金陵中学2022-2023学年第一学期期末考试(高二数学)含解析

金陵中学2022-2023学年第一学期期末考试

高二数学试卷

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，包含单项选择题（第1题〜第8题）、多项选择题（第9题〜第12题）

填空题（第13题〜第16题）、解答题（第17题〜第22题）四部分。本试卷满分150分，

考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡上交。

2.考生在作答时必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位

置作答一律无效。

一'单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

1.已知直线/i：ax+2y=0与直线/2:2x+（2a+2>+1=0垂直，则实数a的值为

A.-2B.-2C.1D.1或一2

3

2.已知圆锥的轴截面是斜边为23的直角三角形，则该圆锥的体积为

A.&B.笠8兀C.5D.3贴兀

32

3.已知人x）=/（2023）lnx—则八2023）=

2

A.0B.-2023C.1D.2023

4.曲线y=lnx-2在x=l处的切线的倾斜角为a,则sin2a的值为

X

A.4B.一4C.3D.

5555

5.已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为门，尸2（片〈及），若两圆的一条公切线的方

程为>=也。+3）,则虫=

4n

A.4B.2C.5D.3

34

1

6.已知点P是抛物线N=2y上的一点，在点尸处的切线恰好过点(0,—1),则点尸到抛物

2

线焦点的距离为

A.1B.1C.3D.2

22

7.已知数列仅“｝为等差数列，首项为1,公差为2,数列｛儿｝为等比数列，首项为1,公比

为2,设。“=%，。为数列｛以｝的前"项和，则当4<2023时，"的最大值为

A.8B.9C.10D.1

8.在某次数学节上，甲、乙、丙、丁四位同学分别写下了一个命题:

甲：In3<d31n2；乙：1皿〈一；丙：2而<12；丁：3eln2>4/.

所写为真命题的是

A.甲和丙B.甲和乙C.丙和丁D.甲和丁

二'多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对

得2分，不选或有选错的得。分.

9.设(l+2x)i°=ao+aix+azx2_|--Paiox10,则下列说法正确的是

A.俏=1B.。1+。2+…+aio=3i°-1

C.展开式中二项式系数最大的项是第5项D.z=9m

10.已知在正四面体/BCD中，E、F、G、77分别是棱48,BC,CD,的中点，则

A.EF//平面ACDB.ACLBD

C.4B_L平面下G//

B

11.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把科1（立二1七0.618）称为黄金数.离心率

22

等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线E:二一/=1（。>0）的左、右顶点

12.已知定义域为R的函数人x）=x4—x2+°x+l,则

A.存在实数0,使函数於）的图象是轴对称图形

B.存在实数°,使函数｛x）为单调函数

C.对任意实数a,函数加）都存在最小值

D.对任意实数a,函数次x）都存在两条过原点的切线

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13.某学校派出5名优秀教师去边远地区的4所中学进行教学交流，每所中学至少派1名

教师，则不同的分配方法种数为.

14.已知椭圆E:二+且=1（°>6>0）的右焦点为尸2,左顶点为4,若£上的点P满足PEax

a2b1

轴，sin/B4i尸2=3,则E的离心率为.

5

15.函数加）=/—N—x—a仅有一个零点，则实数a的取值范围是

16.如下图所示：一个正三角形被分成四个全等的小正三角形，将其中间小正三角形挖去

如图(1)；再将剩余的每一个正三角形都分成四个全等的小正三角形，并将中间的小正三角

形挖去，得到图(2)……如此继续下去，设原正三角形边长为4,则第5张图中被挖掉的所有

正三角形面积的和为.

/A噩AA

图1图2图3

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

已知数列｛。“｝中，ai,。2,03,…，。6成等差数列，as，°6,a7,…成等比数列，ai=-10,

。6=2.

(1)求数列｛念｝的通项公式；

(2)记数列｛为｝的前〃项和为S“，若a>0,求"的最小值.

