应的点在第四象限，所以，且，所以的取值范围是.【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于中档题．18、（1）分布列见解析，期望为；（2）见解析．【解题分析】分析：（1）表示该人参加游戏甲的收益，可能取值为，，，，分布列为：（2）用表示某人参加次游戏乙的收益可能取值为，，，…，，…（且），每次独立，获奖的概率为.满足二项分布。详解：（1）则的所有可能取值为，，，，，，，，，，；（2）证明：的所有可能取值为，，，…，，…（且），（且），，，两式相加即得，所以.点睛：（1）离散型随机变量的分布列，根据题意，搞清随机变量的最小值和最大值，其它值随之确定。（2）根据题意，要能判断出是否为二项分布，抓题目的关键词：事件相互独立（放回），每次事件成功的概率相等.（3）二项分布的期望公式，方差19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

本试题主要是考查了绝对值不等式的求解，以及分段函数的表示，和图像以及最值的求解综合运用．（1）利用已知条件，先分析的解集就是绝对值不等式的求解，利用三段论法得到．（2）不等式有解，的最小值为，则，从而得到实数a的取值范围．（Ⅰ）当时，，时，，得时，，得时，，此时不存在∴不等式的解集为（Ⅱ）∵设故，即的最小值为所以有解，则解得，即的取值范围是20、（1），l的极坐标方程为；（2）【解题分析】

（1）先由题意，将代入即可求出；根据题意求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.【题目详解】（1）因为点在曲线上，所以；即，所以，因为直线l过点且与垂直，所以直线的直角坐标方程为，即；因此，其极坐标方程为，即l的极坐标方程为；（2）设，则，，由题意，，所以，故，整理得，因为P在线段OM上，M在C上运动，所以，所以，P点轨迹的极坐标方程为，即.【题目点拨】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.21、（1）55108【解题分析】

（1）根据表格，得出顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率，之后应用互斥事件有一个发生的概率和独立事件同时发生的概率公式求得结果；（2）利用二项分布求得结果.【题目详解】(1)由表格得顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率分别为13设Y为三人中使用微信支付的人数，Z为使用现金支付的人数，事件A为“三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数”，则P(A)=P(Y=3)+P(Y=2)+P(Y=1且Z=0)=（=127(2)由题意可知