2024届河北省衡水市景县梁集中学高二数学第二学期期末监测试题含解析

2024届河北省衡水市景县梁集中学高二数学第二学期期末监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数（为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是（）．A． B． C． D．2．设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、分别是双曲线的左、右焦点，若，则（）A．1或9 B．6 C．9 D．以上都不对3．在上单调递增，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．4．已知球是棱长为1的正方体的外接球，则平面截球所得的截面面积为()A． B． C． D．5．在10个篮球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为A． B． C． D．6．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为()A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.67．已知复数满足，则（）A．1 B． C．2 D．38．已知集合，，则（）A． B． C． D．9．在△ABC中内角A，B，C所对各边分别为，，，且，则角=A．60° B．120° C．30° D．150°10．的值等于（）A．7351 B．7355 C．7513 D．731511．设是定义在上的奇函数，且当时，单调递减，若，则的值()A．恒为负值 B．恒等于零C．恒为正值 D．无法确定正负12．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率是()A．110 B．19 C．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数.为的导函数，若，则实数的值为__________.14．函数在闭区间上的最大值为__________．15．用五种不同的颜色，给图中的（1）（2）（3）（4）的各部分涂色，每部分涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则涂色的方法共有种．16．若随机变量的分布列如表所示，则______.01Pa三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，．（1）当时，求在上的最大值和最小值：（2）若，恒成立，求a的取值范围．18．（12分）已知函数，.（Ⅰ）当时，求的单调区间与极值；（Ⅱ）当时，若函数在上有唯一零点，求的值19．（12分）已知中，三个内角，，所对的边分别为，，，满足.（1）求；（2）若，的面积为，求，的值.20．（12分）数列满足.（Ⅰ）计算，，，并由此猜想通项公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想.21．（12分）已知命题：.（Ⅰ）若为真命题，求实数的取值范围；（Ⅱ）设命题：；若“”为真命题且“”为假命题，求实数的取值范围.22．（10分）已知向量,满足，．(1)求关于k的解析式f(k)．(2)若，求实数k的值．(3)求向量与夹角的最大值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

首先需要根据方程特点构造函数,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数在上的零点个数，再转化成方程解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.【题目详解】因为函数是偶函数，，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当时，，所以方程可以化为：，即，记，，设直线与图像相切时的切点为，则切线方程为，过点，所以或（舍弃），所以切线的斜率为，由图像可以得.选D.【题目点拨】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.属中档题.2、C【解题分析】

根据双曲线的一条渐近线方程为求出，由双曲线的定义求出，判断点在左支上，即求.【题目详解】双曲线的渐近线方程为，又双曲线的一条渐近线方程为，.由双曲线的定义可得，又，或.点在左支上，.故选：.【题目点拨】本题考查双曲线的定义和性质，属于基础题.3、D【解题分析】

利用函数在连续可导且单调递增，可得导函数在大于等于0恒成立即可得到的取值范围．【题目详解】因为函数在连续可导且单调递增，所以在恒成立，分离参数得恒成立，即，故选D．【题目点拨】本题考查函数在区间内单调递增等价于在该区间内恒成立．4、D【解题分析】

根据正方体的特征，求出球的直径和球心O到平面的距离，求出截面圆的半径，即可得到面积.【题目详解】球是棱长为1的正方体的外接球，其体对角线就是球的直径，所以球的半径为，根据正方体的性质O到平面的距离为，所以平面截球所得的截面圆的半径为，所以其面积为.故选：D【题目点拨】此题考查求几何体外接球问题，根据几何特征求出外接球的半径，根据圆心到截面的距离求截面圆的半径，进而求解面积.5、A【解题分析】

正品数比次品数少，包括一正三次和全部是次品两种情况，根据情况写出所有的组合数计算即可.【题目详解】正品数比次品数少，包括一正三次和全部是次品这两种情况为，总数为，所以概率为．选A.【题目点拨】本题考查概率问题，解题的关键是正确的求出所有可能的结果，属于基础题.6、B【解题分析】区间[22,31)内的数据共有4个，总的数据共有11个，所以频率为1．4,故选B．7、B【解题分析】分析：利用复数的除法求出，进而得到.详解：由题故选B.点睛：本题考查复数逇除法运算及复数的模，属基础题.8、B【解题分析】

可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【题目详解】B＝{x|x≤2}；∴A∩B＝{1，2}．故选：B．【题目点拨】本题考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算．9、A【解题分析】分析：利用余弦定理即可。详解：由余弦定理可知，所以。点睛：已知三边关系求角度，用余弦定理。10、D【解题分析】原式等于，故选D.11、A【解题分析】

