专题05诱导公式（6种题型）（原卷版）

专题05诱导公式（6种题型）思维导图核心考点聚焦题型一：给角求值问题题型二：给值(式)求值问题题型三：利用诱导公式化简问题题型四：利用诱导公式化简求值题型五：利用诱导公式证明恒等式题型六：诱导公式的综合应用（），，，这些角都与角有特殊的关系.已知角的正弦、余弦、正切及余切值，能够快速求出上述这些角的正弦、余弦、正切及余切值？这就是诱导公式要解决的问题.由于角（）的终边与角的终边重合，因此由定义有如下诱导公式：，，，（）.由这组诱导公式，求任意角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化为求范围内一个角的相应值.角的终边与角的终边关于周对称，角的终边与单位圆交于点，而角的终边与单位圆交于点.由于点与点关于轴对称，其横坐标相等，而纵坐标互为相反数，因此有如下诱导公式：，，，.由这组诱导公式，求负角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化为求正角的相应值.将角的终边绕着原点按逆时针方向旋转弧度，得到角的终边，这说明角和角的终边在同一条直线上，但方向相反.角的终边与单位圆交于点.由于点与点关于原点对称，其横坐标和纵坐标都互为相反数，因此有如下诱导公式：，，，.由这组诱导公式，求范围内的角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化到范围内一个角的相应值.角的终边与角的终边关于轴对称，角的终边与单位圆交于点，而角的终边与单位圆交于点.由于点与点关于轴对称，其横坐标互为相反数，而纵坐标互相等，因此有如下诱导公式：，，，.由这组诱导公式，求范围内的角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化到范围内一个角的相应值.以上四组诱导公式说明，（），，的正弦、余弦、正切及余切值的绝对值等于角的相应量的绝对值【名称不变】，但这两个值之间可能差一个正负号.由于诱导公式较多，记忆其中的正负号并不容易，但有一个简单的方法可以加以判断，即：当为锐角时，等式两边必须同正或同负.例如，的绝对值应该与的绝对值相等，即成立.但当为锐角时，是第二象限的角【符号看象限】，这时，而，所以前式中应该取负号，即有.角的终边与角关于直线对称，角的终边与单位圆交于点，而角的终边与单位圆交于点.由于点与点关于直线对称，则点的横坐标与点的纵坐标相等，而点的纵坐标与点的横坐标相等，因此有如下诱导公式：，，，.在以上公式中将用代换，就有.同理，有如下诱导公式：，，，.上述两组诱导公式说明正弦和余弦可以相互转化，正切和余切也可以相互转化.以上两组诱导公式说明角的正（余）弦、正（余）切值的绝对值，必等于角的余（正）弦、余（正）切值的绝对值【名称改变】，但这两者可能差一个正负号.这个正负号的确定方法是：当角为锐角时，等式两边必须同正或同负.例如，的绝对值应该同的绝对值相等，即成立.但当为锐角时，是第二象限的角【符号看象限】，这时，而，所以前式中应该取负号，即有.奇变偶不变，符号看象限.例如，及都是的奇数倍，如果等式左边是，的正弦、余弦、正切、余切之一，那么等式右边相应的必定是的余弦、正弦、余切、正切，这就是“奇变”；而（）、、都是的偶数倍，等式两边的正弦、余弦、正切及余切的名称就应该相同，这就是“偶不变”.等式右边角正弦、余弦、正切及余切前的符号可以将视为锐角（实际上此时可以为任意角），由等式左边的角所在的象限的正弦、余弦、正切及余切值的符号来确定，即“符号看象限”.题型一：给角求值问题【例1】求下列各三角函数值：(1)sin1320°；(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))；(3)tan(－945°)．【变式】计算：(1)coseq\f(π,5)＋coseq\f(2π,5)＋coseq\f(3π,5)＋coseq\f(4π,5)；(2)tan10°＋tan170°＋sin1866°－sin(－606°)．题型二：给值(式)求值问题【例2】(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于()A.eq\f(m2－1,2) B.eq\f(m2＋1,2)C.eq\f(1－m2,2) D．－eq\f(m2＋1,2)(2)已知cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．题型三：利用诱导公式化简问题【例3】设k为整数，化简：eq\f(sinkπ－αcos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]coskπ＋α).【变式】．化简：(1)eq\f(tan2π－αsin－2π－αcos6π－α,cosα－πsin5π－α)；(2)eq\f(sin1440°＋α·cos1080°－α,cos－180°－α·sin－α－180°).题型四：利用诱导公式化简求值【例4】(1)已知cos31°＝m，则sin239°tan149°的值是()A.eq\f(1－m2,m) B.eq\r(1－m2)C．－eq\f(1－m2,m) D．－eq\r(1－m2)(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))的值为________．题型五：利用诱导公式证明恒等式【例5】(1)求证：eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2π＋θ).(2)求证：eq\f(cos6π＋θsin－2π－θtan2π－θ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))＝－tanθ.【变式】．求证：eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5π,2)))tan6π－x)＝－1.题型六：诱导公式的综合应用【例6】已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3,2)π))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．【变式】．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－α))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,2)－α))＝eq\f(60,169)，且eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，求sinα与cosα的值．一、填空题1、化简：________2、化简=3、计算__________________4、已知，则的值为5、已知，且是第二象限角，则的值等于_______6、计算：sin585°cos1290°＋cos(－30°)sin210°＋tan135°=7、若，则__________8、若，则9、化简：___________.10、已知角α终边上一点P(－4，3)，则eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin－π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))的值为____________．11、若＝，则的值是________．12．已知cosα＝eq\f(1,5)，且α为第四象限角，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝________.二、选择题13、已知，则（）A．0 B．m C．m D．不确定14、已知，化简：（）A．B．C． D．随k的变化而变化15、已知，则的值是 ()A.B. C.D.16、化简，得（）A．1B． C．D．三、解答题17、已知，（1）求的值；（2）求：的值；18.如图，已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至.求点的坐标.19、已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求：eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))·tan22π－α·tanπ－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))的值20、已知α是第三象限角，且f(