18.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=—lnx(。GR)

x

(1)讨论人x)的极值；

(2)求於)在［Le］上的最大值g(a).

e

19.(本小题满分12分)

已知S.是数列｛斯｝的前〃项和，且ai=l,数歹!]｛2｝是公差为1的等差数列.

Qn2

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)记数列｛23｝的前n项和为T,,,是否存在实数f使得数列｛计｝成等差数列，若存在,

2”

求出实数/的值；若不存在，说明理由.

20.(本小题满分12分)

△N8C中，内角N,B,C所对应的边分别为a,b,c,且满足sinC+cosC=也，(1-

cos/)6=acosB.

(1)判断△45。的形状；

(2)若点。在5C上且助=3cZ),点尸与点4在直线5C同侧，SBCLDP,BC=2PD,

求cosZACP.

21.(本小题满分12分)

设椭圆E:2+且=l(a>6>0)的左、右焦点分别为尸i(—c,0),F2(C,0),离心率为也，

a2b13

若椭圆E上的点到直线入=且的最小距离为3—3.

C

(1)求椭圆E的方程；

⑵过B作直线交椭圆E于4,3两点，设直线/尸2,8尸2与直线/分别交于C，。两点，线

段的中点分别为M,N,。为坐标原点，若M,O,N三点共线，求直线4g的方

程.

22.(本小题满分12分)

函数兀v)=ln(x+l)-ax,g(x)=l—e1.

(1)讨论函数｛x)的单调性；

(2)若｛x)2g(x)在xd[0,+8)上恒成立，求实数。的取值范围.

金陵中学2022-2023学年第一学期期末考试

高二数学试卷

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，包含单项选择题(第1题〜第8题)、多项选择题(第9题〜第12题)

填空题(第13题〜第16题)、解答题(第17题〜第22题)四部分。本试卷满分150分，

考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡上交。

2.考生在作答时必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位

置作答一律无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

1.已知直线/i：ax+2y=0与直线/2：2x+(2a+2»+l=0垂直，则实数a的值为

A.-2B.-2C.1D.1或一2

3

【答案】B

【解析】：直线/i：ax+2y=0与直线/2：2x+(2a+2)y+l=0垂直，：.aX2+2X(2a+2)=0,

求得a=-2，故选:B.

3

2.已知圆锥的轴截面是斜边为23的直角三角形，则该圆锥的体积为

A.0B.时短C.他无D.3韵兀

32

【答案】C

【解析】因圆锥的轴截面是斜边为23的直角三角形，则该圆锥的轴截面是等腰直角三角

形，其底面圆半径为出，高为他，所以该圆锥的体积为忆=1兀乂«3)2义3=贴无，故选:C

3

3.已知人x)=/(2023)lnx—lr2+x,则八2023)=

2

A.0B.-2023C.1D.2023

【答案】B

【解析】求导得八x)=®2"-x+l,所以八2023)=侬-一2023+1,解得八2023)=一

x2023

2023,故选:B

1

4.曲线歹=lnx—2在x=l处的切线的倾斜角为a,则sin2a的值为

X

A.4B.一4c.3D.-3

5555

【答案】c

【解析】依题意，V=l+2,所以tana=l+2=3,所以sin2a=2sina._=_2tana_=3,

xx*211sin2a+cos2a1+tan2a5

故选:C.

5.已知圆心均在X轴上的两圆外切，半径分别为心，尸2（门〈尸2）,若两圆的一条公切线的方

程为＞=也。+3）,则立=

4n

A.4B.2C.£D.3

34

【答案】B

【解析】方法一：设圆C1：（X—。）2+歹2=用圆。2：（工一6）2+产=不，n

其中一3＜。＜小两圆的公切线方程为x—2仍》+3=0,则n=\、

|0+3]=*,力=步+3|=*,两圆外切，则QG^'2）

11+（2也＞3#+（2五）23

=6—〃=/1+井2="+3+'+3,化简得b=2〃+3,b+3=2a+6,即井2=2门，・,•在=2,故选:

