《三角形的内角（1）》名师教案

.2.1三角形的内角（刘翔）一、教学目标（一）学习目标1.探索并掌握三角形内角和定理．2.学会运用三角形内角和定理．（二）学习重点探索三角形的内角和．（三）学习难点三角形内角和定理的推导、验证过程．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）三角形的内角和等于__________.答案（1）180°2.预习自测（1）在△ABC中，∠A=80°，∠B=52°，则∠C=______.【知识点】三角形的内角和定理【解题过程】因为∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=180°—（∠A+∠B）=48°.【思路点拨】利用三角形的内角和等于180°可得.【答案】48°（2）在△ABC中，∠A=30°，∠B=∠C，则∠B=______.【知识点】三角形的内角和定理【解题过程】因为∠A+∠B+∠C=180°，所以∠B=(180°—30°)÷2=75°【思路点拨】利用三角形的内角和等于180°可得.【答案】75°（3）三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为_______．【知识点】三角形的内角和定理【解题过程】设最小的内角为x，则另两个内角为3x、5x，因为三角形的内角和等于180°，则x+3x+5x=180°，所以x=20°，最大的内角为5x=100°【思路点拨】利用三角形的内角和等于180°可得.【答案】100°（4）在△ABC中，∠A+∠B=5∠C，则∠C=______．【知识点】三角形的内角和定理【解题过程】因为∠A+∠B+∠C=180°，则6∠C=180°，所以∠C=30°.【思路点拨】利用三角形的内角和等于180°可得.【答案】30°(二)课堂设计1.知识回顾（1）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形．（2）构成三角形的元素：（1）三个顶点；（2）三条边；（3）三个内角．（3）三角形按角可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．2.问题探究探究一三角形内角和定理．★▲●活动①整合旧知，探究三角形的内角和.问题1：三角形王国里3个家族都说自己的内角和大，如果你是法官会怎么宣判呢？学生活动：一样大.问题2：为什么？学生活动：因为三角形三个内角的和等于180°.问题3：回顾我们小学做过的实验，你是怎样得到这个结论的?学生活动：度量法和剪拼法.可是，度量往往有误差，让人很难完全信服；形状不同的三角形有无数个，不可能一一剪拼，因此，需要用推理的方法证明三角形三个内角的和一定等于180°.【设计意图】通过回顾小学得出三角形的内角和的方法，让学生明白证明一个结论的正确性必须进行推理论证.●活动=2\*GB3②集思广益，证明三角形的内角和定理小组活动：把三角形纸片的两个角剪下，和第三个角拼在一起，拼成一个平角，有几种不同的拼法？你能由拼图得到启示吗？图(1)由图(1)你能想到证明三角形内角和等于180°的方法吗?已知△ABC，求证:∠A+∠B+∠C=180°.证明:过点A作MN∥CB，则∠B=∠MAB,∠C=∠NAC.又∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°,∴∠BAC+∠B+∠C=180°.即：三角形的内角和等于180°.图2图3由图2、图3你又能想到什么证明方法?请说说证明过程.学生交流.教师活动：也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线，这样也可证出定理．证明：如图，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F.∴∠BDF＝∠C(两直线平行，同位角相等)．∠EDF＝∠DEC(两直线平行，内错角相等)∠EDC＝∠B(两直线平行，同位角相等)．∠A＝∠DEC(两直线平行，同位角相等)∴∠EDF＝∠A(等量代换)．∵∠BDF＋∠EDF＋∠EDC＝180°(1平角＝180°)，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°(等量代换)．讨论：1．一个三角形中能有两个直角吗？2．一个三角形中能有两个钝角吗？3．三个内角都能小于60°吗？学生活动：1.不能，2.不能，3.不能.【设计意图】鼓励学生独立自主解决问题，让学生初步感受通过动手操作来掌握几何知识的相关定理，培养学生合作学习，降低知识学习难度，培养多元化思维，让学生体验数学活动充满探索.探究二运用三角形内角和定理.●活动①三角形内角和定理教师活动：1．通过前面的探究，我们知道三角形三个内角的关系：三角形的内角和等于180°．2．求一个角的度数的方法：将所求角设法转化到三角形中，利用三角形的内角和等于180°来解题.例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数.DCDCAB【知识点】角平分线的定义，三角形内角和定理【解题过程】∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠BAC=×40°=20°在△ABD中，∠ADB=180°－∠B－∠BAD=180°-75°-20°=85°【思路点拨】由角平分线的定义可知∠DAB=20°，利用三角形的内角和可得∠ADB.【答案】85°练习：（2015•绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A．118°B．119°C．120°D．