3年级上册数学奥数讲义 第11讲 等差数列求和（教师版）

第11讲等差数列求和

三年级秋季

一、等差数列公式

末项=首项+（项数-I）X公差,

首项=末项项数-I）X公差.

公差=（末项-首项）十（项数-1），

项数=（末项-首项）÷公差+1.

二、等差数列求和公式

1.等差数列求和公式：和=（首项+末项）X项数÷2,即Sft="χ（q+q）+2.

2.对于一个项数为奇数的等差数列：和=中间数X项数.

课堂内外

著名的数学家高斯在9岁那一年用很短的时间计算出小学老师布置的任务：对自然数1到IOO的求

和.同时得到结果：5050,那么他是怎么算的呢？

M京课堂例题

一、等差数列求和

1、计算：(1)3+6+9+12+15+18+21+24+27+30；

(2)41+37+33+29+25+21+17+13+9+5+1.

【答案L

(1)165(2)231

【解析】

（1）方法一:

3÷6+9+12+15+18+21+24+27+30

=(3+30)+(6+27)+(9+24)+(12+21)+(15+18)

=33+33+33+33+33

=33?5

=165

方法二：根据等差.数列求和公式，得和=(首项+末项)x项数+2=(3+30)x10+2=165.

(2)方法一：

r41+37+33+29+25+21+17+13+9+5+1

=(41+1)+(37+5)+(33+9)+(29+13)+(25+17)+21

=42+42+42+42+42+21

=42?521

=231.

方法二：根据等差数列求和公式，得和=(首项+末项)x项数+2=(1+41)x11+2=231.

方法三：和=中间项？项数21?11231.

2、计算：(1)5+11+17+L+77+83;

(2)193+187+181+L+103.

【答案】

(1)616(2)2368

【解析】

(1)数列的首项是5,末项是83,后一项比前一项大11-5=6,所以公差是6.根据项数公,式，得，

项数=(末项-首项)÷公差+l=(83-5)÷6+l=13+l=14.根据等差数列求和公式，得

和=(5+83)xl4÷2=616.

⑵数列的首项是193,末项是103,且每一项都比前一项小193-187=6.根据项数公式，得是

项数=(末项-首项)÷公差+l=(193-103)÷6+l=15+l=16.根据等差数列求和公式，得

和=(193+103)xl6÷2=2368.

3、计算下列各题：

⑴⅛⅛4⅜hM⅛6；

共10项

⑵ɪɪ峰型体助他鞋辑48.

共13项

【答案】

(1)390(2)2041

【解析】

⑴末项为12+(10-1)x6=66,所以12418+24+...=(12+66)χl0÷2=390.

-JtioS-

(2)末项为193-(13-1)x6=121,193+187+181+...=(193+121)×13÷2=2041.

--

4、计算：1+2+3+...+9+10+9+...+3+2+1.

【答案】

100

【解析】

1+2+3+...+9+10+9+...+3+2+1=(1+2+3+...+9)×2+10=(l+9)×9+10=100.

二、等差数列求和应用题

5、墨莫读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把

书读完.请问：墨莫一共读了多少天？这本课外书共有多少页？

【答案】

8天；204页

【解析】

墨莫第一天读了15页，最后一天读了36页，那么最后一天比第一天多读了36-15=21页.由于墨莫每天

都比前一天多读3页，因此从第一天到最后一天,读书的页数共增加了21÷3=7次,最后一天就是第8天.读

到最后一天时，墨莫刚好把书读完，因此书的总页数就是墨莫这8天所读的页数之和.根据等差数列求和

公式，得和=(36+15)χ8÷2=204,所以这本书共有204页.

6、小华把一些珠子放在桌子上的15个盒子里.己知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差数

歹∣J,并且从左数第8个盒子中有24颗珠子.请问：这15个盒子中一共有多少颗珠子？

【答案】

360

【解.析】

项数为15的等差数列，中间项为第8项，所以这15个盒子中一共有24x15=360颗珠子.

7、墨莫为了减肥开始长跑，他第一天跑了600米，以后每天他都比前一天多跑40米，那么前30天里他

一共跑了多少米？

【答案】

35400

【解析】

墨莫最后一天跑了600+(30-1)X40=1760米，所以前30天里他一共跑了(600+1760)×30÷2=35400米.

