2023-2024学年上海市静安区高二年级上册期中数学质量检测模拟试题（含答案）

2023-2024学年上海市静安区高二上学期期中数学质量检测

模拟试题

一、填空题(3x12=36)

1.用集合符号表示直线/在平面。上____

2.直线/过点尸(L2)且倾斜角为三，则直线/的方程为.

3.若球的半径为1,则球的体积是.

4.过点P(—1,3)且垂直于直线x—2y+3=0的直线方程是.

5.若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形.则圆锥的侧面积是.

11

6.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且版+刃与互相垂直，则左的值是.

7.如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有

条.

8.设正四面体的棱长为1,则该正四面体的高为,

9.如图，在三棱柱中，D,E,尸分别为48,AC,44的中点，设三棱锥F-4OE

体积为匕，三棱柱的体积为匕，则匕：/=

10.若方=(1,-2,0%/=(2,1,0),反=(1,1,3),则三棱锥0—N8C的体积为.

11.在三棱锥P-N8C中，底面/8C,。是PC的中点，已知

NBACJ,AB=2,AC=25PA=2,则异面直线BC与/。所成角的余弦值为

2---------

12.如图所示，在正方体Z8CD-H8'C'Z）'中，48=3,M是侧面BCcR内的动点，满足，

若与平面BCdd所成的角。，则tan。的最大值为.

13.“加=2是“直线2x+皎+1=0与直线mx+2y-l=0平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

14.已知直线/、加和平面a、J3,下列命题中的真命题是（）

A.若机_L/,Illa,则根_LaB.若〃/a,ap,则/_L£

C.若/J_a,alip,贝D.若/J_a,tnVp,则〃/加

15.直线次+勿+c=0经过第一、二、四象限，则小b,c应满足（）

A.ab>0,bc<0B.ab<0,bc<0C.ab>0,bc>0D.ah<0,he>0

16.下列结论中

①若空间向量万=（《,a2M3），5=（4也也），则，=詈=鲁是的充要条件;

②若x<2是X<。的必要不充分条件，则实数a的取值范围为a<2；

③已知a,6为两个不同平面，a,b为两条直线，an』="?,aua,bu0,aim,则“a_L£”

是“W’的充要条件；

④已知向量］为平面a的法向量，2为直线/的方向向量，则1//万是/_La的充要条件.

其中正确命题的序号有（）

A.②③B.②④C.②③④D.①②③④

三、解答题（9+9+10+12+12）

17.已知直线「过点尸（4,1）.

⑴若直线/过点。(-1,6),求直线/的方程;

(2)若直线/在x轴和y轴上的截距相等求直线/的方程.

18.已知向量。=(1,-3,2),5=(-2,1,1),点2(-3,-1,4),5(-2,-2,2).

(1)求囚+可；

(2)在直线上，是否存在一点E,使得砺，几(。为原点)，若存在，求出点E的坐标，若

不存在，说明理由.

19.如图，四棱锥P-/8CD的底面是矩形，尸。_L底面/BCD,PD=DC=\,AD=6.煎M为

8C的中点.

⑴证明：平面尸/Ml平面PBD：

(2)求点B到平面PAM的距离.

20.如图，棱长为2的正方体抽。中，M、N、P分别是GA、G。、4/的中点.

(1)证明：河、N、4、8四点共面;

(2)求异面直线与MN所成角的大小；(结果用反三角函数值表示)

(3)求三棱锥的体积.

21.如图，在长方体ZBCD-NSCQi中，DD]=DA=\,AB=2,点E在棱N8上运动.

小

从

D-C

AB

(1)证明：B.CVD.E.

(2)设E为棱43的中点，在棱CG上是否存在一点尸，使得BF〃平面DEC-若存在，求言的值,

若不存在，说明理由;

(3)求直线与平面DEG所成角的取值范围.

答案和解析

1.Iua

【分析】直线/在平面。上，利用集合与集合的关系符合表示即可.

【详解】直线/在平面。上，即直线/包含于平面利用集合与集合的关系表示为/ua.

故/ua

2.x=l

【详解】•••直线/过点尸(L2)且倾斜角为

二直线/的方程为x=l

故X=1

c4不

3.—

3

【分析】已知半径，根据球的体积公式计算即可.