121°【知识点】角平分线的定义，三角形内角和定理【解题过程】∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=∠BCA，∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，【思路点拨】由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得结果．【答案】C【设计意图】通过练习，掌握三角形的内角和定理.●活动②三角形内角和定理的应用例2如图，从A处观测处时仰角∠CAD=30°，从B处观测C处时仰角∠CBD=45°，从C处测量A、B两处时视角∠ACB是多少?【知识点】三角形内角和定理【解题过程】在中，∴在中,；∴∴答:C处测量A、B两处时视角∠ACB是15°.【思路点拨】由三角形内角和定理得∠ACD=60°，∠BCD=45°；再利用两角之差得∠ACB是15°.【答案】15°练习：如图，，，求.【知识点】三角形内角和定理【解题过程】∵∴在中，∴在中，∴又∵∴∴【思路点拨】由三角形内角和定理得∠CAD=25°，∠1=45°；再利用两角之和得∠BAC=70°.【答案】70°【设计意图】通过练习，掌握三角形的内角和定理.●活动③三角形内角和定理的综合应用例3如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?【知识点】平行线的性质、三角形内角和定理【解题过程】方法一：由题意可知∠BAC＝80°﹣50°＝30°∵AD∥BE∴∠DAB﹢∠ABE＝180°∴∠ABE＝180°－∠DAB＝180°－80°＝100°∴∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE＝100°﹣40°＝60°在△ABC中，∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝180°－30°－60°＝90°答：从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.方法二：过点C作CF∥AD∴∠1＝∠DAC＝50°,∵CF∥AD,又AD∥BE∴CF∥BE∴∠2＝∠CBE＝40°∴∠ACB＝∠1﹢∠2＝50°﹢40°＝90°答：从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.【思路点拨】利用平行线的性质和三角形内角和定理得∠ACB是90°.【答案】90°练习：如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数.【知识点】三角形内角和定理【解题过程】如图,∵AD∥BE∴∴在中,∴【思路点拨】利用平行线的性质和三角形内角和定理得∠C是85°.【答案】85°【设计意图】通过利用三角形内角和定理来解决实际问题，使学生养成说理的思维习惯，培养逻辑论证能力.例4如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，请你探索∠O与∠A的数量关系．【知识点】三角形内角和定理【解题过程】解：∠O=90°+∠A理由：在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A=180°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A在△BOC中，∠1+∠2+∠O=180°∴∠1+∠2=180°-∠O∵BO和CO是△ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2∴∠ABC+∠ACB=2(∠1+∠2)=2(180°-∠O)∴180°-∠A=2(180°-∠O)∴∠O=90°+∠A【思路点拨】利用角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠O=90°+∠A.【答案】∠O=90°+∠A练习：在△ABC中，已知∠A=55°，高BD、CE交于点O，且点O不与点B、C重合，求∠BOC的度数.【知识点】三角形内角和定理【数学思想】分类讨论思想【解题过程】(1)若△ABC是锐角三角形，如图所示.因为CE，BD是△ABC的两条高，所以∠CEB=90°，∠BDA=90°(三角形的高的定义).所以∠A=180°－90°－∠ABO=90°－∠ABO(三角形的内角和定理)，∠EOB=180°－90°－∠ABO=90°－∠ABO(三角形的内角和定理).所以∠A=∠EOB(等量代换).又∠EOB+∠BOC=180°(邻补角定义)，所以∠A+∠BOC=180°(等量代换).又∠A=55°(已知)，所以∠BOC=180°－∠A=180°－55°=125°.(2)若△ABC是钝角三角形，如图所示.因为∠BDA=90°，∠BEO=90°，所以∠BOC=180°－90°－∠EBO=90°－∠EBO(三角形的内角和定理)，∠A=180°－90°－∠ABD=90°－∠ABD(三角形的内角和定理).又∠ABD=∠EBO(对顶角相等)，∠A=55°(已知)，所以∠BOC=∠A=55°(等量代换).【思路点拨】分两种情况：△ABC是锐角三角形或钝角三角形；再利用三角形内角和定理进行角的换算可得∠BOC度数.【答案】125°或55°【设计意图】知识的综合与拓展提高，能培养学生分析、解决问题的能力及创新能力.3.课堂总结知识梳理（1）三角形三个内角的关系：三角形的内角和等于180°．（2）已知三角形两个内角，利用三角形内角和定理求第三角，或已知各角之间的关系，利用三角形内角和定理可求各角.（3）任何三角形中至少有两个锐角，最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角.重难点归纳（1）三角形的内角和等于180°．（2）求一个角的度数的方法：将所求角设法转化到三角形中，利用三角形的内角和等于180°来解题.（3）求一个角的度数的技巧：适当地设出未知数，利用方程思想来解题．