数学-福建省三明市第一中学2024届高三上学期月考二（12月）试题和答案

第1页/共4页三明一中2023-2024学年高三月考二数学学科试卷 2A.1-2iB.1+2iC.2-iA.2B.3C.4D.6x2+5的展开式中，常数项为()A.10B.20C.40D.804.已知l，m是两条不同的直线，a，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()B.若m」β,a」β,则m//aC.若l//m，l」a，m」β,则a//βD.若a//β,且l与a所成的角和m与β所成的角相等，则l//m5.2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有()A.1120B.7200C.8640D.144006.一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A，“第2次拿出的是白球”为事件B，则P(B∣A)=()A.B.C.D.7.已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若PF1=3PF2，则双曲线的离心率为()第2页/共4页A.3B.C.D.28.已知函数f(x)=ex-1-e1-x+x3-3x2+3x，若实数x,y满足f(x2)+f(2y2-1)=2，则x的最大值为()A.B.C.D.2444题目要求.全部选对的得5分，部分选对的9.某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分成绩的频率分布直方图如图所示，则()A.频率分布直方图中a的值为0.005B.估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75C.估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为22510.已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于点A,B两点（点A在第一象限与抛物线的准线交于点D，若AB=8，则以下结论正确的是()A.p=B.AF=6C.BD=2BFD.F为AD中点11.红、黄、蓝被称为三原色，选取其中任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色，已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，乙再从余下四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行等量调配，A表示事件“甲调配出红色”；B表示事件“甲调配出绿色”；C表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是()A.事件A与事件C是独立事件B.事件A与事件B是互斥事件第3页/共4页neN*).则下列结论中正确的是()n{an+1-an}是等比数列Ca14<a16<a15.13.已知M(1,2)是角C终边上的一点，则sin2C=.14.已知圆锥的侧面积为2π,它的侧面展开图为一扇形，扇形顶角的大小为π,则该圆锥体积为.15.设点P(x,y)是圆：(x-3)2+y2=4上的动点，定点A(0,2)，B(0,-2)，则+的取值范围为.______且二面角A-BC-P的正切值为3，则三棱锥A-A1C1P的外接球的体积为.17.记ΔABC的角A,B,C的对（1）求A；18.已知函数f(x)=ex+1，若函数y=f(x)的图象上任意一点P关于原点对称的点Q都在函数g(x)的图象上.（1）求函数g(x)的解析式；（2）若存在xe[0,1)，使f(x)+g(x)之m成立，求实数m的取值范围.19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三第4页/共4页角形，PC=,M在PC上，且PA∥平面MBD.（1）求证：M是PC的中点.（2）在PA上是否存在点F，使二面角F-BD-M为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20.中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的瑰宝，中国象棋使用方形格状棋盘，圆形棋子共有32个，红黑各有16个棋子，摆动和活动在交叉点上．双方交替行棋，先把对方的将（帅）将死的一方获胜，为丰富学生课余生活，现某中学举办象棋比赛，经过3轮的筛选，最后剩下甲乙丙三人进行最终决赛．甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙与甲，乙比赛获胜的概率都（1）如果甲与乙采用5局3胜制比赛（其中一人胜3局即结束比赛那么甲胜乙的概率是多少；（2）若第一轮甲与乙比赛，丙轮空；第二轮由丙与第一轮的胜者比赛，败者轮空；第三轮由第二轮比赛的胜者与第二轮比赛的轮空者比赛，如此继续下去（每轮都只比赛一局先胜两局者获得冠军，每场比赛相互独立且每场比赛没有平局，求乙获得冠军的概率.(-c,0),F2(c,0)，离心率为，点椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点D(-3,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，记‘ABF1的面积为S，求S的最大值.22.设数列{an}的前n项之积为Tn，满足2an+Tn=l(neN+).（1）设bn=1+，求数列{bn}的通项公式bn；第1页/共20页三明一中2023-2024学年高三月考二数学学科试卷 2A.1-2iB.1+2iC.2-i【答案】B【解析】【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.故选：B.A.2B.3C.4D.6【答案】A【解析】【分析】运用向量的共线定理求解.【详解】解：因为//，所以=λ，λ=R，第2页/共20页故选：A.x2+5的展开式中，常数项为()A.10B.20C.40D.80【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得二项展开式的通项为Tr+1=2r.Cx10一5r，进而求得展开式的常数项，得到答案.25展开式的通项为+1=C(x2)5r.()r=2r.Cx10一5r，225展开式的常数项为40.故选：C.4.已知l，m是两条不同的直线，a，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()B.若m」β,a」β,则m//aC.若l//m，l」a，m」β,则a//βD.