33n

B

方法二：几何法

6.已知点尸是抛物线，=29上的一点，在点。处的切线恰好过点（0,-1）,则点尸到抛物

2

线焦点的距离为

A.1B.1C.3D.2

22

【答案】B

【解析】抛物线方程为歹=%2,V=X，设切点尸坐标为（配，次），，切线斜率为左=回，又切

2

=

线过点（0,—1）,.*/°-^2A：o,.*.lxo+l=xo,xo=±l.yo=l.即P（l,1）或尸（一1,1）,抛

22xo2222

物线标准方程为N=2y,2=1,.J点到焦点的距离为1+2=1+1=1.故选:B.

2222

2

7.已知数列｛斯｝为等差数列，首项为1,公差为2,数列也“｝为等比数列，首项为1,公比

为2,设C"=°j乙为数列匕"｝的前〃项和，则当7“<2023时，〃的最大值为

A.8B.9C.10D.1

【答案】B

【解析】依题意得:。"=1+2(”-1)=2"—1,b”=2'「i,=2-2"一i—1,则数列｛以｝

为递增数列，其前〃项和7,„=(21-1)+(22-1)+(23-1)+-+(2«-1)

=(2'+22H------卜2")—〃=2(1_2")_〃=2"+1—2—〃,

1-2

当〃=9时，T“=1013<2023,当“=10时，T“=2036>2023,"的最大值为9,故选:B.

8.在某次数学节上，甲、乙、丙、丁四位同学分别写下了一个命题：

甲：ln3<Y31n2；乙：lnn<\R；丙：2后<12；T：3eln2>4也.

所写为真命题的是

A.甲和丙B.甲和乙C.丙和丁D.甲和丁

【答案】A

【解析】In3<31n2,21n^3<^31n2,»<也，

32

令心)=匝，次x)在(0,e)上增；(e,+8)上减，.•贝3)</(2),甲正确；

X

lnn<、叵叵近而乙错.

对于丙，2而<12,'T21n2<lnl2=21nV12,ln2<lnV12>ln4<WH,而4>^12>e,

2V124A/12

•,m4)<4\12),丙正确.

对于丁，3eln2>4y/2,eln8>2*,eln皿>a,叵卤>叽，

皿e

而市>e,所以故丁错；综上，答案选A.

3

二'多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对

得2分，不选或有选错的得。分.

9.设(1+2工)1。=00+。/+。〃2_|---\-a\oxw,则下列说法正确的是

A.B.。1+。2+…+aio=3i°—1

C.展开式中二项式系数最大的项是第5项D.z=9ai

【答案】ABD

【解析】对于A.令x=0得ao=l,故/正确；

对于B.令x=1得00+01+02+…+aio=3i°,

而由N知:ao=l,因此ai+a2H---Faio=310—1,故B正确；

对于C.因为(1+2x)1。的展开式中二项式系数最大的项是第6项，故C不正确；

rr122

对于D.因为(1+2x)1°的展开式中，Tr+i=2C[ox,所以7'2=2Ciftr=20x,713=2CIW=180x,

因此ai=20,<22=180,所以02=9ai,故。正确.

