《4.5.1函数零点与方程的解》教学设计、导学案、同步练习

第四章指数函数与对数函数第五节函数的应用（二）《4.5.1函数零点与方程的解》教学设计【教材分析】本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.5.1节《函数零点与方程的解》，由于学生已经学过一元二次方程与二次函数的关系，本节课的内容就是在此基础上的推广。从而建立一般的函数的零点概念，进一步理解零点判定定理及其应用。培养和发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养1、了解函数（结合二次函数）零点的概念；2、理解函数零点与方程的根以及函数图象与x轴交点的关系,掌握零点存在性定理的运用；3、在认识函数零点的过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学数形结合及函数思想；a.数学抽象：函数零点的概念；b.逻辑推理：零点判定定理；c.数学运算：运用零点判定定理确定零点范围；d.直观想象：运用图形判定零点；e.数学建模：运用函数的观点方程的根；【教学重难点】教学重点：零点的概念及存在性的判定；教学难点：零点的确定．【教学过程】教学过程设计意图（一）创设问题情境问题1求下列方程的根．（1）；（2）；（3）；解方程的历史（二）问题探究探究1：观察函数的图象思考：方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0根x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3图象图象与x轴的交点两个交点：(-1,0)(3,0)一个交点：(1,0)没有交点1.方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系?1).方程根的个数和对应函数与x轴交点个数相同.2).方程的根是函数与x轴交点的横坐标.3).若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与x轴无交点.思考：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0方程ax2+bx+c=0(a>0)的根两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1=x2没有实数根函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象函数的图象与x轴的交点两个交点：(x1,0)，(x2,0)一个交点：(x1,0)无交点一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标。若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与x轴无交点。推广到更一般的情况，得：零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.函数的零点是一个点吗？问题1:零点不是一个点，零点指的是一个实数.问题2:试归纳函数零点的等价说法？跟踪训练1．思考辨析(1)所有的函数都有零点．()(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)(x2,0)．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.()2．函数y＝2x－1的零点是()A.eq\f(1,2)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D．2A[由2x－1＝0得x＝eq\f(1,2).]零点存在性定理的探索．问题5：结合图像，试用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否存在零点？观察函数的图象：①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b)___0（“＜”或“＞”）．②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c)___0（“＜”或“＞”）．ccbdaxOy③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d)___0（“＜”或“＞”）．零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c就是方程f(x)=0的根.定理解读思考1:为什么强调“函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象一条不间断的曲线”？如果函数图象不连续，或者y=f(x)不满足f(a)·f(b)<0，那么零点存在性定理还成立吗？例１求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数．分析：可以先借助计算工具画出函数y=lnx+2x-6的图象或列出x，y的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助．解：设函数fx=lnx+2x-6，利用计算工具，列出函数y=fx的对应值表并画出图象由表和图可知，f2<0，f容易证明，函数fx=lnx+2x-6，x∈（０，＋∞）是增函数，所以它只有一个零点，即相应方通过对一元二次方程与二次函数关系的回顾，提出新的问题，提出运用函数求解方程的思路；培养和发展逻辑推理和数学抽象、直观想象的核心素养。通过特殊的二次函数问题的探究，推广一般的方程求解问题的方法，提出零的的概念；发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；通过零点概念的辨析，进一步提出零点判定定理，发展学生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养；三、当堂达标1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点个数是()A．0B．1C．2D．3【答案】C2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)【答案】B[∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)．]3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则()A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解【答案】D[∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．]4．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．【答案】B(－1,0)[∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0<0，,f1>0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b<0，,1＋b>0，))∴－1<b<0.]5．已知函数f(x)＝x2－x－2a.(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2.令f(x)＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2.,即函数f(x)的零点为－1和2.(2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－eq\f(1,8)，所以a的取值范围是a≥－eq\f(1,8).通过练习巩固本节所学知识，巩固对函数零点及判定定理的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。四、小结本节课主要讲了函数零点的概念以及零点存在性定理。方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数在区间内至少有一个零点，即相应的方程在区间内至少有一个实数解．五、作业1.课时练2.预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；《4.5.1函数的零点与方程的解》导学案【学习目标】1、了解函数（结合二次函数）零点的概念；2、理解函数零点与方程的根以及函数图象与x轴交点的关系；3、掌握零点存在性定理的运用．【重点难点】重点：零点的概念及存在性的判定；难点：零点的确定．【知识梳理】1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)__＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(_b)<0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)_＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．【学习过程】问题1求下列方程的根．（1）；（2）；（3）；解方程的历史探究1：观察函数的图象思考：方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0根x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3图象图象与x轴的交点两个交点：(-1,0)(3,0)一个交点：(1,0)没有交点1.方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系?1).方程根的个数和对应函数与x轴交点个数相同.2).方程的根是函数与x轴交点的横坐标.3).若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与x轴无交点.思考：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0方程ax2+bx+c=0(a>0)的根两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1=x2没有实数根函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象函数的图象与x轴的交点两个交点：(x1,0)，(x2,0)一个交点：(x1,0)无交点一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标。若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与x轴无交点。推广到更一般的情况，得：零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.函数的零点是一个点吗？问题1:零点不是一个点，零点指的是一个实数.问题2:试归纳函数零点的等价说法？跟踪训练1．思考辨析(1)所有的函数都有零点．()(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)(x2,0)．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.()2．函数y＝2x－1的零点是()A.eq\f(1,2)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D．2零点存在性定理的探索．问题5：结合图像，试用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否存在零点？观察函数的图象：①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b)___0（“＜”或“＞”）．②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c)___0（“＜”或“＞”）．③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d)___0（“＜”或“＞”）．零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c就是方程f(x)=0的根.定理解读思考1:为什么强调“函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象一条不间断的曲线”？如果函数图象不连续，或者y=f(x)不满足f(a)·f(b)<0，那么零点存在性定理还成立吗？例１求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数．【达标检测】1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点个数是()A．0B．1C．2D．32．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则()A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解4．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．5．已知函数f(x)＝x2－x－2a.(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围.【课堂小结】本节课主要讲了函数零点的概念以及零点存在性定理。方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数在区间内至少有一个零点，即相应的方程在区间内至少有一个实数解．参考答案：一、知识梳理1.f(x)＝0的实数x;2.x轴,零点;3.连续不断,f(a)·f(b)<0,f(c)＝0二、学习过程跟踪训练1．2．A[由2x－1＝0得x＝eq\f(1,2).]思考1例1分析：可以先借助计算工具画出函数y=lnx+2x-6的图象或列出x，y的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助．解：设函数fx=lnx+2x-6，利用计算工具，列出函数并画出图象由表和图可知，f2<0，f3>0