若a//β,且l与a所成的角和m与β所成的角相等，则l//m【答案】C【解析】【分析】利用线面的位置关系，结合空间想象即可得解.【详解】若a」β,l一a，m一β,则l与m有可能平行，故A错误；若m」β,a」β,则m可能在a内，故B错误；若l//m，l」a，则m」a，又m」β,则a//β,故C正确；若a//β,且l与a所成的角和m与β所成的角相等，则l与m有可能相交，故D错误.故选：C.5.2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有()第3页/共20页A.1120B.7200C.8640D.14400【答案】B【解析】【分析】相邻问题用捆绑法看成一个整体，丙不排在两端可先排好其他人后再排丙.【详解】甲与乙相邻有A种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有A种不同的排法，再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有C种不同的排法，所以共有AAC=7200种不同的排法.故选：B.6.一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A，“第2次拿出的是白球”为事件B，则P(B∣A)=()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据条件概率结合古典概型计算求解即可.由条件概率公式可得5故选：D.=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若PF1=3PF2，则双曲线的离心率为()A.3B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】设过F2与双曲线的一条渐近线y=x平行的直线交双曲线于点P，运用双曲线的定义和条件可第4页/共20页|=2c，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值.【详解】设过F2与双曲线的一条渐近线y=x平行的直线交双曲线于点P，b可得F2P=b可得a 2a2c，2a在三角形PF1F2中，由余弦定理可得：|PF22F2P，即有9a2=a2+4c22ax2cx，化简可得c2=3a2，故选：C.8.已知函数f(x)=ex一1e1x最大值为()A.BCD【答案】C【解析】(1,1)，且R上在单调递增，再结合对称性和单调性将f(x2)+f(2y2一1)=2转化为x2+2y基本不等式求解x的最大值.3，3，33且y=ex1单调递增，y=ex11第5页/共20页+2y2则g(x)与h(x)都关于(1,0)中心对称且为R上的增函数,所以f(x)+f(2-x)=g(x)+h(x)+1+g(2-x)+h(2-x)+1=2，故f(x)关于(1,1)中心对称且为R上增函数，则由f(x2)+f(2y2-1)=2，得x2+2y2-1=2，可得x2则A22222,8 22 22，即故x的最大值为.故选：C.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是求得f(x)的对称中心，从而得到x，y的关系，进而利用基本不等式求解最值.题目要求.全部选对的得5分，部分选对的9.某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分成绩的频率分布直方图如图所示，则()A.频率分布直方图中a的值为0.005B.估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75C.估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为225【答案】AD第6页/共20页【解析】【分析】先根据频率之和为1可得a=0.005，进而可求每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断即可.前三个矩形的面积和为10x(2a+3a+7a)=0.6，所以这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为80，故B错误；由成绩的频率分布直方图易知，这40名学生的竞赛成绩的众数为75，故C错误；总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为3ax10x1500=225，故D正确.故选：AD10.已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于点A,B两点（点A在第一象限与抛物线的准线交于点D，若AB=8，则以下结论正确的是()A.p=B.AF=6C.BD=2BFD.F为AD中点【答案】BCD【解析】【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.【详解】如下图所示：分别过点A,B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E、M.抛物线C的准线m交x轴于点P，则PF=p，由于直线l的斜率为，其倾斜角为60。，第7页/共20页：AE//x轴，:经EAF=60。，由抛物线的定义可知，AE=AF，则ΔAEF为等边三角形，:AF=EF=2PF=2p=6，得p=3，A选项错误；故选：BCD11.红、黄、蓝被称为三原色，选取其中任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色，已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，乙再从余下四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行等量调配，A表示事件“甲调配出红色”；B表示事件“甲调配出绿色”；C表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是()A.事件A与事件C是独立事件B.事件A与事件B是互斥事件【答案】BCD【解析】【分析】分别求得P(A),P(C)，由P(AC)士P(A)P(C)可知A错误；由互斥事件可知B正确；由条件概率公式知C正确；计算P(B),P(C)后，可知D正确.【详解】对于A，：调配出红色需要两瓶红色颜料，调配出紫色需要一瓶红色和一瓶蓝色颜料，第8页/共20页对于B，：调配出红色需要两瓶红色颜料，调配出绿色需要一瓶黄色和一瓶蓝色颜料，:事件A与事件B不可能同时发生，:事件A与事件B为互斥事件，B正确；:P(B)=P(C)，D正确.故选：BCD.ne**).则下列结论中正确的是()n{an+1-an}是等比数列C.a14<a16<a15D.a15<a16<a14【答案】ABD【解析】【分析】由递推公式得通项公式结合函数的单调性、等比数列的求和公式计算即可一一判定选项.