10.已知在正四面体ABCD中，E、F、G、X分别是棱/£BC,CD,4D的中点，则

A.跳7/平面ACDB.AC±BD

C.4B_L平面尸G8D.E、F、G、〃四点共面

【答案】ABD

【解析】把正四面体48c放到正方体里，画图为：

对于N项，：£、/分别为5C的中点，

C.EFHAC,又平面ACD且ERZ平面ACD,

，£尸//平面/CD,故A正确；

对于B项，从正方体的角度上看易得故B正确.对于D项，；E、

F、G、〃分别是棱48,BC,CD,4D的中点，EF//AC且EFqAC,GHHAC旦GH=1AC,

22

所以EF〃GH,EF=GH,所以四边形所G〃是平行四边形，故£、F、G、〃四点共面，所

以D正确.对于C项，若/2_L平面FG8成立，即48_L平面所G8,

又因为TTEu平面EFG”,所以N3L77E,又因为E、，分别为N8,4D的中点，

所以EH//BD,所以4B_LAD,而△/2D为等边三角形，与48_LAD矛盾，所以C不正确.故

选:ABD

4

11.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把好二!（由二1七0.618）称为黄金数.离心率

22

等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线屈芷一产=15>0）的左、右顶点

a2

分别为小，A2,虚轴的上端点为丛左焦点为尸，离心率为6,则

A.a2e=lB.AzBFB=0

D.的外接圆的面积为社卫兀

C.顶点到渐近线的距离为e

4

【答案】ABD

【解析】由题意知山臼=或土L。2=小—1,♦・・02=4+1,・・.层6

a222

=ac=l,A正确.

A2(a,0),5(0,b),F(-c,0),A2B=(<-a,b),FB=(c,b),：.A亦FB

=b2—ac=Q,B正确.

对于C,顶点到渐近线距离1=/1^=曲=4=1,C错.

\la2+b2cce

对于。，△也必为直角三角形，且/也夕尸=90°,A2F^a+c,

a222

/\AzFB外接球面积S=n-（+（c）=5（«+c+2ac）=；D正确.

244

故选：ABD.

12.已知定义域为R的函数大；0=/一/+办+1,则

A.存在实数0,使函数人x）的图象是轴对称图形

B.存在实数°,使函数人对为单调函数

C.对任意实数a,函数人x）都存在最小值

D.对任意实数0,函数於）都存在两条过原点的切线

【答案】ACD

5

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13.某学校派出5名优秀教师去边远地区的4所中学进行教学交流，每所中学至少派1名

教师，则不同的分配方法种数为.

【答案】240

14.已知椭圆E:犹+讲=1。＞6＞0）的右焦点为尸2,左顶点为4,若E上的点P满足

轴，sin/E4i尸2=3,则E的离心率为.

5

【答案】~

4

N

【解析】•「sinNHi尸2=3,tanZ7^4iF2=^,.,.tanNB4i尸2=Q=3,即4/+3e—1=0,

54—4

4-

15.函数人为=%3—x2—X—4仅有一个零点，则实数4的取值范围是.

【答案】（-8,—i）u（_L,+°°）

27

【解析】由题意可得:函数於）=/一/—%—Q,

所以F（x）=3x2—2x—1,令八%）＞0,则x＞l或xV—l,

3

令八%）＜0,则一所以函数的单调增区间为（一8，—1）和（1，+oo）,减区间为（一1,

333

1）,所以当x=-1时函数有极大值，八一［）=*—Q,

3327

当％=1时函数有极小值，火1）=-Q—1,因为函数外）=/一工2一工一。仅有一个零点，所以

八-1）=£—。＜0或火1）=—1＞0,解得或—1.所以实数。的取值范围是（一

32727

8,-1）U（A,+8）,故答案为：（一8,-1）U（A,+8）

2727

6

16.如下图所示：一个正三角形被分成四个全等的小正三角形，将其中间小正三角形挖去

如图(1);再将剩余的每一个正三角形都分成四个全等的小正三角形，并将中间的小正三角

形挖去，得到图(2)……如此继续下去，设原正三角形边长为4,则第5张图中被挖掉的所有

正三角形面积的和为.

/A矗AA

图1图2图3

【答案】78途

256

【解析】设第〃次挖去的正三角形个数为斯，对应的每一个正三角形面积为治,

所以第n次挖去的正三角形总面积为an-bn,

由题知,01=1,02=3,…a”=3a“-1，即｛“”｝为等比数列,公比为3,首项为1,

所以a“=3"-i；

设原正三角形的面积为S,由于原正三角形边长为4,故S=1X4X4X/=43.