三、通过和反求

8、小明从1开始计算若干连续自然数的和，他因为把其中一个数多加了一遍，得到了一个错误的结果2007

,.小刚也从1开始计算若干连续自然数的和，他因为漏加了其中的一个自然数，也得到了错误结果2007.请

问被重复计算和漏算的两个数之和是多少？

【答案】

63

【解析】

设首项为1,公差为1的等差数列末项为%则前"项和为(l+")x"+2.(l+")x"÷2=2007,估算可知，

1+2+3+...+62=1953,1+2+3+...+63=2016.所以被重复计算的数为2007—1953=54,被漏掉的数为

2016-2∞7=9,两数之和为54+9=63.

9、一个等差数列一共有11项，公差为12,若已知这个等差数列的和为2200,求在这个数列中最大的数

为多少？

【答案】

260

【解析】

这个数列首项与末项和为2200x2÷ll=400,首项与.末项相差(II-I)X12=120,所以末项为

(400+120)÷2=260.

随堂练习

［：6+11+16+21+26+31+36+41+46.

【答案】

234

【解析】

6+11+16+21+26+31+36+41+46=(6+46)x9+2=234.

2、计算：l∞+92+84+...+12.

【答案】

672

【解析】

项数为(IOO-12)+8+1=12,所以100+92+84+...+12=(100+12)χl2÷2=672.

3、计算：10+13+16+....

Jlaa项

【答案】

318

【解析】

末项为10+(12-1)x3=43,所以10+J2+16+...=(l()+43)*12÷2=318.

―-

4、暑假里，小高练习游泳，第一天他游了200米，以后每一天都比前一天多游50米，最后一天游了600

米.请问：小高这些天里一共游了多少米？

【答案】

3600

【解析】

小高每天游的距离成公差为50的等差数列，第一天和最后一天差(600-200)÷50=8个公差，所以小高游

了8+1=9天，游了(200+600)x9÷2=3600米.

Mr课后作业

1、If•算：1+2+3+4+5+6+7+8=________________.

【答案】

36

【解析】

1+2+3+4+5+6+7+8=(l+8)×8÷2=36.

2、计算：70+67+64+61+58+55+52+49=.

【答案】

476

【解析】

70+67+64+61+58+55+52+49=（70+49）×8÷2=476.

3、计算：11+18+25+...+102=.

【答案】

791

【解析】

项数为（102-ll）÷7+1=14,11+18+25+...+102≈（ll+I02）×l4÷2=791.

4、计算：5+8+11+14+...=.

--

【答案】

1550

【解析】

末项为5+（31-1）x3=95,所以5+8+3+14+...=（5+95）x31÷2=1550.

共31项

5、一个等差数列的首项是21,从第二项起每一项都比前一项大2,它的前20项之和是

【答案】

800

【解析】

第20项为21+（20-1）x2=59,所以前20项之和是（21+59）x20+2=800.

6、馋嘴猴特别爱吃香蕉，它每周吃的香蕉数量成等差数列，己知它第5周吃了18根香蕉.馋嘴猴前9周

一共吃了根香蕉.

【答案】

162

【解析】

项数为9的等差数列中间项为第5项，所以馋嘴猴前9周一共吃了18x9=162根香蕉.

7、馋嘴猴特别爱吃香蕉，第一周吃了10根香蕉，从第二周开始每周都比前一周多吃2根香蕉.馋嘴猴最

后一周吃了50根香蕉，那么它一共吃了根香蕉.

【答案】

630

【解析】

馋嘴猴吃了（50-10）÷2+l=21周，所以共吃了（10+50）x21÷2=630根香蕉.

8,阿呆和阿瓜同一天开始看书，阿呆第一天看了10页，以后每天多看2页.阿瓜第一天看了33页，以

后每天少看3页.10天后，看得页数多的人比看得页数少的人多.看页.

【答案】

5

【解析】

阿呆每天看的页.数为首项为10,公差为2,项数为10的等差数列,所以阿呆最后一天看了10+2x9=28页，

共看了（10+28）χl0÷2=1