，则容易证明，函数fx=lnx+2x-6

，x∈（０，＋所以它只有一个零点，即相应方lnx+2x-6=0只有一个实数解．三、达标检测1.【答案】C2．【答案】B[∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)．]3．【答案】D[∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．]4．【答案】B(－1,0)[∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0<0，,f1>0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b<0，,1＋b>0，))∴－1<b<0.]5.【答案】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2.令f(x)＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2.,即函数f(x)的零点为－1和2.(2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－eq\f(1,8)，所以a的取值范围是a≥－eq\f(1,8).《4.5.1函数的零点与方程的解》同步练习一基础巩固1.函数y=4x-2的零点是()(A)2 (B)(-2,0) (C)（,0） (D)2.下列图象表示的函数中没有零点的是()3.函数f(x)=lnx+x2+a-1有唯一的零点在区间(1,e)内,则实数a的取值范围是()(A)(-e2,0) (B)(-e2,1)(C)(1,e) (D)(1,e2)4.函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为()(A)[14,12] (B)[18,14](C)[0,15.函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为()(A)0 (B)1 (C)2 (D)36.函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点为-3,则它的另一个零点是()(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)27.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是.

8.关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围.能力提升9.如果关于x的方程2x+1-a=0有实数根,则a的取值范围是()(A)[2,+∞) (B)(-1,2](C)(-2,1] (D)(0,+∞)10.已知函数f(x)是奇函数,且满足f(2-x)=f(x)(x∈R),当0<x≤1时,f(x)=x-12(A)5 (B)6 (C)7 (D)811.已知函数f(x)=|x|,x12.已知函数f(x)=((1)若a=0,x∈[0,4],求f(x)的值域;(2)若f(x)恰有三个零点,求实数a的取值范围.素养达成13.已知函数f(x)=|x(x+3)|,若y=f(x)-x+b有四个零点,求实数b的取值范围是.

4.5.1函数的零点与方程的解答案解析基础巩固1.函数y=4x-2的零点是()(A)2 (B)(-2,0) (C)（,0） (D)【答案】D【解析】令y=4x-2=0,得x=.所以函数y=4x-2的零点为.故选D.2.下列图象表示的函数中没有零点的是()【答案】A【解析】因为B,C,D项函数的图象均与x轴有交点,所以函数均有零点,A项的图象与x轴没有交点,故函数没有零点,故选A.3.函数f(x)=lnx+x2+a-1有唯一的零点在区间(1,e)内,则实数a的取值范围是()(A)(-e2,0) (B)(-e2,1)(C)(1,e) (D)(1,e2)【答案】A【解析】因为f(x)在其定义域内是增函数,且f(x)有唯一的零点在(1,e)内,所以f(1)=a<4.函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为()(A)[14,12] (B)[18,14](C)[0,1【答案】A【解析】因为f(14)=π4+log214<0,f(12)=π所以f(14)·f(12)<0,故函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为[145.函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【答案】C【解析】由题意,函数f(x)的定义域为(0,+∞).由函数零点的定义,f(x)在(0,+∞)内的零点即是方程|x-2|-lnx=0的根.令y1=|x-2|,y2=lnx(x>0),在一个坐标系中画出两个函数的图象.由图得,两个函数图象有两个交点,故方程有两个根,即对应函数有两个零点.6.函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点为-3,则它的另一个零点是()(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2【答案】B【解析】由根与系数的关系得方程f(x)=0的两根x1,x2满足x1+x2=-2a7.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是.