22

由题知,bi=lS,b2=Lbi,…,b〃=Lbn_i,即｛为｝为等比数列，公比为L首项为bi=3,

4444

所以〃-I所以斯也=3・(3厂1,

44

由于斯+i・为+1=3,故｛斯也｝为等比数列，所以｛斯也｝的前〃项和为

an'bn4

3[1—(3)"]「2

T„=4=4^3[1-(3)"],

1-34

4

所以当〃=5时，图中被挖掉的所有正三角形面积的和为T5=4同一再]=鹭旦

4256

故答案为:7813.

256

7

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

已知数列｛斯｝中，a\,。2,的，…，46成等差数列，。5，。6，。7，…成等比数列，42=-10,

。6=2.

⑴求数列｛斯｝的通项公式；

(2)记数列｛斯｝的前〃项和为若S〃>0,求〃的最小值.

解：(1)当时，设｛劣｝公差为力."=施—42=3,

4

=

an­10+3(〃-2)=3〃-16,..........................2分

而。5=—1,46=2,工〃25时，设｛为｝公比为g，q=—2,

：.此时an=~1•(_2)〃-5=—(-2)〃-5,4分

.3n—16,

5分

_(—2)"一5,7/^7,

(2)显然〃>7,

.•.S.=(-13+2>6+—4[1—(2)"-6]=_乂_4+生(_2)"-6=_项+生(_2)，厂6.……8分

21—(—2)3333

A-103+4,(­2)H-6>0,则7为偶数,(一2)〃-6>项，〃一626,心12,

334

：.n的最小值为12.......................10分

8

18.(本小题满分12分)

已知函数於)=^~a_—\wc(a£R)

x

(1)讨论4)的极值；

(2)求加)在［1,e］上的最大值g(a).

e

解：(1)定义域(0,+°°)>f(x)=a~x

①aWO时，八x)<0成立，所以兀0在(0,+8)上递减，所以兀0无极值；.....2分

②a>0时，当x>a时，/(x)<0,当0<x<a时，f(x)>0,

所以於)在(0,0)上单增，(°,+8)单减，所以外)的极大值为八a)=—ln〃，无极小值；

............................5分

(2)aWl时，〃)在［1,e］单减，所以加)max=/(l)=2—ea；...............7分

eee

L<a<e时，〃)在［1,a］上单增，［a,e］上递减，所以")max=/(a)=-1皿；........9分

ee

时，於)在［Le］单增，所以於)max=/(e)=一生..............11分

ee

――,

e

—Ina,-<tz<e

综上:g(a)=e12分

2~ea9一

■e

【注：每一段都要说明单调性，不说明扣1分】

9

19.(本小题满分12分)

已知凡是数列｛斯｝的前〃项和，且ai=l,数歹!]｛2｝是公差为1的等差数列.

Qn2

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)记数列｛23｝的前n项和为T,,,是否存在实数f使得数列｛计｝成等差数列，若存在,

2”

求出实数/的值；若不存在，说明理由.