【详解】已知球的半径7?=1,

.“EL〃44八347r

・•体积P=—R-=—.

33

故答案为

4.2x+y-l=0

【详解】试题分析：由题可知，设直线Ax+By+C=O,与它垂直的直线为・Bx+Ay+D=O,故设与己

知直线垂直的直线为2x+y+D=0,将点P(—1,3)代入，得出D=-1,故直线方程为2x+y・l=0.

考点：两条直线的位置关系

5.-

2

【分析】根据题意可得圆锥的底面半径和母线长，进而根据圆锥侧面积公式5=兀”求得结果.

【详解】若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，则圆锥的底面半径〃=!，母线』，

故圆锥的侧面积S="/=[.

故答案为

2

7

6.-##1.4

5

【分析】向量的垂直用坐标表示为XZ+MH+z仔2=0,代入即可求出答案.

【详解】zZ+1=%(lJ0)+(—1,0,2)=(%—

2力=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2),

因为心+石与21—刃互相垂直，

所以断+可伍-5)=0,

即(4一1,4,2)•(3,2,-2)=5左一7=0,

7

解得.2=:

故：

7.3

【分析】利用异面直线的判定定理判断即可.

【详解】空间直线的位置关系有平行、相交、异面，即不平行也不相交则异面，

由图可知九条棱中44，A}A,AB,BB,,8c与48相交，

没有直线与48平行，

所以与直线48是异面直线的共有3条，分别为4G，AC,CC,,

故3

8,近##L指

33

【分析】设正四面体为力-88,过A作为OJ_底面8CD,可知。为底面正三角形的中心，然后

求解直角三角形得答案.

【详解】如图，设正四面体为4-8CO,过A作40,底面8CD,垂足为O,

•••四面体为正四面体，二。为底面正三角形的中心,

连接CO并延长交80于G,则G为8。中点，

•••底面边长为1,CO=-CG=-Jl2-(1)2=,

:.A0=〃C2-CO2=卜与=手，

•••该正四面体的高为巫.

3

故巫.

3

9.—

24

【详解】试题分析：因为D,E,分别是AB,AC的中点，所以SaADE：SAABC=1：4,

又F是AAi的中点，所以Ai到底面的距离H为F到底面距离h的2倍.

即三棱柱AIBICI-ABC的高是三棱锥F-ADE高的2倍.

所以Vi：V=7SAADE«h/SAABC«H=-=1：24

2324

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

【分析】根据空间向量的坐标运算，求得棱锥底面积和高，结合棱锥的体积计算公式，即可求得

结果.

【详解】根据已知可得：0405=1x2-2x1=0.即。

又"卜"+（-2）2=V5,|os|=VF+7=石,

故△0/8的面积S=1xTIx有=3；

22

不妨取平面。/8的一个法向量而=（0,0,1）,

\OCm\3

则点C到平面OAB的距离h==2=3，

|m|1

故三棱锥0—/BC的体积P=!SX/7=‘X2X3=3.

3322

故答案为《

2

11.-##0.75

4

【分析】根据三棱锥P-/8C的几何特征，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量

3

即可求出异面直线BC与AD所成角的余弦值为：.

4

【详解】由"，底面48C,平面48C,所以己

又NB4C=*7T,可得48INC,即两两垂直；

2

因此以A为坐标原点，分别以所在直线为x,%z轴建立空间直角坐标系，如下图所示:

则力(0,0,0),8(2,0,0),。(0,2后0)尸@,0,2),

又。是PC的中点,可得。(0,百』)，所以就=(-2,26,0),通=(0,6R,

可得c°ls~^g,~"7~p),\=同BC,同AD=&6=子3

所以异面直线BC与AD所成角的余弦值为：3.

4

吟

12.五

【分析】以。为原点建立空间直角坐标系，设河(x,3,y)(x,”[0,3]),根据//，比九求得'J

的关系，再根据/平面BCD，可得。=44河3，解RtV/8M即可.

【详解】解：如图，以。为原点建立空间直角坐标系，

则“(3,0,0),8(3,3,0),。(0,0,3),

设M(x,3,田(x,ye[0,3]),

则前7=(X-3,3J),初=(-3,-3,3),

因为4W_L8D'，

所以痂.布=(x_3,3j).(-3,-3,3)=-3(x_3)_9+3y=0,

所以＞=x,则M（x,3,x）,

因为481平面B”E,

所以即为与平面BCL4所成角，即8=4吸，

nAB33

miltan0=-----=,2^=2=.=

」BM^(X-3)+X以-6x+9，

所以当X=1时，tan。取得最大值&.

