江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一上学期12月联合调研数学试题（解析版）

PAGEPAGE1江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一上学期12月联合调研数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域为（）A B.C. D.〖答案〗B〖解析〗要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为.故选：B.2.已知点是第二象限的点，则的终边位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因为点在第二象限，所以，，所以为第二象限角.故选：B.3.已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由弧度制定义，该扇形的半径为，所以该扇形的面积为.故选：B.4.函数的大致图象是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗方法一：因为，即，所以，所以函数定义域为，关于原点对称，又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；当时，，即，因此，故排除A.方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；又，所以排除A.故选：D.5.设，则的大小关系是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为函数在上单调递减，函数在R上单调递增，所以，，即，所以.故选：A.6.神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球.在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用.净化水的过程中，每过滤一次可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤的次数为（）（参考数据：）A.19 B.20 C.21 D.22〖答案〗C〖解析〗设经过次过滤达到要求，原来水中杂质为1，依题意可得，即，所以，所以，又，所以，因为，所以的最小值为，故至少要过滤次．故选：C.7.已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则为正偶数，则，则不等式即，整理得，此不等式等价于或，解之得或，则满足的a的取值范围为，或.故选：D.8.已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗函数的图象有对称轴，定义在R上的偶函数满足，则函数有对称轴，又当时，，在同一坐标系在内作出与的图象，如下：由图象可得，与的图象有4个交点，又与的图象均有对称轴，则两函数所有交点的横坐标之和为4.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗对于A，，故A错误；对于B，根据换底公式正确，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：BC.10.已知，则正确的有（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗依题意，，所以，A选项错误；，B选项正确；，C选项正确；，D选项错误.故选：BC.11.若函数，则下列说法正确的是（）A.若，则为偶函数B.若的定义域为R，则C.若，则的单调增区间为D.若在上单调递减，则〖答案〗ABD〖解析〗时，，定义域是，满足，是偶函数，A正确；定义域为时，，解得，B正确；时，，由得或，增区间是，C错；在上单调递减，由于的对称轴是，且时，，因此有，即，D正确．故选：ABD．12.已知函数的定义域为D，若存在区间，使得同时满足下列条件：①在上是单调函数；②在上的值域是.则称区间为函数的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗依题意，函数存在“倍值区间”，则满足在上是单调函数，且，或，对于A：，在区间上是增函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，A正确；对于B：在区间上是减函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，B正确；对于C：在上单调递减，在上单调递增，假定函数存在倍值区间，若在上单调递增，则，即有，而或，无解，若在上单调递减，则，即，两式相减得，而，则两式相加得，矛盾，不存在倍值区间，C错误；对于D：当时，，函数在上单调递减，于是在上单调递增，且值域为，因此区间是函数的“倍值区间”，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数（且）的图象必过定点__________.〖答案〗〖解析〗因为（且），令，得，，所以（且）的图象必过定点.故〖答案〗为：.14.函数的单调递减区间是___________.〖答案〗（开闭区间均可）〖解析〗由得，又在上递减，在上是增函数，所以的减区间是.故〖答案〗为：（写成开区间也正确）．15.已知正数，满足，则的最大值为_____.〖答案〗〖解析〗正数，满足，则，故，则，当且仅当时等号成立，故，则的最大值为.故〖答案〗为：.16.如果函数在其定义域D内，存在实数使得成立，则称函数为“可拆分函数”.设函数为“可拆分函数”，则实数m的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗根据题意可知，必有，函数的定义域为，则在其定义域内存在实数，使，即，即，所以，则，又，所以，所以，则，即，所以实数m的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.设集合，.（1）当时，求集合；（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.解：（1）当时，集合，集合，所以.（2）若是的必要条件，则，因为，，所以，得到，故实数的取值范围.18.已知．（1）化简，并求的值；（2）若，且，求的值．解：（1）由题意可得：，，所以.（2）因为，则，又因为，则，可得，所以.19.已知函数.（1）若，求实数的值；（2）若，求函数的值域.解：（1），因为，所以，即，解得或，所以或.（2）令，因为，所以，则原函数可化为，，在单调递增，在单调递减，当时，；当时，，所以函数的值域为.20.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比.已知各投资1万元时，两类产品的年收益分别为0.25万元和0.5万元.（1）分别写出两种产品的年收益与投资金额的函数关系式；（2）该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，设投资债券等稳健型产品的金额为万元.如何分配资金才能使投资获得最大年总收益？其最大年总收益是多少万元？解：（1）设投资债券等稳健性产品的年收益为，投资股票等风险型产品的年收益为，由题意得，，，，因为各投资1万元，两类产品的年收益分别为0.25万元和0.5万元，所以，，即，，所以，.（2）因为投资债券等稳健型产品的金额为万元（），则投资股票等风险型产品的金额为万元，设年投资总收益为，则，，令，则，则，，当即时，有最大值，即当投资债券金额为9万元，投资股票金额为1万元时，能获得最大年总收益为万元.21.已知函数.（1）是否存在实数使函数为奇函数；（2）判断并用定义法证明的单调性；（3）在（1）的前提下，若对，不等式恒成立，求的取值范围.解：（1）若上奇函数，则，当时，满足，则是奇函数.（2）是R上的增函数，证明如下：设，则，由可得，，则，则，即，则是R上的增函数.（3）对，不等式恒成立，即恒成立，又是奇函数，则不等式可化为，又是R上的增函数，则恒成立，即恒成立，则恒成立，又，则，，则的取值范围为.22.函数的定义域为R，若存在常数，使得对一切实数x均成立，则称为“圆锥托底型”函数.（1）判断函数，是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由；（2）若是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值；（3）问实数满足什么条件，是“圆锥托底型”函数.解：（1）由题意，当时，恒成立，故是“圆锥托底型”函数；对，考虑时，恒成立，即恒成立，因为，故不存在常数使得对一切实数x均成立，故