【答案】2【解析】因为a>0,所以a2+1>1.而y=|x2-2x|的图象如图所示,所以y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.即方程|x2-2x|=a2+1(a>0)有两个解.8.关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围.【答案】m的取值范围是(-1913【解析】令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14.依题意得m>0即m>0,26m即m的取值范围是(-1913能力提升9.如果关于x的方程2x+1-a=0有实数根,则a的取值范围是()(A)[2,+∞) (B)(-1,2](C)(-2,1] (D)(0,+∞)【答案】D【解析】由方程2x+1-a=0变形为a=2x+1,因为2x+1>0,所以a>0.10.已知函数f(x)是奇函数,且满足f(2-x)=f(x)(x∈R),当0<x≤1时,f(x)=x-12(A)5 (B)6 (C)7 (D)8【答案】B【解析】法一由x-12=0,解得x=14,所以f(因为f(2-x)=f(x),所以f(14)=f(2-14)=f(因为f(x)是奇函数,f(-14)=-f（1所以f(x)在(-2,2]上零点为-74,-14,0,14法二依题意,作出函数f(x)的图象,如图所示.由图象可知,f(x)的图象在(-2,2]内与x轴的交点有6个.所以f(x)在(-2,2]上的零点有6个.11.已知函数f(x)=|x若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.

【答案】(3,+∞)【解析】作出f(x)的大致图象(图略).当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,所以要使方程f(x)=b有三个不同的根,则4m-m2<m,即m2-3m>0.又m>0,解得m>3.12.已知函数f(x)=((1)若a=0,x∈[0,4],求f(x)的值域;(2)若f(x)恰有三个零点,求实数a的取值范围.【答案】(1)[-1,1](2)a的取值范围是(-∞,0).【解析】(1)若a=0,则f(x)=-当x∈[0,1]时,f(x)=-x2是减函数.所以-1≤f(x)≤0;当x∈(1,4]时,f(x)=x-1是增函数.所以0<f(x)≤1.于是当x∈[0,4]时,f(x)的值域为[-1,1].(2)由(x-2a)(a-x)=0解得x=a或x=2a.由x+a-1=0解得x=(1-a)2.因为f(x)恰有三个零点,所以a≤1,2所以实数a的取值范围是(-∞,0).素养达成13.已知函数f(x)=|x(x+3)|,若y=f(x)-x+b有四个零点,求实数b的取值范围是.

【答案】(-4,-3).【解析】令f(x)-x+b=0,所以b=x-|x(x+3)|,作出y=x-|x(x+3)|的图象,要使函数y=f(x)-x+b有四个零点,则y=x-|x(x+3)|与y=b的图象有四个不同的交点,所以-4<b<-3.《4.5.1函数零点与方程的解》同步练习二一、选择题1．函数的零点所在区间为()A．（0，1） B．（1，2）C．（2，3） D．（3，4）2．函数的零点个数是（）A． B． C． D．3．（2019·全国高一课时练）函数f(x)＝|x|－k有两个零点，则()A.k＝0 B.k>0C.0≤k<1 D.k<04．已知函数f（x）、g（x）：x0123f（x）2031x0123g（x）2103则函数y=f（g（x）的零点是A.0 B.1 C.2 D.35．设函数与的图象的交点为，则所在的区间为()A. B.C. D.6．若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是()A．和 B．和C．和 D．和二、填空题7．已知函数的图象是连续不断的曲线，有如下的与的对应值表：那么，函数在区间上的零点至少有8．设是方程的解，且，则________.9．已知二次函数数的图象与轴有两个交点，且只有一个交点在区间上，则实数的取值范围是__________.10．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是三、解答题11．函数在R上无零点，求实数a的取值范围．12．对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点，已知.(1)若有两个不动点为，求函数的零点；(2)若时，函数没有不动点，求实数的取值范围．4.5.1函数零点与方程的解答案解析一、选择题1．函数的零点所在区间为()A．（0，1） B．（1，2）C．（2，3） D．（3，4）【答案】B【解析】由函数f（x）＝x3+x–5可得f（1）＝1+1–5＝–3<0，f（2）＝8+2–5＝5>0，故有f（1）f（2）<0，根据函数零点的判定定理可得，函数f（x）的零点所在区间为（1，2），故选B．2．函数的零点个数是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】要使函数有意义，则x2﹣4≥0，即x2≥4，x≥2或x≤﹣2．由f（x）＝0得x2﹣4＝0或x2﹣1＝0（不成立舍去）．即x＝2或x＝﹣2，∴函数的零点个数为2个．3．函数f(x)＝|x|－k有两个零点，则()A.k＝0 B.k>0C.0≤k