故答案为.应

13.D

根据两条直线平行的条件以及充要条件的定义可得答案.

【详解】因为直线2x+啊+1=0与直线mx+2y-l=0平行等价于2X2_/»2=O且2X(-1)-〃ZH0,

即机=2,

所以“加=2是“直线2x+阳+1=0与直线mx+2y-1=0平行”的充要条件.

故选：D

结论点睛：本题考查充要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

(1)若P是的必要不充分条件，则0对应集合是。对应集合的真子集；

(2)P是9的充分不必要条件，则P对应集合是4对应集合的真子集；

(3)P是9的充分必要条件，则P对应集合与4对应集合相等；

(4)P是的既不充分又不必要条件，，对的集合与。对应集合互不包含.

14.C

【分析】线面平行及线线垂直，线可以有无数种朝向：线面垂直，线只有一种朝向；面面平行，

面只有一种朝向，逐个选项判断即可.

【详解】对A,若加，/,Illa,则可能有加_La,机〃a,加与a相交不垂直，A错；

对B,若///a,a,则/16，则可能有/，夕，〃/夕，/与尸相交不垂直，/u〃，B错；

对C,若/la,a〃夕，贝！|/工尸，C对；

对D,若/_La,由于。与尸关系不确定，故/与m关系也不确定，D错.

故选：C

15.A

【分析】写成斜截式，由斜率和与歹轴交点纵坐标确定直线经过的象限.

【详解】若6=0,则直线不会经过三个象限，所以6x0,

ac

所以ar+"+c=0ny=——x——,

bb

因为直线经过第一、二、四象限，

所以斜率左=-g<0,与y轴交点纵坐标-：>0,

解得仍>0屁<0,

故选：A

16.B

①由彳//B<=>5=26<=>cfj-Xbva2=e2，。3=劝3（%£火）可判断①不正确；

②由冗<2是的必要不充分条件，可得{x|x<2}{x|x<%从而得到。<2正确；

③根据面面垂直的性质和判定定理即可判断；

④结合利用法向量与方向向量的定义即可判断.

【详解】解:①空间向量Z=（4,a2M3）I=3也也），则

a//6<=>5=<=>fl]=Xbx,a2=Ab2,a3=Ab3（AeR）,

所以?=詈=詈是Z//5的充要条件错误,故①不正确；

44

②若x<2是x<a的必要不充分条件，则{x|x<2}{x\x<a},

所以。<2,故②正确；

③若a_L£,则由条件可得又6u〃,所以：J；

若：，力，则根据条件得不到a1B，故③不正确；

④若£/不,则因为万为直线/的方向向量，所以/_La;

若/La,则,_La,因为万为平面a的法向量，所以万/用,故④正确.

综上，正确命题的序号为②④.

故选:A

本题考查了空间向量平行的充要条件，利用必要不充分条件求参数范围，平面与平面垂直的判定和

利用法向量与方向向量判定平行和垂直关系，属中档题.

17.(1)y=-x+5

⑵了二卜或y=-x+5

4

【分析】(1)根据直线过两点即可求出直线方程；

(2)分类讨论直线截距是否为0,即可得出直线方程.

【详解】(1)由题意，

直线过点尸(4,1),0(-1,6),

.••直线方程：斗二=三二，即歹=一》+5.

6-1-1-4

(2)由题意，

直线过点2(4,1),且在x轴和y轴上的截距相等

当直线过原点时，截距为0,方程为y=

当直线不过原点时，设直线/：y=-x+6,

1=—4+6解得：6=5,、

・,・直线方程为P=r+5

综上，直线的方程为：y=或y=-x+5.

18.(1)5A/2;(2)存在，£1(一曰

(1)根据向量的坐标加法运算求出2：+。再利用向量的模长公式即可求出2二+晨

(2)由向量共线定理和向量的线性运算得出&=&+/=&+,几，从而得出0%的坐标，再

根据办工％以及向量的数量积，即可求出，的值，即可得出点E的坐标.