所以{an+1-an}是以1为首项，-为公比的等比数列.n-2，n-1牵an=1-n-1，(n>2,neN*)，n-1，n-1=n-1e(0,1]牵ane0,，且{an}单调递增，n-1=-n-1e-,0牵ane,1，且{an}单调递减，第9页/共20页对于B项，由上可知an+2-an+1=-an+1-an)=an+1-an，显然{an+1-an}是以1为首项，为等比的等比数列，即B正确；2对于C对于C、D选项，由A可知a15故选：ABD314，故C错误，D正确.13.已知M(1,2)是角a终边上的一点，则sin2a=.4545【解析】##0.8【分析】根据任意角三角函数的定义以及二倍角的正弦公式求解.【详解】因为M(1,2)是角a的终边上一点，414.已知圆锥的侧面积为2π,它的侧面展开图为一扇形，扇形顶角的大小为π,则该圆锥体积为.【答案】【解析】【分析】设出圆锥的底面半径和母线，列出方程组，求出底面半径和母线，进而求出圆锥的高，得到体积.第10页/共20页---------所以ll2-r2=，故圆锥的体积为故答案为：15.设点P(x,y)是圆：(x-3)2+y2=4上的动点，定点A(0,2)，------的取值范围为.______【解析】---------------【分析】易得PA+PB=2PO=2PO，求出PO的范围即可得解.---------------【详解】由题意原点O(0,0)为线段AB的中点，所以点O(0,0)在圆外，POOC------------POOC------------------PO------------且二面角A-BC-P的正切值为3，则三棱锥A-A1C1P的外接球的体积为.第11页/共20页【答案】【解析】【分析】根据题意，由条件可得PNM是二面角ABCP的平面角，再将三棱锥AA1C1P补为长方体，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，再由球的体积公式，即可得到结果.【详解】如图，作PM//AA1，交AB于M，则PMAA13，过M作MNBC交BC于点N，连接PN.因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，则AA1平面ABC，且PM//AA1，则PM平面ABC，且BC平面ABC，所以PMBC，又MNBC，PMMNM，PM,MN平面PMN，所以BC平面PMN，PN平面PMN，所以PNBC，则PNM是二面角ABCP的平面角，所以tanPNM3，所以MN1，又ABAC3，BC6，所以MB，所以AM2，A1P2.可把三棱锥AA1C1P补成棱长为3，2，3的长方体，则三棱锥AA1C1P的外接球的半径为R，22第12页/共20页所以三棱锥A-A1C1P的外接球的体积为π3=.故答案为：17.记‘ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c，且=.（1）求A；（2）3【解析】 π 6【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；（2）先利用正弦定理求出a,c，再根据二倍角公式和商数关系结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】sinC-sinAsinBc-ab sinC-sinAsinBc-ab c-bc+ac-bc+a2bc2bc2【小问2详解】；bsinCsinBc=sinBsinBsinsinBsinB2sinB2sinB22sinB第13页/共20页21tan2B 4tanB BB2(B|||tan(B|||tan2 +4(,18.已知函数f(x)=ex+1，若函数y=f(x)的图象上任意一点P关于原点对称的点Q都在函数g(x)的图象上.（1）求函数g(x)的解析式；（2）若存在xe[0,1)，使f(x)+g(x)>m成立，求实数m的取值范围.2)【解析】【分析】（1）根据已知，利用点的对称性代入函数的解析式进行求解.（2）利用导数研究函数F(x)=f(x)+g(x)的单调性，再求出函数F(x)=f(x)+g(x)的范围即可得解.【小问1详解】设Q(x,y)为g(x)图象上任意一点，则P(一x,一y)是点Q关于原点的对称点，因为P(x,y)在f(x)的图象上，所以y=ex+1，【小问2详解】第14页/共20页设F(x)=ex+1-e-x+1，则F,(x)=ex+1+e-x+1，所以F(x)<F(1)=e2-1，可得m<e2-1.19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，PC=，M在PC上，且PA∥平面MBD.（1）求证：M是PC的中点.（2）在PA上是否存在点F，使二面角F-BD-M为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC交BD于点E，连接ME，根据线面平行的性质定理证明即可得结论；（2）建立空间直角坐标系，设=λ,利用空间坐标运算计算平面MBD与平面FBD的法向量，根据二面角大小列方程求解λ的值即可得结论.【小问1详解】连接AC交BD于点E，连接ME，∵ABCD是矩形，∴E是AC中点.又PA∥平面MBD，且ME是平面PAC与平面MDB的交线，【小问2详解】第15页/共20页取AD中点O，则OA，OE，OP两两垂直.以O为原点，建立空间直角坐标系（如图假设存在点F满足要求，设=λ,则由=得F(1-λ,0,λ)，设平面MBD的法向量为=(x,y,z)，(2)同理，平面FBD的一个法向量为=(|(λ,-λ,，故存在F，使二面角F-BD-M为直角，此时=.20.中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的瑰宝，中国象棋使用方形格状棋盘，圆形棋子共有32个，红黑各有16个棋子，摆动和活动在交叉点上．双方交替行棋，先把对方的将（帅）将死的一方获胜，为丰富学生课余生活，现某中学举办象棋比赛，经过3轮的筛选，最后剩下甲乙丙三人进行最终决赛．甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙与甲，乙比赛获胜的概率都（1）如果甲与乙采用5局3胜制比赛（其中一人胜3局即结束比赛那么甲胜乙的概率是多少；（2）若第一轮甲与乙比赛，丙轮空；第二轮由丙与第一轮的胜者比赛，败者轮空；第三轮由第二轮比赛的第16页/共20页胜者与第二轮比赛的轮空者比赛，如此继续下去（每轮都只比赛一局先胜两局者获得冠军，每场比赛相互独立且每场比赛没有平局，求乙获得冠军的概率.【解析】【分析】（1）依题意，分别求比三局、四局、五局甲获胜的概率，由此能求出甲获胜的概率.（2）分第一轮乙胜、第一轮甲胜分别计算出概率即可.【小问1详解】答：甲