依据奇函数的性质，在上单调递减，可以判断出在上单调递减，进而根据单调性的定义和奇偶性的定义，即可判断的符号。【题目详解】因为时，单调递减，而且是定义在上的奇函数，所以，在上单调递减，当时，，由减函数的定义可得，，即有，故选A。【题目点拨】本题主要考查函数的奇偶性和单调性应用。12、A【解题分析】

分别计算每个销量对应的利润，选出日利润不少于96元的天数，再利用排列组合公式求解.【题目详解】当x=18时：y=18×5=90当x=19时：y=19×5=95当x=20时：y=19×5+1=96当x=21时：y=19×5+2=97日利润不少于96元共有5天，2天日利润是97元故P=C故答案选A【题目点拨】本题考查了频率直方图，概率的计算，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

通过对原函数求导，代入1即得答案.【题目详解】根据题意，，所以，故.【题目点拨】本题主要考查导函数的运算法则，难度不大.14、3【解题分析】

先求出函数的导数，在闭区间上，利用导数求出函数的极值，然后与进行比较，求出最大值.【题目详解】，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以是函数的极大值点，即，，，所以函数在闭区间上的最大值为3.【题目点拨】本题考查了闭区间上函数的最大值问题.解决此类问题的关键是在闭区间上先利用导数求出极值，然后求端点的函数值，最后进行比较，求出最大值.15、240【解题分析】试题分析：先涂（3）有5种方法，再涂（2）有4种方法，再涂（1）有3种方法，最后涂（4）有4种方法，所以共有5×4×3×4=240种涂色方法．考点：排列、组合.16、【解题分析】

先由分布列，根据概率的性质求出，再求出期望，根据方差的计算公式，即可得出结果.【题目详解】由分布列可得：，解得，所以，因此，所以.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查求离散型随机变量的方差，熟记计算公式即可，属于常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）最大值是，最小值为1．（2）【解题分析】

（1）记的导函数的导数为，分析可得，结合，可得在R上是增函数，再，可得在上是增函数，即得解；（2）分，，三种情况分析的单调性，继而分析的最小值，即得解.【题目详解】（1）为表述简单起见，记的导函数的导数为．当时，，则．，所以在R上是增函数．又，所以当时，，所以在上是增函数．故在上的最大值是，最小值为．（2），．①若，即时，，所以在R上是增函数．又，所以当时，，所以在上是增函数．所以当时，．可见，当，．又是偶函数，所以恒成立．所以符合题意．②若，即时，，所以在R上是减函数．所以当时，，所以在上是减函数．所以当时，．这与恒成立矛盾，所以不符合题意．③当时，．由，得．由的图象，知存在唯一的，使得．当时，．所以在上是减函数．所以当时，，所以在上是减函数．所以当时，．这与恒成立矛盾，所以不符合题意．综上，a的取值范围是．【题目点拨】本题考查了函数与导数综合，考查了二次求导，含参函数的最值，不等式恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.18、（Ⅰ）的单调递增区间是，单调递减区间是.极大值是，无极小值.（Ⅱ）1【解题分析】

（Ⅰ）把代入，令，求出极值点，再求出的单调区间，确定函数的极值；（Ⅱ）函数在上有唯一零点，等价于的极小值等于0，列出等式，可求得t.【题目详解】解：（Ⅰ）当时，，则，令，得，∴的单调递增区间是，单调递减区间是.∴的极大值是，无极小值.（Ⅱ）当时，，由，得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴的极小值是，∴只要，即，令，则，∴在上单调递增.∵，∴的值是1.【题目点拨】本题主要考查利用导函数求增减区间和极值；以及根据函数零点的个数，确定参数的取值，数形结合方法的应用是解决本题的关键.19、(1)(2).【解题分析】分析：（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出A的值；（2）利用余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果.详解：（1）由题意可得：，，，，（2），，，.点睛：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用.20、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.【解题分析】分析：（Ⅰ）计算出，由此猜想.(Ⅱ)利用数学归纳法证明猜想.详解：（Ⅰ），由此猜想；（Ⅱ）证明：当时，，结论成立；假设（，且），结论成立，即，当（，且）时，，即，所以，这就是说,当时，结论成立，根据(1)和(2)可知对任意正整数结论都成立，即.点睛：（1）本题主要考查不完全归纳法和数学归纳法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）数学归纳法证明的关键是证明当n=k+1时命题成立，这时要利用已知和假设.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）若为真命题，结合对数函数的定义域可得，解不等式组求得答案；（Ⅱ）“”为真命题且“”为假命题，则真假或假真，解出命题，对真假和假真两种情况进行讨论，从而得到答案．【题目详解】（Ⅰ）因为，所以可得，所以当命题为真命题时，解得；（Ⅱ）易知命题：.若为真命题且为假命题，则真假或假真，当真假时，，方程组无