（4）在解决实际问题时，三角形的内角和等于180°是不会在已知中告诉你的，也就是往往要把它作为隐含的条件来用，因此在解决此类问题时应该牢记.（三）课后作业基础型自主突破1．亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看下图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论:“三角形的三个内角和等于_____________.”【知识点】三角形的内角和定理【解题过程】三个角相加等于一个平角180゜.【思路点拨】三个内角组成一个平角.【答案】180゜2．（2015•滨州）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:4:5，则∠C等于（）A．45°B．60°C．75°D．90°【知识点】三角形的内角和定理【解题过程】解：180°×==75°即∠C等于75°．【思路点拨】首先根据∠A:∠B:∠C=3:4:5，求出∠C的度数占三角形的内角和的几分之几；然后根据分数乘法的意义，用180°乘以∠C的度数占三角形的内角和的分率，求出∠C等于多少度即可．【答案】C．3．已知在△ABC中，∠C=∠A+∠B，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【知识点】三角形的内角和定理【解题过程】解：∵在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，解得∠C=90°，∴△ABC是直角三角形．故选：C．【思路点拨】据在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°可求出∠C的度数，进而得出结论．【答案】C4．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．【知识点】三角形的内角和定理，平行线的性质．【解题过程】如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．【思路点拨】根据三角形三内角之和等于180°求解．【答案】75°．5．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．【知识点】三角形的内角和定理【解题过程】解：由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°，∴180°﹣100°﹣50°=30°.【思路点拨】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．【答案】30°6.在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B=度．【知识点】三角形的内角和定理【解题过程】解：∵∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，∴∠A+∠C=2∠B，又∵∠A+∠C+∠B=180°，∴3∠B=180°，∴∠B=60°．【思路点拨】先整理得到∠A+∠C=2∠B，再利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．【答案】60.能力型师生共研7．（2016·黑龙江大庆）如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC=．【知识点】三角形内角和定理．【解题过程】解：∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，∴有∠CBD=∠ABD=∠ABC，∠BCD=∠ACD=∠ACB，∵∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°，∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=70°，∴∠BDC=180﹣70°=110°.【思路点拨】由D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB=70°，再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数．【答案】110°8．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°【知识点】三角形的内角和定理【解题过程】解：如图，∵∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，∴∠1+∠2=150°﹣∠3，又∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．故选：B．【思路点拨】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【答案】B．探究型多维突破9．如图，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE的度数.【知识点】三角形的高、角平分线的定义、三角形内角和定理【解题过程】由题可知∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－75°－45°=60°.由AE平分∠BAC，可得∠BAE=∠EAC=∠BAC=30°.解法一:在△ABD中，因为∠ADB=90°，则∠BAD=90°－∠B=90°－75°=15°所以∠DAE=∠BAE－∠BAD=30°－15°=15°，解法二:在△ABC中，因为∠ADC=90°，则∠DAC=90°－∠C=90°－45°=45°.所以∠DAE=∠DAC－∠EAC=45°－30°=15°.