解:(1)因为负=1,数列｛邑｝是公差为1的等差数列，

a\an2

则丛=]+(〃_..............2分

an22

因此a=〃+1斯,

2

当2时，S1=@即_1,则有斯=s〃-S〃_1=但±D斯一生/〃-1,

222

因此(九一1)念=板〃-1,即州=d1,数列｛眩｝是常数列，有知=久=1,

nn~\nn1

所以数列｛飙｝的通项公式斯=〃...............5分

方法二：因为反=1,数列｛丛｝是公差为1的等差数列,

a\an2

an22

因此s〃="+i斯,

2

当〃三2时，Sn_l=@“_1,则有斯=s〃一斯一

222

因此(九一1)斯=〃。〃_1,即私=斯-1,即=^,

nn—1an-in-1

当2时，0_=2,0_=a_,an—n

1。22an_\n-1

所以q_=几，所以斯=〃，又因为防=1满足，

a\

所以数列｛或｝的通项公式an=n.............................5分

【不检验几=1扣1分】

10

(2)由⑴知,2«a„=n-2n,

则7；=1X21+2X22+3X234------P〃X2",

于是得27〃=1X22+2X23+3X24H----FnX2«+1,

两式相减得：一T“=21+22+23H-----F20—〃X2"+i=2X匕2一〃X2"+i=(l-")2"+i—2,

1-2

因此M=(〃_l)2"+i+2,............................9分

有7+/=注,乃+/=♦+/,T3±t=34±t!若数歹！］｛直±1｝成等差数列，则2X10+，=出

2244882"42

+34+〃解得,=-2,............................11分

8

当t——2时，2=2〃一2,则£±1二2-Zk二2=[2(〃+1)_2]_(2〃_2)=2,从而数列｛ZktI｝

2〃2〃+12”2〃

成等差数列，

所以存在f=-2,使得数列｛7也｝成等差数列.............12分

2〃

【注：直接根据4±=2"-2+拉得t=-2没有任何证明扣2分】

2〃2n

11

20.(本小题满分12分)

△/BC中，内角/,B,C所对应的边分别为a,b,c,且满足sinC+cosC=也，(1-

COS/)6=QCOSB.

(1)判断△45C的形状；

(2)若点。在上且&)=3C。，点P与点4在直线3c同侧，_BBCLDP,BC=2PD,

求cosN/C尸.

解:(1)因为sinC+cosC=也，所以/$吊(。+匹)=/，所以sin(C+&)=1.

44

又因为0<C<兀，所以C=2L............................2分

4

在△A8C中，由正弦定理，-=—2二得，4=而必，

siih4sinBbsin5

又因为(1—cosA)b=acosB,所以(1—cos4)sin5=sin24cos5,

所以sinB=sirUcos5+cos^sinS=sin(^+5).

又因为4+5+。=兀，所以sin(^4+5)=sin(7i-C)—sinC,

所以sin5=sinC.............................4分

因为C=四，所以4=%

442

所以△NBC的形状是等腰直角三角形...............6分

(2)因为△NBC的形状是等腰直角三角形，

所以不妨设NC=/B=2也左，BC=4k.

因为BD=3CZ>,BC=2PD,所以C®=左，PD=2k.

在直角△CPD中，tan/PCD=F2=2,............................8分

CD

所以tan/PG4=tan(NPCZ>—/>C8)=tan/PCZ)—tan//C5=2—1=]......................10分

1+tanZPCDtanZACB1+23

因为tan/PG4=sin/PC/=1,sin2ZPC4+cos2ZPC4=1,

cosZPCA3

所以cos/NC尸.............12分

10

12

21.(本小题满分12分)

设椭圆£：W+，=l(a>b>0)的左、右焦点分别为尸i(—c,0),F2(C,0),离心率为也,

6Z2b13

若椭圆E上的点到直线入=且的最小距离为3—3.

(1)求椭圆E的方程；

⑵过B作直线交椭圆E于4,3两点，设直线/B，8尸2与直线/分别交于C，。两点，线

段C£>的中点分别为M,N,。为坐标原点，若M,O,N三点共线，求直线4g的方

程.

a3

解：(1)由题意知.《一a=3—43,

C

t/2=^2_|_c2

・,・椭圆E的方程为^!+V=l.3分

32

(2)设直线45方程为:工=叼-1,A(x\,y\),5(x2,/)，M(xo,/)，Ng,”)，0)

7=1,

联立，32消去x并整理得，(2加2+3)产一4〃沙一4=0,

x=my—1,

2

yo=yi±y2=2m,xo=2m_1=~3；;.〃(T,2m),........................5分

22m2+32m2+32m2+32m2+32m2+3

止方程:尸W(x—l),，C(3,2yi),同理。(3,),...............................7分

Xl—1Xl—1X2—1

.•.jw=yi+V2=乃+>2=2"沙口，2—2。1+0)

xi—