【详解】(1)根据题意，得2a+b=(2,—6,4)+(—2,1,1)=(0,—5,5),

ife2a+b=和+(-5)2+52=5/2.

(2)由于点E在直线Z8上，则ok=&+/k=&+r成，

即d=(一3,-1,4)+«1,-1,-2)=(-3+/,-17,4-2。，

由&则d工=0，

所以-2(-3+。+(—1—)+(4-2，)=0,解得/=(,

因此在直线45上存在点E,使得历,几此时点£的坐标为E,■|，-£3)

本题考查平面向量坐标的加法运算和向量的模，考查向量的共线定理和向量的线性运算，及向量

垂直运算，考查学生运算能力，属于基础题.

19.(1)证明见解析；

喈.

【分析】(1)由线面垂直性质得尸根据已知可证8。1月〃，再应用线面、面面垂直的

判定证结论；

(2)/1团与BD交于点E,连接PE,过点8作84垂直于PE交其于点，，由面面垂直的性质有8"，

面即8〃的长为5到面的距离，等面积法求长度即可.

【详解】(1)因为凡)_L底面Z8CZ),/A/u平面N8CD,所以PDJ.4M.

底面为矩形，且尸。=。。=1,AD=e，则tan/480=F=&=F=cot㈤M,

ABBM

所以RtZ\/8O~RtZ\8K4,易知

又PDcBD=D,PD,BDu面PBD,所以平面P8O,而4Wu平面尸

所以平面PAMI平面PBD.

(2)设4M与BD交于点、E,连接PE,过点8作8H垂直于尸£交其于点”，

由①知，面尸4MJ.面P8£>,面P/Mc面尸8O=PE,BHLPE且BHu面PBD,

因此8"，面PAM,线段BH的长为点B到平面PAM的距离.

由S△值=g.BE-PD=g-PE-BH,解得BH=立.

因此点B到平面PAM的距离为立.

7

20.(1)证明见详解;

(2)arccos^^;

10

(3)；.

【分析】(1)由已知可证明48//CR和MN//4B,即可证明MN//%8,进而得出结果；

(2)MNHCD,,所以NPQC即等于异面直线尸2与脑V所成角，在丫尸2。中，求出各边长，用余

弦定理即可求出；

(3)根据已知可得，四边形"NZR为梯形，S、MNB=：S、MA"则％根据等体积

法可知/一孙8=—M-PAB»求出，即可解出.

【详解】(1)证明：

图1

如图1,连结MN、A.B、CD、

由已知可得，A.DJ/BC,g=BC,所以四边形48cA为平行四边形，则4B//C2.

又M、N分别是GR、£C的中点，所以MN//CD、,且A/N=gc〃，

所以MN〃A\B,且

所以/、N、4、8四点共面.

如图2,连结。P、D、P、CP

因为CZ)_L平面DPu平面,所以CO_LZ)P.

因为，P是的中点，所以尸/=尸4=1.

又4。，4人所以尸2=J4P2+-尸=不同理分=一

在RUPDC中，PC=y1DP2+CD2=3.又AC=个DD；+DC/=2&,

在VPCq中，有尸C=3,D\C=26,PD、=小,

又MV//C",所以异面直线尸。与MN所成角的大小即等于直线尸R与cn所成角的大小，即等于

ZP£)C=arccos—.

l10

D\M

如图3,MPMB,PN,MA”NB,

因为MN/iA\B,且MN=548,且A/、N、4、8四点共面,

所以四边形为梯形，设梯形高为则S、，MNB=；XMN",S,MAiB=^xAtB/i,

所以S,，MNB=；XMN17=；X；A.B八沿乂邛■

设尸到平面的V8即到平面MA48的距离为d,

则%-MNB=§XS\rMNB'd,、S、,“粳-d,则Vp-MNB=qX3义S'MA\B,d=3%M4[B>且

'P-MAB=—M-PA、B-

因为GA〃平面NBA4，平面N8BM，MuGR,

所以M到平面N8B/的距离等于线段GR到平面488/的距离C£=2.

又S\'PX、B=3XP4「AB=—xlx2=1,所以I/M-AV=§xSv?4Bx2=—xlx2=—,

1121

VV=X=

所以，P-MNB=P-MAtB273,

21.