【思路点拨】由图知∠DAE是△ADE的一个内角，可利用三角形的内角和为180°来求解，此时需求出∠AEB；∠DAE还等于∠BAE－∠BAD=∠DAC－∠CAE，利用这些结论解题都可以.这说明求一个角的度数，除了可用角的和差来求解外，还往往利用三角形的内角和定理进行转化.【答案】15°.10．（2016·四川内江）问题引入：(1)如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝____________(用α表示)；如图②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝____________(用α表示)．拓展研究：(2)如图③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)，并说明理由．OOCBA图②ABCO图①OCBAED图③【知识点】三角形的内角和定理【解题过程】解：(1)第一个空填：90°＋；第二个空填：120°＋．第一空的过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝90°＋．第二空的过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝120°＋．(2)答案：120°－．过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠DBC＋∠ECB)＝180°－(180°＋∠A)＝120°－．【思路点拨】（1）如图①，根据角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=90°+；如图②，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°+；(2)如图③，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°-；【答案】(1)第一个空填：90°＋；第二个空填：120°＋(2)120°－.自助餐1．在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【知识点】三角形的内角和定理【解题过程】∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−20°−60°=100°∴△ABC是钝角三角形.故选D.【思路点拨】根据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形状．【答案】D.2．已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A=()A.

40°B.

60°C.

80°D.

90°【知识点】三角形的内角和定理【解题过程】∵∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，∴∠B=2∠A，∠C=∠A+20°，∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A+2∠A+∠A+20°=180°，∴∠A=40°，故选A.【思路点拨】根据已知得出∠B=2∠A，∠C=∠A+20°，代入∠A+∠B+∠C=180°得出方程∠A+2∠A+∠A+20°=180°，求出即可．【答案】A.3．如图，∠1+∠2+∠3+∠4=_________.A.140°B.240°C.280°D.320°【知识点】三角形的内角和定理【解题过程】∵三角形的一个内角等于40°，∴∠1+∠2=∠3+∠4=180°−40°=140°∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°.故选C．【思路点拨】分别根据三角形内角和定理求出∠1+∠2，∠3+∠4的度数，进而可得出结论．【答案】C.4．如图，若AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，∠EFD的平分线与EP相交于点P，且∠BEP=40°，则∠EPF=_________.【知识点】三角形的内角和定理【解题过程】因为∠BEP=40°，EP⊥EF，所以∠BEF=130°，因为AB∥CD，根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可得∠BEF+∠EFD=180°，因此∠EFD=50°.又因为EP平分∠EFD，所以∠EFP=25°.由于△EFP是直角三角形，故∠EPF=180°-90°－∠EFP=90°－25°=65°【思路点拨】本题关键是根据平行线的性质求出∠EFP，然后利用直角三角形中两锐角互余计算出∠EPF的大小.【答案】65°.5.已知三角形的第一个角是第二个角的1.5倍，第三个角比这两个角的和大30°，求这三个角的度数.【知识点】三角形的内角和定理【解题过程】设这个三角形的第二个角为x°，则第一个角为(1.5x)°，第三个角为(x+1.5x+30)°，由三角形的内角和等于180°可列方程x+1.5x+(x+1.5x+30)=180解得x=30.所以1.5x=45，x+1.5x+30=105所以这个三角形的三个内角分别为30°、45°和105°.【思路点拨】这类题一般先用代数式表示每一个角，再列方程求解，用代数方程的方法解决几何问题是常见的方法.本题告诉了三角形中三个角之间的关系，可列方程求解.【答案】三个内角分别为30°、45°和105°.6.(1)如图(1)，所示的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D;(2)如图(2)，AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，AD与BC交于O点，AP与BC